Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (1185903), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Один из путей построения экономичных алгоритмов демонстрируют так называемые методы переменных направлений. В двумерных задачах оператор В обычно является суммой легко обращаемых операторов, т. е. (10.1) может быть переписано как (10.5) (Р + Я )и = 1. Каждый из операторов Р, Я является дискретным аналогом частного дифференцирования по одному из направлений.
Для решения системы (10.5) можно использовать итерационный процесс вида (1+тР)(1+тЯ)и ' =и" +т1+т'РЯи". (10.6) В левой части стоит произведение операторов, каждый из которых легко обратим каким-либо простым алгоритмом, например прогонкой. Нетрудно убедиться, что если процесс сходится, то предельная сеточная функция удовлетворяет (10.5). Как и для (10.2), существенным вопросом является скорость сходимости итераций. Очевидно, эволюция ошибки происходит согласно уравнению (1+тР)(1+тЯ)би ' =(1+т РЯ)би". (10.7) Для оценки скорости сходимости опять используем собственные функции и собственные значения р, д операторов соот- ветственно Р и ц.
За одну итерацию собственная функция при- обретает множитель 2 Л= (10.8) (1 + тр)(1+ тд) Если операторы Р, Я положительно (или отрицательно) определены, рд > О, то, очевидно, )Л! < 1, и итерации сходятся при любом т соответствующего знака (т(р+д) > 0). В противном случае можно использовать чисто мнимое т. Используя информацию о диапазоне изменения р, д, можно определить оптимальное значение параметра т. Наконец, меняя т от итерации к итерации, можно еще более увеличить скорость сходимости. Изложенная процедура оценки скорости сходимости итерационного алгоритма редко применима буквально.
Система может иметь переменные коэффициенты и вообще быть нелинейной. Но в любом случае исследование ее простой модели даст существенную информацию о качествах алгоритма. Формулу (10.6) можно переписать в эквивалентной форме и — и (1 + тР)(1 + т® + (Р + Я )и" = ~, (10.9) т которая очевидным образом обобщается на случай большего числа измерений.
4. Итерационные процессы решения систем вида (10.1) часто интерпретируют как методы решения соответствующей эволюционной задачи ди — = Ви —,г'. д1 (10.10) Однако между ними есть одно существенное отличие. При итерациях т > сопз1, и- оо, а для эволюционной задачи т — +О, пт < < соп51. 5. Любой алгоритм всегда ориентирован на класс задач. Уменьшение объема вычислительной работы достигается эффективной адаптацией алгоритма к ситуации конкретной задачи. Не имея возможности сколько-нибудь полно осветить эту важную проблему, ограничимся всего двумя иллюстрациями.
Один из путей — переформулировка исходной задачи в терминах слабого решения. Вместо задачи УЛи = Г решается задача (уЛи —,г", у) = О, где у Е Ф, Ф вЂ” заданное множество функций, а (, ) — некоторое скалярное произведение. Такой подход реализован в проекционно-разностных методах (конечных элементов).
В качестве Ф берется конечное множество дельтаобразных функций с носителями порядка Ь (размер расчетной ячейки). Решение ищется в виде комбинации этих базисных функций и = ~ и у . К достоинствам метода относится гибкость в выборе множества функций Ф, носители которых покрывают область расчета, адаптируясь к геометрическим характеристикам конкретной задачи.
К сожалению, такое воплощение этой идеи по-существу решает только проблемы, связанные с построением расчетных схем на нерегулярных сетках. Наиболее же соблазнительным представляется создание алгоритмов расчета, которые позволяли бы определять значения небольшого числа представляющих интерес параметров, эффективно используя априорную информацию о характеристиках решения и не проводя колоссальной вычислительной работы„ свойственной универсальным конечно-разностным методам.
6. В одномерных задачах область расчета — всегда отрезок. Уже в двумерном случае она может иметь самые причудливые формы, и даже простой круг аппроксимировать регулярной сеткой без особенностей не просто. На решение этой проблемы нацелен подход к конструированию адаптируемых алгоритмов, используемый в методе свободных точек. Суть его в следующем.
Если не требовать какой-либо регулярности в расположении точек, то заполнить ими область произвольной формы труда не составит. Для построения алгоритма, использующего это произвольное множество точек в качестве расчетных, нужно решить две проблемы. Во-первых, нужно указать способ формирования расчетной ячейки для каждой точки множества. В любой отдельной конкретной ситуации отобрать точки, являющиеся соседними к данной, и тем самым построить расчетную ячейку не трудно. Задача — в реализации нашего здравого смысла в виде алгоритма, который должен работать на любом множестве точек, учитывать специфику задачи и быть реализуемым на компьютере.
Все эти требования не очень определены, и фактически имеется один критерий: в частных случаях регулярного расположения точек алгоритм должен давать расчетную ячейку естественной формы. Экономичность алгоритма также существенна. Так, в эволюционных задачах, использующих лагранжевы координаты, расчетные 46 точки меняют свое расположение непредсказуемым образом, и процедура построения расчетной ячейки производится на каждом шаге по времени заново.
Возникает проблема эффективного способа упорядочивания многомерного множества расчетных точек с целью минимизации перебора их при поиске соседних. Во-вторых, нужно получить расчетные формулы для ячеек произвольной формы. Для эволюционных задач удобно изменить исходную формулировку, аппроксимировав локально (в окрестности каждой точки) систему уравнений линейной системой с фиксированными коэффициентами и использовав интегральную формулу ее решения (на интервале Ь|). Построив интерполяционный полипом по точкам ячейки, дифференцируя или интегрируя его, придем к дискретному аналогу уравнений — расчетным формулам. 7. Термин «решение» употребляют в двух смыслах — как процесс и как результат. Трудоемкость первого определяется сложностью второго. При увеличении числа измерений основные проблемы возникают не из-за пропорционального увеличения объема перерабатываемой информации, а из-за «проклятия размерности» вЂ” резкого усложнения характера решения (возрастания числа степеней свободы, турбулентности и т.
п.). Выясняется, что мы слишком мало знаем о функциях, об их конкретном виде, особенно в случае многих переменных. Чем универсальнее численный алгоритм, тем хуже он учитывает простоту решения конкретной задачи. То, что годится для всех, не может быть лучшим для одного. ЗАДАЧИ И ДОПОЛНЕНИЯ 1. Эволюция электромагнитного поля внутри пустого параллелепипеда с размерами Х„Х.„, Х, под действием приложенного к противоположным сторонам заданного переменного напряжения описывается системой Максвелла (1.1), (1.2) с у = О, нулевыми начальными данными и граничными условиями Е=Е=О х у при а=О, е=Х„ Е =О а > Е,=е(Ф) при з=О, х=Х,, Е =О, Е,=е(т) при у=О, у=Х„; здесь е(1) — либо одиночный кратковременный импульс, либо периодическая функция. Формально уравнения Максвелла в среде отличаются от вакуумного случая лишь наличием множителей е, и, характеризующих свойства среды, и имеют вид дЕ е — — т7х Н+у =О, д1 дН и — + ~7 х Е = О, дт т7.еЕ=р, ~7 ОН=О.
На поверхностях, где е, и разрывны, должны быть непрерывны те компоненты поля, которые дифференцируются в направлении, нормальном к поверхности. Этим обеспечивается конечность поля. Плотность тока в среде можно определить законом Ома т = гЕ, где и — еще один параметр среды. Представляет интерес решение подобной задачи для области, которая не является выпуклым многогранником. Эту задачу можно использовать как тестовую при разработке и испытании численных алгоритмов.
Можно рассмотреть также более простой двумерный осесимметричный вариант этой задачи с круглым цилиндром вместо параллелепипеда. 2. Многие существенные эффекты, проявляющиеся при взаимодействии мощного электромагнитного излучения с веществом, можно изучать в рамках системы Максвелла — Власова 48 для ионно-электронной плазмы дŠ— — ~ х Н + ) (е'/~ — я / ) з 'р = О, д1 (У'-У )(Ъ, дН вЂ” +~7 х Е=О, дФ Е =О, Е„=аз1пю(8+х), Е,=О, Н, = О, Н„= О, Н„= — а 81п ы(й + х), где ю — частота, а — амплитуда волны. В начальный момент плазма неподвижна, 7"+(О, х, р) = х (х)6(р), и поля в ней нет.
Параметры задачи: а, ю и концентрация м(х). Чтобы ограничить область расчета, можно считать и периодической функцией у, з. Если ди/дз =О, то получаем двумерную задачу в плоскости х, р, а если и ди/дд = О, то одномерную. Основной результат расчета: энергия, поглощаемая плазмой И~(Ф) = сЛ~ ю/д 'р, ее зависимость от амплитуды и частоты излучения, выявление их критических значений, когда резко меняется характер процесса.
Начать можно с вариантов, когда концентрация плазмы и есть величина постоянная, но поверхность не плоская. — + е+ — ~ (Е + е+ х Н) — = О, д/+ д/+ д/+ д8 дх др где /", У вЂ” функции распределения ионов и электронов, я+, е — их скорости, причем, как всегда, «(р) = дю/др, а энергия частиц равна ы~ = гп' +р'. В используемых единицах массы покоя частиц равны т = 1, т = 1837. Падающее на поверхность плазмы излучение будем считать линейно поляризованным,монохроматическим, с постоянной амплитудой. Его источник поместим в х = +со, направление вектора электрического поля выберем за ось у, магнитного — за ось з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
