Дьяченко В.Ф. Десять лекций по физической математике (1185903), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В отличие от электромагнитного поля, для материи второго вида — вещества — существует много моделей. Начнем с фундаментального описания состояния сплошной (непрерывной) среды с помошью функции распределения /(г,х). Физический смысл имеет лишь интеграл от /(8,х) по любому объему. Он дает количество вещества в этом объеме — это и есть определение функции распределения. Поскольку считается, что материя дискретна (состоит из элементарных частиц, молекул и т.
п.), то количество материи измеряют количеством частиц. При этом описание с помощью функции распределения понимается как непрерывная модель материи. Мы будем иметь дело лишь с этой моделью и, употребляя термин «частица», будем иметь в виду некоторую абстракцию— бесконечно малое количество вещества в окрестности точки пространства, а не частицу в буквальном смысле. 2, Пусть имеется среда с заданным законом движения: вещество, находящееся в момент 1 в точке х, имеет скорость е(8,х). Выделим некоторое количество вещества, заполняющее в начальный момент объем Ъ'(О), и будем следить за его перемещением.
По определению это количество находится по формуле й(У(й)) = У(й, х) дК (2.1) т«с> Дифференцируя по времени и учитывая, что пх/Ж =е, имеем — — й~+ /е4в = — + Ж~, (2.2) в« У где пв — элемент поверхности объема. Второе равенство следует из известной формулы интеграла от дивергенции. Так как выделенное отмеченное количество вещества не меняется, то и'й/Ж = О, и в силу произвольности объема функция распределения удовлетворяет соотношению 11 — основному уравнению непрерывной среды.
Его называют уравнением непрерывности. Оно является простейшим уравнением в частных производных. 3. Наряду с обычным эйлеровым описанием среды, использующим функции от координат точек пространства, возможно другое, лагранжево описание, использующее координаты, сцепленные с веществом («номера» или «фамилии» частиц). Лагранжева координата ш частицы постоянна, а положение частицы в пространстве становится функцией времени х =Х(~, ш). Переход от одного описания к другому можно представить формулой У(~, х) = б(х — Х(1, м)) йо.
(2.4) Под б-функцией векторного аргумента мы понимаем произве- дение б-функций от каждой компоненты. Подстановка выраже- ния (2.4) в (2.1) дает очевидное равенство й(ъ') = йо, хе~ отражающее смысл лагранжевой координаты ш Наконец, подставляя 2.4) в уравнение (2.3), получаем соотношение дХ б~(х — Х) — — + в(г, Х) йи = О, которое выполнено, если ~й — =е(1,Х).
ЫХ Ю (2.6) (2.5) Мы употребили символ И/дг для обозначения дифференцирования по времени при постоянном ш. 4. Построение численного алгоритма, как всегда, производится путем дискретизации объектов задачи. В данном случае среда разбивается на конечное число малых элементов Ью (макрочастиц), а интегралы заменяются суммами. Таким образом, вместо (2.5) мы имеем й = 2„Ью, т. е.
для подсчета колихеи чества вещества в объеме просто суммируем все макрочастицы, попавшие в этот объем. Каждый элемент (макрочастица) перемещается согласно обыкновенному дифференциальному уравнению (2.6), численное интегрирование которого легко выполнить. Для этого можно применить стандартные алгоритмы: Эйлера, Рунге — Кутта и т. п. 12 Для вычисления значений функции распределения 7", прежде чем заменять интеграл, входящий в (2.4), суммой, следует вместо б-функции использовать какой-либо ее аналог — дельта- образную функцию б„ с носителем малого, но конечного размера Ь. Тогда имеем 7'(т, х) = ~~> б„(х — Х(т, ю))Ью, (2.7) где суммирование производится по конечному множеству макро- частиц м. 5. Подчеркнем, что описанная дискретизация задачи не есть возврат к исходной физической интерпретации материи как совокупности точечных частиц.
Это есть дискретная, чисто математическая модель непрерывной среды. Можно строить численные алгоритмы и непосредственно для уравнения (2.3), но для многих классов задач они оказываются неэффективными. Особенно, если распределение является негладкой функцией. 6. Уравнение (2.3) явилось следствием сохранения количества вещества. По этой причине говорят, что оно выражает закон сохранения.
Если проинтегрировать это уравнение по фиксированному объему, то, прочтя (2.2) справа налево, получим интегральное равенство — 1 ~(Л1+ 1 7'еда =О, д (' ~й 3 (2.8) з которое также называют законом сохранения. Смысл этого термина заключается в утверждении, что единственной причиной изменения количества вещества в объеме (первое слагаемое в (2.8)) является поток вещества через поверхность (второе слагаемое), определяемый лишь ситуацией на границе. В дальнейшем мы увидим, что уравнения типа (2.3) и (2.8) могут описывать поведение и других физических субстанций (энергия, импульс), выражая их законы сохранения.
Формально соотношение (2.8) есть следствие лишь «дивергентности» уравнения (2.3), т. е. того, что оно записывается как сумма производных. 7. Заметим, что мы нигде не использовали трехмерность пространства. Поэтому формулы (2.1)-(2.7) применимы для любого числа измерений. Этим мы воспользуемся в следующей лекции. Лекция 3 МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 1. Пусть г'(т, х,р) — функция распределения вещества в шестимерном координатно-импульсном пространстве. Заметим, что при таком описании мы допускаем неоднозначность импульсов (скоростей) в каждой точке пространства (тепловой разброс скоростей).
Оставим физикам обоснование такой возможности и рассмотрим эту модель. Интеграл (3.1) п(т,х)= ~(т,х,р)с8р по всему трехмерному импульсному подпространству определяет концентрацию вещества, и, следовательно, Й(Ъ') = п(Ф,х)Н х (3.2) — количество вещества (число частиц) в объеме Ъ'. Если число частиц — величина сохраняющаяся, то функция распределения должна удовлетворять уравнению непрерывности (2.3), которое в данном случае запишется в виде аУ д(У™) д(~Р) О д1 дх др где я =я(р) — обычная скорость (и =р/т в нерелятивистском пределе, т — (масса покоя частицы) число, характеризующее сорт вещества), а Р— скорость изменения импульса р, т. е. сила.
Она может определяться как полем, в котором движется вещество, так и другими факторами. 2. Пусть сила Р(г,х,р) — заданная функция. Тогда (З.З)— вполне определенное уравнение, и для него может быть поставлена эволюционная задача, рассмотренная выше для (2.3). В частности, возможен переход к лагранжевым переменным.
Очевидно, в данном случае формула (2.4) принимает вид 1(й, х,р) = 6(х — Х(й, ш)) 6(р — Р(й, ш)) йо, (3.4) а уравнения движения (вместо (2.6)) — вид о'Х йР— = и(Р), — = Р(1, Х,Р). ~Й ' Ю (3.5) 3. Дискретизация задачи проводится совершенно аналогично описанному выше.
Среда разбивается на макрочастицы Ью, которые движутся согласно уравнениям (3.5). Интегралы заменяются суммами, а дельта-функции — дельтаобразными функциями 6„. В частности, для вычисления концентрации о(г,х) следует использовать формулу, аналогичную формуле (2.7): п(~,х) = ~~> 6,(х — Х(т, ш)) Лог. (3.6) Среднюю скорость м(~, х), очевидно, следует определить со- отношением пи(й,х) =Я и(Р(г,ш))бр,(х — Х(й,ю)) Ью. (3.7) 4. Мы изложили простейший вариант микроскопического описания среды.
Усложняя картину, можно учесть большее количество характеристик движения элементов среды (ие только положение и импульс) и увеличить тем самым размерность пространства состояний. Кроме того, сила Р может зависеть от самой функции распределения 7" и ее производных.
Наконец, могут нарушаться некоторые допущения, сделанные при выводе основного уравнения непрерывной среды (3.3). Так, если учесть эффект столкновений частиц, то в уравнении появится правая часть (так называемый интеграл столкновений Я(7,,г")), и оно примет вид д( д(7в) д(УР) (3.8 д1 дх др ) Это уравнение называется кинетическим уравнением Больцмана. Конкретный вид оператора Я(Г",7") нам не понадобится, и мы его здесь не приводим. Лекции 4 ПЛАЗМА БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ 1. Система Максвелла незамкнута.
Она описывает реакцию пространства на заданные распределения зарядов и токов. Замк- нуть систему можно, если учесть, что движение зарядов в свою очередь определяется полем. Опишем один из способов такого замыкания. Рассмотрим среду, состоящую только из электронов с функ- цией распределения У(т, х, р). Тогда в подходящих единицах из- мерения по определению плотность заряда и, )=-~л,,~и~, (4.1) а плотность тока— у(т, х) = — е(р)7 (г,, и, р) и р.
(4.2) Сила, с которой поле действует на электрон (сила Лоренца), имеет вид р(т,и,р) = — (Н(т,и)+е(р) х Н(т,х)). (4 3) Подставляя эти выражения в уравнения (1.1), (1 2) и (З З) получаем замкнутую систему (Максвелла — Власова) дЛ Г 3 — — Ч х Н= ) е(р)~(т,х,р)г( р, — +Ч х.Е=О, (4.4) я= — ~ ~(Й,драишь ~' н= О, (45) дУ дУ вЂ” +е — — (В+е х Н) — =О. дГ дт дх др (4.6) Она описывает поведение электронной плазмы в собственном поле без учета столкновений частиц.
2. Для решения системы (4.4) — (4.6) можно применить чи- сленный метод, который по-существу описан (по частям) в пре- дыдущих лекциях. А именно, уравнения (4.4) аппроксимируются конечно-разностными соотношениями вида (1.7), (1.8), которые дают возможность последовательного вычисления Л",, Н", Р(Х ) =~~) 6„(хь — Х )РьЬ,Ь„Ь,. (4,9) Дельтаобразные функции векторного аргумента — произведения троек таких функций скалярного аргумента, например, вида бь(з) = 1/Ь, при )т! < Ь/2, (4.10) или б„(х) = (1 — )ж)/Ь)/Ь, при ~ж! < Ь, (4.11) с б„= О вне указанных интервалов.
В качестве Ь можно использовать соответствующий шаг эйлеровой сетки. При этом вид каждой компоненты б„в каждой из формул (4.7)-(4.9) может быть различен и произволен, если не предъявлять к алгоритму каких- либо дополнительных требований.
если известны значения плотности тока т",, Уравнение (4.6) решается переходом к лагранжеву описанию (см. формулу (3.4)), дискретизацией среды и интегрированием уравнений движения макрочастиц (3.5), если известны значения поля Р(т, Х(~, ш),Р(й, ю)) определяемые (4.3). Таким образом, проблема сводится к определению алгоритма обмена информацией между двумя частями системы, поскольку дискретизация пространства и среды производится разными способами. Полевые величины Е,Н,вычисляются на эйлеровой сетке точек з с мультиномерами Й = (Ь„ Ь„,Ь,), определяемой параметрами дискретизации Ь„ Ь„, Ь,.
Координаты Х и импульсы Р макрочастиц вычисляются на лагранжевом множестве ю (с параметром дискретизации Ьш), двигающемся сквозь неподвижную эйлерову сетку. Для вычисления р и у в точках этой сетки используем формулы типа (З.б), (3.7), аппроксимирующие (4.1), (4.2): р„= — ~> 6„(х„— Х„) б со, (4.7) д'„= — ,'ь е(Р„) б„(х„— Х„) Ьш. (4.8) Информация, идущая в обратном направлении (вычисление Р на макрочастицах), производится путем интерполяции Е, Н в точку Х, что можно записать формулой 17 3. Одним из таких требований является «дивергентность» расчетного алгоритма. Мы применили этот термин к дифференциальному уравнению и отметили вытекающее из этого свойства следствие — интегральный закон сохранения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
