Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (1185903), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Существуют и более точные модели. Распределение Максвелла где п — концентрация, а Т вЂ” температура, является решением уравнения Больцмана в случае однородной среды. Используя (5.4) и (5.12), интегрированием 7, нетрудно установить связь р=пТ. 23 Если неоднородность среды не очень сильная, то распределение Г' можно искать путем малого возмущения распределения Максвелла с переменными п(1,х), и(т,х), Т(г,х), полагая г = =Д,+Юг'. Таким методом получают модель, которая является следующим после идеального газа приближением макроскопического описания среды. При этом, конечно, приходится использовать конкретный вид интеграла столкновений Я(У, У).
Опуская описание способа получения, укажем сразу конечный результат. Тензор напряжений и вектор плотности потока тепла, вместо (5.11), принимают вид / ди,. ди 2 ди,. ~ ди. р. = р6. — и ~ — '+ — ~ — — 6. — ') — ~6. — ', (5.13) ~д д*.
З *'д*.) *'дх.' ь $ 3 з дТ (5.14) Здесь и, ~ (коэффициенты вязкости) и х (коэффициент теплопроводности) — известные константы или функции от р, Т. Эта модель, учитывающая диссипативные эффекты вязкости и теплопроводности, является замкнутой. Гидродинамическое описание среды дается скоростью и,. и набором функций, характеризующих ее термодинамическое состояние — р, з, р, Т и т.
д. Среди последних независимых только две, остальные определяются из соотношений типа (5.12)— уравнений состояния того или иного сорта вещества. Лекция 6 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ 1. Изучение гидродинамической модели начнем с идеального газа в наиболее простом варианте, когда все функции зависят только от одной пространственной координаты т (д/ду =д/дз = =0) и движение по у,з отсутствует (и„=и, =0). Уже в этом, одномерном случае проявляются многие интересные особенности модели. Система (5.7) — (5.9) с учетом (5.11), (5.12) в рассматриваемом варианте приобретает вид др + д(ри) (6.1) а~+ д* д(ри) д + — (р + ри2) = О, (6.2) И д* — р з+ — + — и р+р е+ — =О, (6.3) где (6.6) р =Р(р, з) (6А) — заданная функция, например (5.12).
Система (6.1)-(6.3) выражает законы сохранения (массы, импульса, энергии) и, естественно, имеет дивергентную форму (как и общая система (5.7)-(5.9)). Несложными преобразованиями ее можно привести к более простому, стандартному для квазилинейных систем виду др др ди ди ди 1др — +и — +р — =О, — +и — +- — =О, дФ дз дх ' дФ дз рдз (6.5) дз дз рди — + и — + — — = О.
а д* рд* Обозначив тройку функций р,и, е вектор-функцией и, последнюю систему можно записать в виде одного векторного уравнения дю дю — + А(е) — = 0 де дт с матрицей (6.7) и р 0 А= Р/р и Р,/р 0 Р/р и где Р, Р, — частные производные функции (6А). Хотя задача всегда содержит условия на границах области, мы их учитывать не будем и рассмотрим идеализированный вариант постановки задачи с начальными данными на бесконечном пространственном интервале. 2.
Для проверки корректности такой постановки ограничимся простым исследованием непрерывной зависимости от начальных данных в окрестности константных решений. Любое ю =ю, = сопз1, очевидно, удовлетворяет (6.6). Положим ю = ю + бю и подставим в (6.6). Считая бю малым, линеаризуем систему в окрестности ю„оставляя лишь главные члены. Получим д д — бю+А — бю=О (6.8) д1 дх — систему линейных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов А = А(ю,). Рассмотрим множество ее частных решений вида бю ець* — О (6.9) где Й вЂ” произвольное действительное число (решения должны быть ограничены на бесконечном интервале). Подстановка (6.9) в 6.8 ает ( )д и'бюо йАбюм т. е. бю, должен быть собственным вектором матрицы А, а ю = за, где а — собственное значение этой матрицы.
Необходимое условие корректности — отсутствие быстрорастущих решений — может быть выполнено только при вещественных а. Вычисляя собственные значения матрицы (6.7), получаем а, = =и,а„=и ~с, где РР, с= Р+ — ' а (так называемая скорость звука) — величина, которая для всех сортов сред оказывается вещественной. В частности, если уравнение состояния имеет вид (5.12), то с' = бр/(Зр) = 10 е/3. 3. Рассматриваемая система принадлежит к тому же классу, что и система Максвелла: она гиперболична. Они сходны и 26 ~а ~т7 1«< 1. (6.11) При этом /Л!=1.
Описанные ранее достоинства дивергентных (консервативных) расчетных схем сохраняются и в данном случае. Записав с использованием очевидных обозначений систему (6.1)-(6.3) коротко в виде де ду («а) д,+ д — — О, придем к дивергентному варианту схемы (6.10) -г ™.-+~(-:.)-~(-:-) . (6.12) (6.13) по методам исследования и по методам решения. В частности, описанные ранее алгоритмы применимы и здесь, и с тем же успехом. Расчетная схема «крест» (1.7), (1.8) с использованием тех же обозначений шагов сетки и номеров точек в применении к одномерной нелинейной системе (6.6) будет иметь вид ти-1»-1 + А(«в„") ~" " ' = О. (6.10) Аппроксимация дифференциальной системы (6.6) очевидна. Для проверки устойчивости алгоритма, как и при проведенном выше анализе корректности, ограничимся исследованием простой модели, считая матрицу А в (6.10) постоянной («замораживая» коэффициенты). Применяя опять метод Фурье, рассматриваем множество решений вида «а„" =«а,'Л"е*~".
Подставляя это выражение в (6.10) с постоянной матрицей А, получаем после сокращений Л вЂ” Л ', е'" — е '«' 2т Очевидно, в качестве и, 'следует использовать собственный вектор матрицы А. Но тогда применение А эквивалентно умножению на ее собственное значение а. Таким образом, дело сводится к решению квадратного уравнения Л вЂ” Л ' .61пср +а« =О. 2т Как указано выше, все с« — действительные числа.
Нетрудно убедиться, что условие устойчивости алгоритма ~Л~ < 1 выполнено, если 27 (6.15) (6.18) Вместо закона сохранения массы (6.1) появляется «закон сохранения объема» (6.16), поскольку масса стала координатой, а объем — функцией от нее. Уравнения (6.17) и (6.18) по-прежнему выражают законы сохранения импульса и энергии. Расчетные алгоритмы (6.10) и (6.13) могут быть применены и к (6.15) — (6.18).
Существует и множество других алгоритмов, но чтобы описать их, понадобилось бы написать целую книгу. б. Мы по умолчанию предполагали, что все решения задачи — гладкие дифференцируемые функции. Однако для нелинейных задач это предположение оказывается слишком оптимистическим. Проверка аппроксимации тривиальна, а исследование устойчи- вости, проведенное на той же модели, что и для (6.10), дает, естественно, тот же результат — условие (6.11). 4. При решении задач, которые описывают перемещение в пространстве фиксированной массы газа (еоблакаэ), целесооб- разно применение лагранжевой системы координат. По сравне- нию с уравнением (2.3) ситуация здесь несколько иная, и мы вве- дем их просто как замену переменных.
А именно, вместо пары переменных 1, х будем использовать пару г, С, причем связь меж- ду ними х = Х(~, с') определяется уравнением — = и(г, Х) дХ дт (6.14) с начальными данными, например, дХ/дс = 1/р при 8 = О. В новых переменных система (6.5) запишется короче: Ор ,ди Ои Ор — +р — =О, — + — =О, д1 дс ' дФ дс де ди — +р — =О, д~ д~ а дивергентная форма ее, аналог (6.1)-(6.3), будет иметь вид д1 ди — — — — =О, (6.16) д1 р д8 — + — =О, ди др д~ дс (6.17) Лекция 7 РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ Рис. 1 1. Самое существенное и общее для широкого класса задач следствие нелинейности можно установить на простом примере скалярного уравнения вида (6.12) — =о (7.1) д8 дх с начальными данными и(0, х) = и (х).
Легко проверить, что каждое решение и = Иг(Ф, х) постоянно вдоль интегральных кривых обыкновенного дифференциального уравнения — = а(И~(с, х)), сох сй (7.2) где а(и) =д1'/ди, поскольку левая часть (7.1) есть производная от и вдоль такой кривой: о с1т дг. с(с дх д1 дх Подобного рода кривые, на которых уравнения в частных производных вырождаются в соотношения, связывающие дифференциалы функций вдоль этой кривой, называют характеристическими. В данном случае получаем соотношение с(и = О, а кривые (7.2) оказываются прямыми. Для построения решения уравнения (7.1) из каждой точки начальной прямой 1=0, х= = х„где задано и=и~о(х ), выпускаем луч (характеристику) х = = х +Йа(и (х )), ~ ) О, и вдоль него полагаем ио(хо) 29 Ь вЂ” +а„Ь вЂ” =О.
(7.3) Здесь индекс — номер компоненты вектора, а„— собственное значение матрицы А. Следовательно, вдоль кривой (характеристики) и'з — =а( ) (7.4) выполнено соотношение (7.5) (Хмйи)„= О. Аналогия со скалярным уравнением (7.1) очевидна. Только теперь мы имеем не одно уравнение (7.2), а три семейства характеристик (7.4), каждая из которых несет на себе соотношение (7.5) между дифференциалами функций. Как и в скалярном примере, характеристики какого-либо семейства могут (и будут) пересекаться между собой, порождая неоднозначность решения. Конкретно для системы (6.6) соотношения (7.4), (7.5) могут быть представлены в виде трех пар уравнений: д~ — =и~с, пр~рсии=О, дл — =и, ИФ НЯ =О, где с — уже упоминавшаяся скорость звука, а Я(р, з) — (энтро- пия) интеграл уравнения 2д~ р' — +Р— =О.
др дз Построенное решение будет однозначной функцией, если лучи не пересекутся. Для этого необходимо, чтобы а(ю,(х)) как функция л не имела интервалов убывания. Это существенно ограничивает класс уравнений (7.1) и начальных данных. Можно утверждать, что решение уравнения (7.1) существует, как правило, лишь на конечном интервале по времени. 2.
Описанный эффект нелинейности имеет место и для уравнений идеального газа, где 7 и и — вектор-функции. Переписав систему (6.12) в виде (6.6), умножим ее слева на матрицу Ь, приводящую матрицу А к диагональной форме ЬАЬ '. Получим зо Для уравнения состояния (5.12) имеем з 2 2/3 ' Наличие полного набора (трех семейств) действительных характеристик, т. е. гиперболичность системы квазилинейных уравнений идеального газа, позволяет построить следующий численный метод решения задачи.
Каждая характеристика несет на себе соотношение, связывающее дифференциалы трех функций. Используя три характеристики различных семейств, пересекающиеся в одной точке, мы получим три соотношения для определения значений трех функций в этой точке. При этом продвижение по характеристикам (интегрирование (7.4), (7.5)) производится малыми шагами Ь| с аппроксимацией дифференциалов конечными разностями. Численный метод характеристик — исторически первый алгоритм расчета гидродинамических задач — сейчас утратил былую популярность в основном из-за относительной сложности его логики. В то же время он остается ценным инструментом для теоретического исследования вопросов существования и единственности решения, допустимости типа граничных условий и т.
д. 3. Представленная картина, проясняя вопрос существования решения, показывает ограниченность применения модели идеального газа. Однако прежде чем отбрасывать ее и переходить к более точным моделям заметим, что не всякая неоднозначность решения является физически бессмысленной. Так, допустимы решения, имеющие на некоторых поверхностях разрыв (первого рода). Они недопустимы математически как решения дифференциальных уравнений. Последние выражают законы сохранения, у которых есть и вторая форма — интегральная, не требующая от функций дифференцируемости. Этим мы и воспользуемся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
