Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 25
Текст из файла (страница 25)
расщепление по пространственным переменным приводит к погрешности решения, имеющей порядок 0 (Лт), и поэтому допустимо при достаточно малых шагах по времени Лт. Для получения локально-одномерной схемы достаточно провести дискретизацию задачи (3.79), (3.8!) по пространственным переменным с использованием неявных схем: прн!=-! (1а, т=Т»п,т', при!) ! б~:т =ш.'.ю.
(3.8'» м' — иl = — (ы', ь~ — 2ш,', „, 1- ш~,, „,. ~1, (3,901 зт ь» ш< т — бл (3.91) Рассмотрим структуру получившейся системы конечно-разностных уравнений и методику ее решения. Система (3.88), (3.89) для К, „, фактически распадается на не связанные между собой подсистемы, в каждую из которых входят только неизвестные, принадлежащие какой-либо из <горизонтальных прямых». Эти подсистемы решаются путем прогонок «по горизонталям» в направлении оси х, причем на каждом шаге по времени такие прогонки выполняются М раз; и = 1, ..., М.
Аналогично система (3.90), (3.91) распадается на «вертикальные» подсистемы, которые решаются прогонками в направлении у, которые выполняются Л' раз. Таким образом, для определения значений температуры и„',,„ на новом временном слое сначала на основе распределения температуры предыдущего временного слоя и'„ „, прогонками в направлениих находится промежуточное распределение д'„ „„ не имеющее самостоятельного значения, а затем на основе этого промежуточного распределения с помощью вертикальных прогонок вычисляется окончательное распределение нового временного слоя. Процедуре составления системы конечно-разностных уравнений локально-одномерной схемы целесообразно дать следующую физическую интерпретацию. На первом этапе область заменяется набором теплоизолированных между собой горизонтальных стер кней (рис.
3.18, а), для каждого из которых методом баланса записывается соответствующая неявная конечно-разностная схема, учитывающая граничные условия задачи на вертикальных границах х -- 0 и х = 1«как граничные условия для торцов стержня. Подчеркнем, что при составлении уравнений ба.. нса для нижнего и верхнего горизонтальных стержней их боковой теплообмен со средой учитывать не надо, т. е. адиабаты в направлении х проходят и по границам д -О, ч = !». Поэтому система уравнений для первого н последнего го- 1»1 ризонтальных рядов элементарных объемов (л»= ! и т=- М) полно«тью идентична системе для внутреннего ряда. На втором этапе аналогичным путем составляются конечно-разностные уравнения для в«ртикальных стержней (рис.
3.!6, 6). Для простой области прямоугольной формы описанная процедура составления разностной схемы на основе ее физической интерпретации не сильно облегчает работу по сравнению с формальным путем, однако для более сложных областей (см. рис. 3. (2) она оказывается весьма полезной и позволяет избежать ошибок. а) б/ У Миайпл»ы л доадпл»ы Ряс 3.!б Приведенное выше обоснование допустимости применении конечно-разностной схемы расщепления носило полукачественный характер. Однако можно провести и строгое математическое доказательство наличия у схемы (3.88) — (3.9!) свойств аппроксимапии порядка 0 (Лт г)»„'-'- й,',) и безусловной устойчивости (см., например, (24!). Отметим, что прн рассмотрении свойства аппроксимации вводится специальное понятие так называемой суммарной аппроксимации )24), которое заключается в следующем. Каждая из промежуточных систем разностпых уравнений (3.88) или (3.90) в отдельиосзи не обладает свойством аппроксимапии.
Однако невязка, возникающая на первом полушаге, компенсируется на втором полушаге, так что в целом получается погрешность аппроксимации, стремящюпя к нулю при измельчении пространственно-временной сетки. рассмотренная для двумерного случая локально-одномерная схема естественным образом обобщается и на трехмерные задачи. В этом случае вычисления на каждом шаге по времени проводятся в три этапа путем прогонок в гаправлениях х, у и г. После прогопок в двух направлениях находятся промежуточные распределения температуры, а после третьей прогонки — окончательное решение на данном шаге.
Заметим, что мощность внутренних источников»( при расщеплении уравнения теплопроводности можно «относить» либо к одному из направлений, как это было сделано выше, либо распределять с некоторыми весовыми коэффициентами между от- дельными направлениями. Например, для трехмерной задачи при составлении каждого из одномерных уравнений можно записать в него член д '3 )4роме локально-одномерной существуют и другие экономичные схемы. В частности, для двумерных задач получила распространение схема переменных направлений (4, 241. 4 зхь ЛРОГРАммнАЯ РеАлизАция численнОГО Решения МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЫ В качестве примера рассмотрим программу для решения по локально-одномерной схеме нестационарного трехмерного уравнения теплопроводности дтя параллелепипеда (рис.
3.17): дТ ( д»Т доТ си'Т дт 1 д»о ' дсо ' д»о (3.92) с граничными условиями дТ (3.93) х„.-=. (л — 1) йх, У„=(т — 1) йс, со — (Я вЂ” 1) )Г». Локально-одномерная схема при просзранственной сетке равно- мерной по каждой из координат х, у, г имеет вид: уравнения для первой промежуточной сеточной функции 1';, л ! аохлх сра»".
и чо»Л» У..,о — (1+ + . 2хдт/ ' >. А» ~'чо, ср à — — — и,, ) =-О. 2Ь(, 3 Ат ио» /4» ср -1- — ( — + — и,,о1=0, и=2 ..., У вЂ” 1, х (, 3 Дт о'"'/ о а1» Их сра 1 Г Г ( Х 2ХДт / ~""' о+ , 41 ах ао 1'4. сп 2» 1 3 дт 123 н начальным условием Т(х, у, г, т) 1»=.о Т,.
(3.94) ПРи численном Решении вводитсЯ сещ1чньи фУнкциа и'„, „, ы соответствующая температуре Т (х„у„, го, т,): 1 2 3 4 5 8 7 8 3 19 11 12 13 14 15 !6 !7 !8 13 29 21 22 23 24 25 28 27 28 28 39 31 32 33 34 35 36 37 38 39 49 41 42 43 44 48 47 48 48 59 51 52 53 ПРОГРАМ)й РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНОГО ТРЕХМЕРНОГО твакРАтутного поля ПАРллеелкпипЕ(Ы по ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНОЙ СХЕМЕ РХМЮВХОИ АЬР(8),(Щ(6),ХУ(19),)П(У(!9), «4[29),ВХ(29),с(29),Р(29),с(29), «с(29,29,29),вх(29),82(ге),и(29) !. ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННйХ РХ,РХ,Р2 - РАЗМЕРЫ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Аь,ся - теплспгсжщнссть, ав'ещия ТАплощя(ость ОЧ вЂ” РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОИНССТИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ АРР(6) - новиициенхы тхплсотдхчи нА ГРАнях (Х 9, Х РХ, Х 9, Х РХ, 2 9, « Р2) СЗ(6) - ПЛСТНССТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОНА ПОВЕРХНОСТНЫХ ИСТОЧНИКОВ НА ГРАнЯХ ТЭ вЂ” НАЧАЛЬНАЯ ТЕМПЕРАТУРА НХ,КХ,Ж - ЧИСЛО ТОЧЕК ПО ОСЯМ ТАП вЂ” ИАГ ПО ВРЕМЕНИ ТМАХ вЂ” МАКСИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ зу - число щ(водов нА печхть в течение вины тч(зч) - мОменты ВРемени ВИВОдА нА печАть КУ вЂ” ЧИСЛО СЕЧЕНИИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ОСИ 2, в котоРых выводятся нА печхть тюя)ХРАТХРЫ КУЧ(КУ) - НОМЕРА СЕЧЕНИИ ВЫВОДА НА ПЕЧАТЬ НЕАЭ 1, РХ,РХ,Р2,АЬ,СН,ОУ 1 РОЯМАТ(6Р!9.3) РЯ1ИТ З,ЭХ,ЭХ,РХ,АЬ,СН,ОУ 2 РОНМАТ(' РАЗМЕРЫ:',ЗС19.3/ «' А(~',С!9.3,' СН ',С19.3,' ОЧ ',С19.3) НЕАЭ 1, (АЬР(Н),Н 1,6),(Ф(Н),н 1,8) РЯ!ЬТ 3,(А)Р(н),Н 1,6),(ЧЗ(И),И 1,8) 3 РОНМАТ(' КЮЭФИ~ИЕЗПЫ ТЕПЛООТДАЧИ:'/6319.3/ «' ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА:'/6019.3) яехэ 1, тэ,тАО,ТИАЛ РЯХИТ 4,ТЭ,ТАС,ТМАХ 4 РОЯМАТ(' Те ',РВ.З,' ТАС ',С!9.3,' ТМ(С( ',С19.3) ВЕАР 5, НХ,ИХ,ИЗ,ЪЧ,КУ 5 РОЯМАТ( 1915) РН1ИТ 6,ИХ,НХ,Н2 6 РОНМАТ(' ЧИСЛО УЗЛОВ:',315) НЕАЭ 5, (КУУ(И),Н 1,КЧ) РН1ЬТ 7,(КЧЧ(н),И 1,НУ) 7 РОНМАТ(' СЕЧЕННЯ ВЫВОДА:'/(1915)) ЯЕАР 1, (ТУ(Н),н (,ЗУ) РЯ1ЬТ 8,(ТУ(И),И 1,ЗУ) 8 РОЯМАТ(' МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ ВЫВОДА.''/(6С19.3)) 2.
ЗАПАНИЕ НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕЛЕЛЕННЯ ТЕМПЕРАТУРЫ РО 1Э К 1,Н2 РО !9 М 1,ИХ ЭО 19 И !,ИХ !9 С(И,М,К) ТЭ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ВЕЩРИИ( Рис. 3.17 уравнения для второй промежуточной сеточной функции (Р'„ (ниже для сокрашения числа формул приводим лишь уравнения для внутренних узлов, а уравнения для граничных узлов т 1 н л( == М запишутся аналогично уравнениям для К„, »„» при л 1, л й() срд„' ( х! /д«ср Л)з дт уравнения для искомой сеточной функции и'„, „,, ы соответствующей температуре на /-ч временном слое, и«.»!.»«-! '(2 / ° ° /пп, «. » цл.~п,» ! + лдт / (!» / Чс ср — ' + )Р',.) =0. ~(з лт На каждом шаге по времени для расчета разностного решении и,', „, » сначала «прогонками по направлениям, пар,!,юельным осн «», определяется первая промежуточная сеточная функция 1»'„„, !атем «прогонками по направлениям, параллельныч оси 1(», вычисляется вторая промежуточная сеточная функция (т'„»,, » и, наконец, «прогонками по направлениям, параллельным оси г», находит.
ся искомое решение и„' „,, „. При этом сеточная функция 1'„', „ «вписывается на местофункции и,', „, », функция («",, „, » — на ме сто '»",»,„„а и,', „, » на место («';, „, ». Поэтому для хранения ссгочной функции температур используется лишь один трехчерный массив () размерами !» М '' К. Структура программы расчета трехмерной задачи во чногоч похожа на рассмотренную в э 3.5. структуру програччы д.!я одномерной задачи.
Основное отличие состоит в организации расчетов внутри цикла по времени. Каждый шаг по времени состои! нз трех частей, в которых определяются сеточные функции К,', » (операторы 92 — 105), »Г,', „,, (операторы 106 — 121), и,'...,, (операторы 122 — 137).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
