Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (1185903), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Гидродинамическая система идеального газа в ее исходном каноническом смысле (6.1)-(6.3) или (6.16) — (6.18) может быть коротко записана в виде (6.12): дю д1(ш) дг д* Интегральным эквивалентом последней является система интегральных соотношений З1 Используем ее на разрыве, где дифференциальная система не определена. Пусть за малое время Ь| точка разрыва перемещается на расстояние Ьх. Рассмотрим какой-либо контур в плоскости х,8, проходящий через эти две близкие точки и охватывающий отрезок линии разрыва, проходящей через них.
(На рис. 2 контур — прямоугольник, а линия разрыва двойная.) о х Часть интеграла (?.6) по левой половине контура (приблизи- Рис. 2 тельно, с точностью до малых высшего порядка) равна «о сиЬх —,Г сиЫ, соответственно по правой половине, в обратном направлении обхода, «лир с»х ~ар Ы. Соотношение (7.6) будет выполнено, если эти значения равны.
Разделив их на Ь~ и устремив Ь| — О, получаем соотношение, связывающее величины по обе стороны разрыва: (7.7) О(«о) = (У(«аН. Здесь дх/Ю = Р— скорость перемещения разрыва, а квадратные скобки обозначают разность значений функций по обе стороны разрыва. Системе трех уравнений (6.1) — (6.3) соответствуют три соотношения вида (7.7) — условия на разрыве (его называют ударной волной).
Вне поверхности разрыва, где решение гладкое, по-прежнему действует дифференциальная система. Отметим одну деталь. Условия (7.7) не изменятся, если левые и правые значения на разрыве поменять местами. Однако реализуется только одна комбинация. В примере (7.1) все просто: разрыв возникает, если характеристики пересекаются, со временем «приходя» на него с обеих сторон. Иначе он просто не возникает. Для системы идеального газа вопрос решается либо подсчетом числа характеристик, приносящих соотношения на поверхность разрыва, либо, что то же самое, проверкой решения (разрывного) на устойчивость подобно проведенному исследованию корректности. Неизвестных величин в точке поверхности разрыва семь: три пары левых и правых значений р, и, е и скорость перемещения Р.
Условия (7.7) дают три соотношения. Остальные четыре должны принести характеристики. В результате симметрия нарушается: из шести характеристик (три левых 32 и три правых) четыре характеристики должны приходить, а две уходить. Если использовать систему уравнений в лагранжевых координатах (6.16) †(6.18), то соотношения на разрыве принимают вид (7.8) ю — = -(и), (7.9) М=Ы (7.10) м е+ — =(ри) где ш =д~/дт — скорость перемещения разрыва по лагранжевой координате (по массе).
Различают два вида разрывов: ударные волны и контактные разрывы. В первом терпят разрыв все функции. Во втором скорость и давление непрерывны (разрывны лишь плотность и температура), а и =О, т. е. контактный разрыв перемещается вместе со средой. В трехмерном случае на его поверхности разрывна тангенциальная составляющая скорости.
Итак, обобщив понятие решения, мы сняли основную проблему, порожденную нелинейностью модели идеального газа. 4. Расширение понятия решения требует и расширения расчетного алгоритма. Поскольку изменения локальны и вызываются наличием линий разрыва решения, то, очевидно, алгоритм следует дополнить особыми формулами лишь для узкой зоны— окрестности этих линий. Построение таких формул производится с обычными правилами аппроксимации, учитывающими одностороннюю гладкость решения и, разумеется, соотношения (7.7) или (7.8) — (7.10). Вне зоны алгоритм не меняется. Принципиально это просто, но логика алгоритма сильно усложняется изза необходимости проверок на образование и наличие разрыва, вида расположения его относительно расчетной ячейки и т.
д. Более популярными оказываются другие методы, которые мы и рассмотрим далее. Лекция 8 ВЯЗКОСТЬ 1. Обратимся к более точной модели, учитывающей вязкость. В одномерном случае тензор напряжений вырождается в скаляр. Если ориентироваться на систему в лагранжевых координатах (6.16) — (6.18), то учет вязкости формально сводится к замене уравнения состояния р = Р(р, в) на ди р=Р(р в) — Ир— дс' ' (8.1) 1 и+м — =с„ р р — ми=с„ (8.2) ри — ш в+ — =се, а (8.1) переходит в ди Р(р, в) — р Н ее в р Используя уравнение состояния Р(р, в) =2рв/3 (см. (5.12)), выразим р, р, в с помощью (8.2) через и и подставим в (8.3). Получим — р — =(и — и )(и — и+), (8.4) 4 Ив где через и, и", и > и', обозначены корни квадратного трехчле- 3 В.
Ф. дьяченко где р — коэффициент вязкости. Система уравнений приобретает другой тип — параболический; однако при и -е О всюду, где ди/дс ограничено, она превращается в рассмотренную выше гиперболическую систему, описывающую модель идеального газа. 2. Чтобы представить себе, что происходит при р — е О с решением, рассмотрим простой частный случай. Пусть имеется решение системы (6.16) — (6.18), (8.1), зависящее только от комбинации переменных в = С вЂ” ш1, т. е. перемещающееся с постоянной скоростью и.
Для таких функций д/дл переходит в о/ов, а д/д~ в — ьл1/е1в. Дифференциальные уравнения становятся обыкновенными, первые три из них немедленно интегрируются, давая соотношения 34 на, возникающего в правой части. Они выражаются через константы с„с„с,. Решения уравнения (8.4) имеют простой вид.
Те из них, которые ограничены, располагаются внутри полосы и > и > и+, являются функциями от з/,а и принимают значения и~ при з — + ~со. Очевидно, предельное (при р-»0) решение имеет вид ступеньки, составленной из двух констант, и и и+, т. е. разрывно. Так же ведут себя и остальные функции, поскольку они определяются из системы (8.2), которой удовлетворяют оба набора значений — как плюсовой, так и минусовой.
Но в левой части (8.2) представлены именно те комбинации функций, которые непрерывны при переходе через разрыв, что легко устанавливается из (7.8)-(7.10). Следовательно, указанные выше наборы значений ступенчатого решения удовлетворяют условиям на разрыве. Кроме того, при р -« 0 соотношение (8.3) превращается в обычное уравнение состояния. Таким образом, предельное решение будет допустимым разрывным решением задачи без вязкости.
Рассмотренный частный пример достаточно убедителен, и можно ожидать, что и в общем случае модель идеального газа будет пределом более точной вязкой модели при стремлении параметра возмущения к нулю. 3. С одной стороны, этот факт служит дополнительным аргументом в пользу проведенного выше обобщения понятия решения, с другой — ставит под сомнение целесообразность использования модели идеального газа. Однако дело в том, что в процессах, для описания которых эта модель используется, коэффициенты вязкости настолько малы, что эффективная толщина слоя «размазывания» разрыва оказывается (в характерных для задачи масштабах) ничтожной.
В частности, при использовании численных методов для адекватного описания такого решения потребуются недостижимо малые значения параметров дискретизации при отсутствии практической необходимости столь точного описания. 4. Тем не менее, сглаживание разрыва вязкостью может быть использовано для построения эффективного численного алгоритма. Завысим (сознательно) коэффициент вязкости в области больших градиентов и минимизируем его в области малых, положив, например, 3 ,,ди ди —,и = — а'Ь' — при — ( 0 4 дс дс' (8.5) 35 и а =0 в противном случае (в зоне ударной волны градиент скорости всегда отрицательный). Константа а в этой формуле порядка единицы. Применяя упомянутый выше способ проверки на простых решениях (функциях от с — ь!г), убеждаемся, что все отмеченные следствия введения вязкости сохраняются.
Вместо (8.4) теперь а'и имеем уравнение — аЬ вЂ” = (и — и)(и — и'), решение которого аз и = (и + и+)/2 — (и — и+) з1п(в/аЬ)/2 дает плавный переход от и к и+ на интервале 1.'!з = яаЬ. Ширина зоны перехода оказывается конечной, порядка нескольких шагов расчетной сетки Ь, и не зависящей от величины разрыва и — и'. Это позволяет полностью контролировать процесс фиктивного сглаживания ударных волн.
5. Остается провести модификацию численного алгоритма, необходимую ввиду появления в (8.1) дополнительного слагаемого. Включение его в расчетную схему трудностей не вызывает. Вопрос в том, как отразится это на качествах алгоритма, в основном на устойчивости. Пусть мы используем для решения системы (6.15), (8.1), (8.5) схему «крест» с разностной реализацией (8.1), (8.5) в виде р,",=Р" + р„"(и„, '— и ,')'. (8.6) Поскольку нас интересует результат оценочного типа, ограничимся упрощенным исследованием, рассмотрев два крайних случая.
Вне зоны разрыва второе слагаемое в (8.6) порядка Ь' мало, и его наличие не должно сказываться на свойствах алгоритма. Поэтому условие устойчивости схемы «крест» р с т/Ь ( 1 (8.7) сохраняется (как нетрудно убедиться, при использовании лагранжевых координат собственные значения матрицы системы (6.15) равны ~рс и 0). Наоборот, в зоне разрыва главным в системе становится вязкий член, и моделью здесь будет уравнение л«1» — !»» и» вЂ” и» рь«! р» ! 0 (8.8) 2т 2Ь вместе с (8.6). Это разностное соотношение аппраксимирует второе уравнение системы (6.17), содержащее старшую вторую производную, которая определяет параболический тип системы.
36 Уравнение нелинейно, и в соответствии с уже использованным подходом для исследования устойчивости рассматриваем его вариацию — линейную модель с постоянными коэффициентами лм б л-1 б" ' — 26 ' б 2 Ь ~" " ~'=0 2т 26 8.9 где р и Ьи (О обозначают «замороженные» значения р и разности и, входящие в (8.6). Исследование устойчивости (8.9) уже известным способом дает условие 4р )Ьи~ — ( 1. (8.10) В районе разрыва и и с одного порядка.
Следовательно, условие (8.10), т. е. введение искусственной вязкости (8.5), не приводит к усилению ограничений на шаги сетки по сравнению с (8.7). Это еще одно достоинство модели вязкости (8.5), предложенной Дж. фон Нейманом. 6. Таким образом, сознательно искажая решение в зоне разрыва, метод искусственной вязкости практически без усложнения расчетной схемы позволяет решать задачи, которые при обычном подходе потребовали бы существенного расширения алгоритма (при этом, помимо расчета разрывов, требуется большая работа по классификации возникающих ситуаций).
1. Использование моделей, учитывающих настоящую вязкость и теплопроводность, в вычислительном плане никаких принципиально новых проблем не порождает. В простейшем случае используются расчетные формулы типа (8.9) с теми же свойствами, что описаны выше. Возможны и более сложные алгоритмы: неявные, безусловно устойчивые, что важно при больших значениях коэффициентов вязкости или теплопроводности. Решение возникающих при этом систем разностных уравнений производится итерациями или экономичными алгоритмами исключения типа известного метода прогонки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
