Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (1185903), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Таким образом, в падающей на плазму электромагнитной волне 49 3. Сформулируем задачу о распространении релятивистского электронного пучка в собственном поле. Используем цилиндрические координаты т, <р, з и ограничимся случаем осевой симметрии, когда д/ду = 0 и движение по углу отсутствует (и = 0). Систему Максвелла — Власова, описываюшую процесс, представим в виде дЕ дН вЂ” + — = и/ир Ид, д~ д дС д(тН) д(тЕ) дС + — = йг — /ор о'д, тдт дг дН дЕ дС вЂ” + — — — =о, дг дз дт д/ д(т/) д/ д/ д/ — + и + и — — (Š— иН) — — (С + иН ) — = О, д1 тдт дз др дя где .Е и С вЂ” радиальная и осевая компоненты электрического поля; Н вЂ” азимутальная компонента магнитного поля; / — функция распределения электронов; и, и — компоненты скорости, а р, д — импульса по т и з, соответственно; и = «л„, и = «о~, энергия электрона равна «о = (1+ р'+ д')'~', Х вЂ” концентрация неподвижных ионов.
Остальные три компоненты поля равны нулю. В торце круглой трубы длины Я, и радиуса Л, расположен катод радиуса В«(Н„с которого непрерывно стартуют внутрь трубы электроны с импульсом р =О, д = д„реализуя плотность тока ~',. На всех поверхностях касательная компонента электрического поля равна нулю. В начальный момент поле отсутствует. Требуется определить характер процесса в зависимости от параметров у«, д„„„Я,. Изложенный вариант постановки задачи можно обобщить, допуская движение по углу, т.
е. считая и ф 0 (но по-прежнему д/ду =0) и учитывая все компоненты поля. В частности, можно определить роль наложенного на систему внешнего осевого поля Н,. Размерность такой задачи называют «два с половиной», Можно рассмотреть и полный трехмерный вариант этой за- 4 В. Ф. Д»ячен«а дачи. Сложность алгоритма решения будет определяться сложностью конфигурации области расчета. 4. Постановку предыдущей задачи можно существенно упростить, заблокировав движение электронов по радиусу. Физическим обоснованием этого является возможность наложения на систему сильного внешнего магнитного поля Н,.
Действительно, движение заряда в плоскости, перпендикулярной постоянному однородному полю Н,, описывается системой др, Ир = — *= — о Н вЂ” к=о Н г р л) ~г ж л1 дх дф ~й Ж Ее решение к=а,+ — 'соз — 'т, у=уо+ — 'з1п — "Г означает вращение частицы по окружности радиуса р,/Н,.
Если Н, велико, то оно подавляет другие компоненты поля, не оказывая влияния лишь на движение вдоль оси з. Система уравнений в этом случае принимает вид дЕ дН вЂ” + — =О, дт дз дС д(тН) дГ тдт д(тЕ) дС (1) ,о. + а дН дЕ дС вЂ” + — — — =О, а~ о о.
оу оу ау — +о — — С вЂ” =О. д1 дг до Расчет динамики макрочастиц — наиболее трудоемкая часть численного алгоритма — существенно упрощается, так как дви- жение становится одномерным. Стационарные решения этой системы удобно исследовать, введя потенциал поля Ф(т, з) равенствами аФ оФ Е= — —, С= — —. От' = Оз' 5! Поскольку д/д~ = О, то магнитное поле не зависит от г и опрееляется интег алом д Р Н(т) = — — ~ т Ыт ~ и/йд. 1Г,,Г т о Для потенциала Ф(т, г) получаем уравнение (2) / = /(т, «а(а) — Ф(т, з)), где ю(д) = ф + д' — энергия электрона. Таким образом, все сводится к одному уравнению (2).
Оче- видно, что есть одно граничное условие: дФ/дт = О при т = О. Остальные же определяют решение, если / задана как функция двух своих аргументов. Рассмотрим важный частный случай «холодного» потока, ко- гда отсутствует тепловой разброс скоростей и все электроны, на- ходящиеся в одной точке пространства, имеют одинаковую энер- гию «а, т. е. / =а(т)б( ш — Ф), где а(т) — плотность тока (величина положительная) и / = О при о < О.
Уравнение (2) в этом случае принимает вид ЬФ= а(т) !Ф! ~/Ф -1 Отметим два интересных и простых решения этой задачи. Пусть та= АЦт — т,), т. е. электроны движутся по цилиндри- ческой поверхности радиуса т, с энергией юо =Ф(т,) > 1, реали- зуя ток А.
Задача одномерна: д/дз = О. Интегрируя уравнение, находим 'ао при т < т„ ф= шо т ио + А !и — при т > т;,. Если задать потенциал Ф, при т = т, > т„то отсюда легко получить известную формулу для максимально возможного тока в тонком цилиндрическом слое А !и — = (Ф вЂ” «а ) " < (Ф',н — 1)'~'. о 'ао Максимальное значение достигается при ш = Ф,'~~. Другое решение описывает поток электронов в неограниченном по г плоском межэлектродном промежутке с постоянной плотностью тока а. Принимая д(дг =О, получаем уравнение для и 22 Ш а222 с граничными условиями на катоде и аноде. Оно имеет интеграл ~2 — ~ — ) =а~и' — 1+сопз1, 2 1,21з) анализируя который, можно убедиться, что и в этом случае решение задачи существует не всегда.
Стационарные решения для плазмы, как правило, оказываются неустойчивыми и не реализуются. Однако они позволяют выявить некоторые свойства реализуемых процессов. В частности, рассмотренные примеры демонстрируют действительно существующий эффект ограничения тока собственным пространственным зарядом и дают правильные оценки для различных характеристик течения.
5. Устойчивость численного алгоритма зависит в основном от способа аппроксимации старших членов дифференциальных уравнений. Этим объясняется эффективность упрощенных рецептов ее проверки, применяемых при анализе алгоритмов и приводящих к условиям на соотношения между параметрами дискретизации. В частности, в эволюционных задачах младшие члены могут порождать неустойчивость лишь при конечных шагах по времени. На асимптотическое поведение алгоритма при Ь| — О они обычно влияния не оказывают. Однако это не всегда так.
Обратимся к задаче предыдущего пункта. Для численного интегрирования системы (1) можно применить алгоритм, описанный в лекциях 1 и 4. В данном случае он запишется в виде дЛ вЂ” +Р Н=О, д2 дС вЂ” — Р,Н = ~ б„( — т)бь(Š— х)22Я)Ь22, Р„Е + Р,С = Ф вЂ” '5 б„(Я вЂ” т)б„(Х вЂ” з)Ьь2, 53 — +Р,Š— Р„С =0, дН и ы — =О, — = о(Я), Ж ' ~Й д(~ — — бь(Н вЂ” г)б„(Š— з)С Ьт Ьз.
Здесь Е, С, Н вЂ” сеточные функции, заданные на эйлеровом множестве расчетных точек т, з, регулярном, определяемом шагами сетки Ьг, Ьз. Сеточные функции Н, Я, Я заданы на лагранжевом множестве ю с параметром дискретизации Ьм. Операторы .Р„, Р, определяются разностными формулами типа (1.8) и аппроксимируют соответствующие дифференциальные операторы. Для простоты мы в Р„пренебрежем членом порядка Цг (цилиндричностью). Дельтаобразная функция б„, одна и та же во втором и последнем уравнениях, имеет вид (4.10) или (4.11). Обычное исследование устойчивости, проведенное без учета младших членов (в данном случае правых частей), когда система распадается на две подсистемы, даст обычное условие типа (1.13), ограничивающее отношение параметров дискретизации ЬЦЬт и Ы/Ьз (первый с коэффициентом ~/2 при учете цилиндричности).
Выясним, как может сказываться на устойчивости обмен информацией между подсистемами, принятый в расчетной схеме. Мы оставляем производные по времени, чтобы исключить роль (возможно, отрицательную) конечности шага интегрирования по времени. Для этого используем простейшее частное решение системы вида л«, »=н'( ), г(т,, )=г'( )+рг,, д(г,, )=1у-г, Е(й, г, г) = О, С(й, т, з) = О, Н(й, т, з) = — 13Ит, которое описывает однородный поток электронов концентрации Х, двигающихся с постоянной скоростью й < 1 (т. е. с энергией т = 1/ф — )3') вдоль оси г.
Заряд электронов нейтрализован неподвижными ионами той же концентрации Н = ') 6„(ло — т)б„(ХО+ 91 — з)йю. Последняя формула, справедливая при всех т, з, предполагает, что нет пустых расчетных ячеек д т х Ьз и в каждой ячейке мак- рочастицы расположены одинаково. Можно обойтись без ионов, задав поле Е(т, т, з) = — Хт, это ничего не изменит. Регулярное множество макрочастиц ш движется сквозь регулярную решет- ку т, з со скоростью д. Более общие варианты нам сейчас не нужны. Чтобы исследовать устойчивость, наложим на это решение малое возмущение 6Я, й~, бЕ, 6С, 6Н и проследим за его эво- люцией. При этом Н' не возмущаем.
Для возмущений получаем систему линейных уравнений д дФ вЂ” бЕ+Р бН =О, — 6С вЂ” Р 6Н = — ,'~ б (Я' — т)б (Я'+ Я вЂ” г)бЯЬш д — 6Н + Р,бŠ— Р 6С = О, , — "б =6), Ж вЂ” 6Я = — ~> 6„(Н вЂ” т)б„(Х~+ дХ вЂ” з)бСЬтйз, ол решения которой будем искать в виде 6Е=е(т) ехр г — ~р+ — ф, 6С=д(1) ехр г ~о + — ф 6Н=ЬЯ ехр г — ~р+ — ф, 6Я =~(т) ехр г — ш+ — ф В результате получим уравнени ф — +о,Ь=О, о'е (д — — е( Ь= — 2 и-шш, Ю " сЫ оЬ вЂ” +с( е — о д=О л з~( ь .у~ —, = — ~ дЕЬт,тье, ог' 55 где -в .-г о о г=з (Н вЂ” ~Ь (я — +19Ю)е ( '" ' ~1 Ф 51П— 51П— 2 2 с( =2г —, Н =2( Ьг ' ' Ьз Последнее уравнение системы присутствует в нескольких экземплярах — по числу макрочастиц, приходящихся на одну расчетную эйлерову ячейку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
