Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (1185903), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рассматриваемая система не дивергентна, но в силу замкнутости для нее должен иметь место закон сохранения энергии и, в частности, его дивергентная форма. Чтобы получить ее, умножим первое уравнение (4.4) скалярно на Е, второе на Н и сложим полученные выражения. После преобразований получим д Е~+Н д д~ 2 дж — + — (Е х Х)=Е е/Нзр. (4.12) Далее, обозначим энергию электрона ш(р) (в релятивистском случае в используемых единицах «е = (1 +р )'~~).
Тогда по определению е = дю/др. Умножим (4.б) на «л и проинтегрируем по импульсному пространству. С первыми двумя слагаемыми все просто. В третьем, интегрируя по частям с использованием естественного предположения, что / — » О при ~р~ — » оо, получим / — (ш(Е+е х Н))Н'р =Е ~ /ео р+ д з др + ~ ~ — ( ~" «з«».
д др Последний интеграл равен нулю, так как «ее = р, а вектор д/др ортогонален векторному произведению р х Х. В результате получаем д д 1 з д~,1 — 1 у«ъ« — 1 "~«р=-«1 у«р. ~«1з~ да 3 Сложение (4.12) и (4.13) дает дивергентную форму — + ае/г(зр + — Е хН+ «ое/Н'р =О. (4.14) Ее интегрирование по области расчета приводит к закону сохранения энергии, выражающему изменение энергии в этой области через граничные потоки энергии. Можно попытаться провести аналогичную процедуру с уравнениями численного алгоритма, разумеется, заменив интегрирование суммированием.
Если при этом получится аналогичный 2 В. Ф. Дьачен«а результат, то алгоритм называют дивергентным (или консервативным) по энергии. Не исследуя сейчас этого вопроса целиком, рассмотрим только один его аспект. 4. Правые части уравнений (4.12), (4.13) описывают процесс обмена энергией между полем и средой. При вычислениях правая часть (4.12) реализуется через (4.8) формулой — (Ед') =Е„',ь и Ь„(хь — Х„)Ью, (4.15) а изменение энергии электрона при движении согласно формулам (3.5), (4.3) и (4.9), равно ои г(Р— =в(Р„) — = — в ') Е„бь(х — Х„)Ь,Ь„Ь,. (4.16) Чтобы вычислить обмен энергией, нужно просуммировать равенство (4.15), умноженное на Ь,Ь„Ь,, по точкам м и (4.16), умноженное на Ьш, по макрочастицам.
Эти суммы будут равны только в том случае, если вид функций Б„в (4.15) и (4.16) одинаков. Следовательно, интерполяцию (4.9) необходимо производить согласованно с вычислением плотности тока (4.8) с помощью той же дельтаобразной функции б„. Иначе возможен дис-' баланс — потери или неоправданные накопления энергии. Этот дисбаланс асимптотически стремится к нулю при Ь вЂ ~, Ью -+ 0 (в силу аппроксимации), а отсутствие его не обязательно влечет за собой увеличение точности результатов расчета. Однако важна точность не вообще, а применительно к той или иной характеристике процесса. Состояние же любой системы в первую очередь определяется ее энергией.
К тому же стремление параметров дискретизации к нулю остается, как правило, лишь теоретической возможностью. В таких условиях качество вычислительного алгоритма приходится оценивать не только по его асимптотическим характеристикам, но и по наличию свойств, общих с аппроксимируемой задачей. Поэтому дивергентность (или консервативность) — очень полезное свойство вычислительного алгоритма. б. Другой подобный вопрос — ситуация с законом сохранения заряда (см. (1.3)). Очевидно, интегрированием (4.6) по импульсам с учетом (4.1), (4.2) и замечаний п. 3 он получается незамедлительно. Дискретный (по пространству) аналог его с (4.7), (4.8) вместо (4.1), (4.2) запишем в виде — ~6„(х„— Х Я)!зю+Р ~~! э 6„(х — Х (й))Ь!!=О, (4.17) д где оператор Р— дискретный аналог градиента, использованный в расчетной схеме для системы Максвелла вида (1.7) и (1.8).
Нетрудно убедиться, что дельтаобразных функций, удовлетворяющих (4.17), не существует. Однако, как мы уже отмечали, в выражениях (4.7) и (4.8) (а следовательно, в первом и втором слагаемом (4.17)) можно употребить разные функции. Кроме того, при вычислении векторной суммы в (4.8) для каждой компоненты можно использовать свое 6„. Обозначим 6„в (4.7) через 6о, а в (4.8) соответственно через 6',6~,6з. Уравнение (4.17) будет удовлетворено, если для каждой макрочастицы Х(1), Р(с) выполняется равенство з — 6~(х — Х(й))+ ~~! и!Р.6'(х — Х(й)) = О, (4,18) ! =! где ох — компоненты скорости и(Р), а Р— компоненты дискретного градиента Р, определяемые формулами (1.8).
Каждое 6 в этом соотношении — произведение тройки одномерных функций 6'(м) = 6,'(*,) 6з(тз) 6з(*з)> т =О> 1> 2> 3> (4 19) где х„зз, жз — компоненты х, т. е. з, у, з. Подставляя эти выражения в уравнение (4.18) и учитывая независимость о', получим условия его выполнения сИ~ ! 6*. (>г, + Ь! /2) — 6*. (з! — Ь,/2) > > н 6> 6о при !' ф г'. (4.21) Задав произвольно три диагональных элемента 6,'., интегрированием (4.20) определяем 66: 6~(>з ) = ' * ' ' Ит, ( = 1,2,3, (4.22) а затем остальные 6,'..
Например, если в качестве диагональных использовать функции вида (4.10), то остальные, как легко установить, должны иметь вид (4.11). Лекции 5 ГИДРОДИ НАМ ИКА 1. Описание движения среды с помощью уравнения Больцмана (3.8) для функции распределения в шестимерном координатно-импульсном пространстве является хотя и самым общим, но в большинстве случаев излишне детальным и громоздким. Как правило, достаточно знать среднюю (макроскопическую) скорость среды и оценку теплового разброса скоростей (степень отклонения от среднего значения в данной точке), характеризуемого величиной внутренней энергии (температурой).
Такое гидродннамическое описание можно получить, исходя из (3.8), хотя исторически оно было сформулировано задолго до появления уравнения Больцмана. Ограничимся нерелятивистским приближением и будем считать г функцией координат и скоростей: г" =у(г,х,в). Кроме того, для сокращения формул пренебрежем полем, приняв Р = О. Уравнение Больцмана (5.1) указывает на две причины изменения Г' в данной точке х,в координатно-скоростного пространства: приход в эту точку вещества со своей скоростью (второе слагаемое в левой части) и «перемещение» частиц в скоростном подпространстве в результате столкновений их (правая часть). Последние происходят так, что количество частиц, их общий импульс и общая энергия не меняются.
Это свойство интеграла столкновений Я(1', 1') нам понадобится в первую очередь. Вместо концентрации п(т,х) (см. (3.1)) используем отличающуюся от нее лишь множителем гп (масса частицы) плотность р(т, ж): р = т1 И'о. (5.2) ри, = т7и,. НЪ, Используя тепловую скорость ю =и — и, определим внутреннюю энергию е(~, х): ю У 1з 2 (5.4) тензор напряжений р,.„(1, х): Р;ь — — т7ю,.юь и ю з (5.5) и вектор плотности потока тепла о(1, х): ю д,.= т1' — ю,.дЬ.
(5.6) Умножая (5.1) на т и интегрируя по всему трехмерному скоростному подпространству, получим, учитывая (5.2), (5.3), др д(ри,.) дФ дх,. а (5.7) Интеграл от тд равен нулю, поскольку количество частиц до и после акта столкновения одинаково, как и общая масса их. Умножим (5.1) на ти„и проинтегрируем. Заменяя переменную интегрирования на ю=и — и(~,х), используя (5.3), (5.5) и учитывая, что среднее значение тепловой скорости т7'ю о'ю = О, получим д(ри„) д + — (ри,.и„+р,.
) =О, й = 1,2,3. (5.8) Интеграл от тид равен нулю, так как суммарный импульс частиц, участвующих в столкновении, сохраняется. Наконец, умножая (5.1) на ти'/2 и интегрируя, получаем с учетом определений (5.4) — (5.6) — р з+ — + — и,.р з+ — +и„ры+о, =О. (5.9) Макроскопическую скорость и(~,м) определим, естественно, равенствами г' = 1, 2, 3. (5.3) 22 Интеграл от тв'Я равен нулю в силу сохранения энергии при столкновениях. Каждое из уравнений, входящих в гидродинамическую систему (5.7) — (5.9), имеет дивергентный вид и выражает закон сохранения массы (5.7), импульса (5.8), энергии (5.9).
Система выглядит громоздкой по сравнению с кинетическим уравнением (5.1). Однако это усложнение окупается уменьшением размерности пространства с шести до трех. 2. Система пяти уравнений (5.7)-(5.9) незамкнута: неизвестных функций больше пяти. Необходимы дополнительные соображения для получения замкнутой модели. Самым простым и естественным является предположение о независимости функции распределения в каждой точке от направления местной тепловой скорости и. Это означает, что 7(1,х,м(й,х)+ в) =Дй,х,~и!). (5.10) В этом случае недиагональные элементы тензора р,.„(5.5) и компоненты вектора плотности потока тепла д, (5.6) равны нулю как интегралы от нечетных функций. Диагональные элементы р,, = тфо,'.
Н$о =р одинаковы. Таким образом, ~,. =о, (5.11) причем давление (с учетом (5.4)) определяется по формуле 2 Р= Рг. 3 (5.12) В полученной модели идеального газа остается пять функций: три компоненты скорости и,, плотность массы р и внутренняя энергия г. Соотношение (5.12), называемое уравнением состояния, может иметь и другую форму, если исходить из микроскопического описания с функцией распределения от большего числа аргументов (моменты и т. д.). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
