Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (1185903), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2, 3), эта система превращается в одно уравнение дН 1 Н' — = ~7 — х ху —. д~ еп 2' Во-первых, пропадают старшие члены со вторыми производными. Во-вторых, становится существенным фактором переменность концентрации среды. В-третьих, имеет место нелинейность именно того типа, который приводит к возникновению неоднозначности решения.
12. При рассмотрении лагранжевых (массовых) координат в гидродинамических задачах (лекция 6) мы использовали закон сохранения массы. Аналогичную процедуру можно провести исходя из других законов сохранения — импульса, энергии. А именно, если имеется какое-либо уравнение дивергентного вида дю дг' — + — =О, дФ дж то можно считать, что оно выражает закон сохранения субстан- ции, уравнение движения которой имеет вид где л уже есть функция соответствующей лагранжевой перемен- ной ш, з = Х(~, ю). 61 0 Еад Е~ Е„ или вектор-потенциалом А, — Е, — ń— Е, 0 — Н, Н„ Н, 0 — Н, — Н„Н, 0 связанным с Г ~ соотношениями дАз дА Е а~3 а*.
а*, ' В этом случае уравнения Максвелла запишутся коротко: (6) при каждом а. При этом, как и прежде (в лекции 3) ы(~, ж) = 6(х — Х(Ф, о~))дш, а Г" и и функционально связаны. Дискретным аналогом последнего будет опять ю(г, ж) = ~~1 б„(х — Х (1))Ьи, (5) где 6„ — дельтаобразная функция с носителем порядка Ь. Более того, лагранжевым образом могут быть интерпретированы все субстанции одновременно. Каждая будет представлена своим множеством макрочастиц — макроквантов энергии, компонент импульса. От системы останутся только уравнения движения каждого из множеств и, разумеется, формулы (5), с помощью которых производится обмен информацией между макро- частицами различных сортов.
Они позволяют вычислить значение и в любой точке, на любой макрочастице по расположению представляющих это ю макрочастиц. При этом все законы сохранения выполняются тривиальным образом. Формально такому методу расчета не грозят никакие неприятности, связанные с возникновением неоднозначности. Не нужно следить за ударными волнами, вводить вязкость и т. п. 13. Если использовать четырехмерную терминологию специальной теории относительности, х' = Ф, х' = х, .е = у, ж' = з, то электромагнитное поле можно описывать антисимметричным тензором 62 Здесь Ф = Ф(х, р) — функция распределения материи в восьмимерном координатно-импульсном пространстве, удовлетворяющая, как всегда, уравнению Лиувилля — Власова адФ аа р —.
+ Р"'р —. = О. дх ядр (7) дРаа + р Ыр(Р=О, дх~ д дА — — — + (Р" — А«)Фйр(Р = О, дх дх (8) а в уравнении (7) появляется дополнительный член: дФ / ,, дА 1 дФ р —. + Р 'р + — (Р - А ) —. = О. дх" ~ а дх " «) др Теперь Ф = Ф(х, р, Р), причем зависимость от Р параметрическая (сорт материи).
Уравнения (6),(7) образуют замкнутую систему и описывают стационарное (в смысле метавремени) четырехмерное течение материи в стационарном поле. Стандартная процедура понижения порядка гамильтоновой системы приводит ее к системе Максвелла — Власова в обычной пространственно-временной форме. Заметим, что число измерений в системе (6), (7) явно не присутствует и может быть произвольным. Приведем пример нетривиального следствия такого допущения. Допустим, что мир на самом деле имеет больше четырех измерений, но локально, в нашей окрестности, они не ощущаются. Причиной этого может быть независимость явлений от них.
Перемещение по ним не меняет окружающей картины, но если такое перемещение возможно, то оно имеет свои последствия, выяснить которые позволяет модель (6), (7) с дополнительными измерениями. Пусть, по-прежнему, а, д = О, 1,2, 3, а дополнительные измерения есть Л, н,...Так как д/дх„=о, то обобщенный импульс Р = р + А — константа движения. Система (6) принимает вид ««« 63 Таким образом, движение по дополнительным измерениям приводит к появлению ощущаемой в основном четырехмерном пространстве дополнительной силы, связанной с потенциалом А», который определяется из уравнений (8). В обычной пространственно-временной терминологии это взаимодействие имеет неэлектромагнитную природу (не зависит от знака заряда), и ему можно придать, например, форму закона тяготения Ньютона.
При этом гравитационная масса оказывается вектором т (инертная масса-энергия по-прежнему величина скалярная), их значения зависят не только от сорта материи, но и от потенциала А". Можно исследовать мир, в котором принцип эквивалентности этих масс не имеет места. Если имеются дополнительные измерения временнбй сигнатуры (многомерное время)„то решение может иметь особенности, возникают запрещенные для данного сорта материи области. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Задачи и дополнения Лекция Лекция Лекция Лекция Лекция Лекция Лекция Лекция Лекция Лекция 1. Электродинамика 2.
Сплошная среда 3. Микроскопическая модель 4. Плазма без столкновений . 5. Гидродинамика 6. Идеальный газ 7. Разрывные решении 8. Вязкость 9. Магнитная гидродинамика 10. Многомерные задачи 5 11 14 15 20 24 28 33 37 42 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
