Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (1185903), страница 6
Текст из файла (страница 6)
8. Все сказанное выше естественным и формальным образом обобщается на многомерный случай. Линия разрыва становится поверхностью разрыва. Роль координаты х выполняет нормаль к поверхности, вдоль нее происходит основное изменение величин. Касательная компонента скорости непрерывна на ударной волне и разрывна на контактном (тангенциальном) разрыве. Обобщаются, усложняясь, и расчетные алгоритмы. Этого вопроса мы еще коснемся в дальнейшем. Лекция 9 МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА где силовое поле имеет вид ту = д(Е + е х Н ). (9.2) Второй член в правой части (9.1) учитывает столкновения с частицами другого сорта, описываемыми 7*.
Электромагнитное поле по-прежнему определяется системой Максвелла (1.1)-(1.2): дŠ— — т7 де х Н+у =О, — +х7х Е =О, (9.3) дН дт ~7 Е=б, ~7 Н=О, (9.4) где плотность заряда 6 и плотность тока т определяются инте- гралами по скоростному пространству 6=е (7~ — 7 )йЪ, У =е (1' — 7' )еда. (9.5) (9.6) Мы сменили обозначение плотности заряда (р будет теперь обо- значать плотность массы). 1. Описанные ранее способы построения макроскопических моделей электрически нейтральных сред могут быть применены и к плазме, где заряды не сцеплены в атомные структуры.
Рассмотрим двухкомпонентную среду, состоящую из электронов и однозарядных ионов, которые отличаются друг от друга лишь знаком заряда д = ~е и массой т= т+. Каждая компонента описывается своей функцией распределения 7', удовлетворяющей своему кинетическому уравнению зз 2. Для каждой из функций распределения (электронной 7" и ионной У+) можно произвести процедуру усреднения по скоростному подпространству путем вычисления моментов уравнений (9.1) — интегрированием тГ", т7и, т Ги'/2 соответственно, как это сделано в лекции 5.
Но теперь пренебрегать силовым полем (9.2), естественно, не стоит. Кроме того, даже в варианте идеального газа необходимо учитывать моменты от 8(У,У*) и, следовательно, конкретный вид последних, так как отдельно по каждой компоненте импульс и энергия не сохраняются. В результате получаются два экземпляра гидродинамической системы вида дп+ д(пг';) 0 (9.7) дг длг д(тпи„) д " + — (гппиги„+рбг„)=дп(Б+ихН)„+Ь1ю (9.8) 1г=1,2,3, диг д — + — (иг + р)и.
= дпи, Е. + Лиг, д1 дхг г г г (9.9) где и†концентрация частиц, иг=тп а+в 2 р = гппе = пТ 3 (9.10) пп е Лиг — (Т* — Т ) Миг пп е г Ы„т (и„— и„), (9.11) 6 =е(п~ — и ), ,у = е(п+и' — и и ), (9.12) (9.13) называют двухжидкостной электродинамикой. и звездочкой помечены величины, относящиеся к другой компоненте. По сравнению с идеальным газом в правой части системы появились члены, отражающие наличие поля, а также Ы и Лиг, учитывающие обмен импульсом и энергией между компонентами среды при столкновениях. Параметр гг (проводимость) характеризует свойства среды. Модель, описываемую парой систем вида (9.7)-(9.11), вместе с системой Максвелла, где теперь, естественно, 39 3.
Произведем, далее, второе усреднение — по сортам частиц. Полагая р=ти +т а, (9.14) ри=т+и+и++ т и и, (9.15) придем к системе, включающей уравнения др д(ри,.) дт+ д*,. (9.16) д(риь) д + — (рии, +рБсч) = (БЕ+ т' х Н)„й = 1,2,3, (9.17) дш д — + — (р+ю)и,.
=уЕ, (9.18) дт де,. где ю=р е+ — 1 р= — ре 2,l ' 3 (9.19) а также уравнения Максвелла (9.3)-(9.4) и уравнение сохранения заряда — +С~,1 =0. дБ (9.20) ,т = ~ х Н(1+ 0(В~)), и в силу согласованности уравнений Б = О(В'). Пренебрегая величинами порядка Д', получаем (9.21) Б=О. т =~7 хН, Мы определили т', но лишились уравнений для определения Е. дФ Система (9.2), (9.3), (9.16) — (9.18), (9.20) оказывается незамкнутой, остается неопределенной плотность тока т'.
Замкнуть ее позволяют следующие типично физические рассуждения. 4. Обозначим через Г з, Е, Й характерные значения соответствующих величин. Из уравнения Максвелла видно, что величины дН7дт и т7х Е одного порядка, так как в сумме они дают нуль. Следовательно, ЙЯ= Е7 х и .Е = дй, где д — характерная скорость. Оценивая, далее, отношение дЕ7дт к т7х Н, получаем величину порядка 13'. Если ограничиться рассмотрением нерелятивистских движений, то д « 1 (скорость света у нас принята за единицу). Тогда из первого уравнения Максвелла вытекает, что Б.
Вторым параметром, малость которого можно использовать, является отношение масс электрона и иона т /т'. Вернемся к уравнению двухжидкостной электродинамики для электронной компоненты (9.8) и пренебрежем в нем членами с т . Останется (с учетом того, что и+ = и = п) а 2 пе ~7р = — еп(В+и х Н) + — (и+ — и ). о Исключая отсюда и' и и с помощью (9.13), (9.15) и опуская некоторые непринципиальные члены, получим закон Ома для движущейся среды, определяющий напряженность электрического поля: 1 Н= — т' — и х Н.
о (9.22) Уравнение (9.22) замыкает систему уравнений магнитной гидродинамики (МЕД): так называется модель, описываемая системой (9.16)-(9.22) вместе с уравнениями системы Максвелла дН дФ вЂ” + С7 х Л = О, 17Н = О. (9.23) д д — бр+ р — Ьи= О, дг адх д д р — Бм+ — бр=ба хН, ад~ дм а 6. Если двухжидкостная электродинамика (9.7) — (9.13) является несложной комбинацией уже исследованных моделей— идеального газа и электродинамики Максвелла — Лоренца, — то магнитная гидродинамика — математически принципиально новая модель сплошной среды.
Физическая аргументация, с помощью которой она построена, не гарантирует математическую корректность. Для исследования последней применим уже знакомый нам (при описании идеального газа) прием. Линеаризуем систему около произвольного константного решения, описывающего неподвижную плазму, и рассмотрим множество ее фурье- решений.
ПолагаЯ в (9.16) — (9.23) 7' = 7а+ 67' длЯ каждой фУнкции и оставляя лишь главные линейные члены, получим 41 д д р — 6е+Р— 6в=О, одг одх д д1 — 6Н+'(г х 6Е =О, 6Е = — 6у — бв х Но, 1 6,7'=~7 х 6Н. Функции вида 6Г =,г"ем+*~ будут решениями этой системы, если р,в,Р,Н (мы снова используем эти обозначения для амплитуд) удовлетворяют системе линейных однородных урав- нений ЛРов + ™Р =.7 х Но Лр + ро(сйв) =О, 5 Лр+ — р (сйв) = О, /1. ЛН+сй х ~ — у — вхН =О, ~о о1 ,т =ой хН, Приравнивая ее определитель нулю, приходим к алгебраическому уравнению для Л Л+ — (Л'+ й'сс) Л+ — + й'сс ' — + 'Л = О, где с, = — —. Оценивая корни этого уравнения, можно убедить- 5 Ро зр ся, что Ке Л < О, т.
е. возрастающих по модулю решений нет, и задача корректна. 7. Мы рассмотрели идеальную МГД, не учитывающую вязкость и теплопроводность. Включение последних производится так же, как и для нейтрального газа, с теми же проблемами и решениями их. При построении численных методов решения задач МГД никаких принципиально новых проблем не возникает. Система уравнений имеет параболический тип (гиперболический при ос — со), и для ее решения могут быть применены те же алгоритмы, что и в случае гидродинамики, с учетом (или без) диссипативных эффектов (проводимости, вязкости и пр.).
Лекция 10 МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ 1. Те несколько численных алгоритмов, которые были рассмотрены выше, допускают естественные обобщения на многомерный случай и демонстрируют слабую зависимость способов их построения и исследования от размерности задачи. Проблемы возникают, когда мы начинаем реализовывать многомерные расчеты. Начнем с очевидного — с того, что при увеличении размерности резко возрастает объем перерабатываемой информации и экономичность алгоритма приобретает особую остроту. 2.
Рассмотрим один из вопросов такого рода на примере систем, возникающих при использовании неявных алгоритмов решения эволюционных, а также стационарных задач. Пусть система линейных уравнений имеет вид (10.1) Специфика оператора В заключается в том, что он является дискретным аналогом дифференциального оператора (например, типа Лапласа или Гельмгольца). А это значит, что каждое уравнение системы связывает лишь небольшое число значений сеточной функции и в близких соседних точках. Если решать систему общими универсальными методами, то необходимое количество операций будет порядка куба числа неизвестных. В одномерном случае отмеченная специфика позволяет построить идеальный алгоритм исключения неизвестных — метод прогонки, требующий минимального числа арифметических операций и вычислительно корректный (точность результата соответствует точности, с которой производятся вычисления).
В многомерном случае (несмотря на обилие нулей в матрице В) такого рода процедуру построить не удается. Приходится использовать итерационные процессы, например вида и"~ = и" + т (Ви" — у ), (10.2) где т — некоторый параметр, а и†номер итерации. Это оказывается дешевле общего метода исключения, но до эффективности прогонки далеко. 43 Обозначим отклонение от точного решения на и-й итерации через Би" =и" — и. Его эволюция, очевидно, определяется рекуррентной формулой (10.3) би"" = (1+ тй)би", где 1 — единичный оператор. Если оператор В имеет достаточно мощный запас собственных функций, то по их поведению при итерациях можно судить о поведении Би, т. е. о качестве итерационного процесса.
Пусть т — одно из собственных значений оператора В. Тогда соответствующая ему собственная сеточная функция приобретает за одну итерацию множитель Л= 1+ тт. (10.4) Используя информацию о диапазоне собственных значений, можно определить оптимальное т и оценить скорость сходимости итераций, а вместе с ней и объем вычислительной работы. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
