Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Дополнительные слагаемые учитываюз действие внутренних источников, теплообмен с боковой поверхности и затраты теплоты на нагрев элементарной ячейки. Эти слагаемые пропорциональны Ь,, поэтому при Ь, — ~ О обе аппроксимации граничного условия становятся идентичными. Можно показать, что погрешность аппроксимации граничного условия уравнением (3.52) — О (Ь',), а уравнением (3. 24) — О (Ь,). Аналогичным образом строится разностная аппроксимация граничного условия при х =- 1. Как видно из (3.52), пренебрежение второй группой слагаемых приводит, например, к тому, что не учитывается мощность, рассеиваемая в области, прилегающей к границе на расстоянии Ь!!2. При небольшом числе пространственных узлов это может привести к заметным потерям мощности.
Например, при Ф = 11, Ь =- = ИО и д, = сопз( «теряется» 1О 'Ъ полной мо!цности, что, разумеется, приводит к занижению перегревов. Еще большие значения может принимать погрешность разностного решения без учета мощности в прилегающих к границе областях в многомерных задачах, поскольку в этом случае пространственные сетки довольно грубые и объем приграничных областей может составлять значительную долю общего объема тела. Отметим, что при использовании явной схемы аппроксимация граничных условий проводится аналогично рассмотренному выше случаю неявной схемы, но потоки д,~м д! и дп записываются че- рез значения температуры с предыдущего момента времени Т/ —,' н Т/,— '.
При этом несколько изменяется по сравнению с (3.28) условие устойчивости. Оно становится зависящим от значений коэффициентов теплоотдачи на торцах н имеет вид /!2 /!« Система уравнений (3.51) для внутренних точек п =- 2, ..., /!/ — 1 и уравнений типа (3.52) для граничных точек представляет собой консервативную неявную схему численного решения задачи (3.49), (3.2). Если просуммировать все уравнения разностной схемы для и = 1, ..., й/, то получим сеточный аналог закона сохранения энергии для всей области (О, 1).
Учитывая, что выполняется условие согласования тепловых потоков на границах элементарных ячеек, в результате суммирования придем к равенству, записанному ниже для упрощения обозначений при /! = сопз1: и — ! л(»"' ». »'" »~ ~ д.)»-«,».» = »М». Й»- л=2 / а / »-! ( "'"' »- """" + 2, »)»- 2 л=2 2 2 л=2 Формула (3.53) имеет следующий смысл: сумма мощности внутренних источников и потоков теплоты, выделяющейся на границах, равна сумме тепловых потоков, уходящих в среду через границы и рассеиваемых через боковую поверхность, и мощности, расходуемой на нагрев стержня.
Заметим, что если величины д,„ получены при //, = »/,(х) путем приближенного вычисления соответствующих интегралов, то «сеточная» полная мощность отличается от истинного значения полной мощности в исходной постановке задачи на величину погрешности квадратурных формул интегрирования. Свойство монотонности. Кроме условия наличия свойства консервативности к разиостной схеме можно предъявить еще одно разумное требование, выполнение которого обычно проверяют на практике.
Чтобы его сформулировать, запишем разностное уравнение (3.51) для внутреннего элементарного объема с центром в точке х„ в виде Ьли„=а„и„+!+с„и„!+д„и +ели'„+!+/ли„— !+ил, (3.54) / / / / †! — 1 / — 1 где коэффициенты имеют следующие значения (прн Л = сопз1, Ь =- = сопз(, сх, = 0): Ь„= 2о + ср/!з/Лбт, а„= с„= о, !(„=ср/Р/ЛЛт — 2(1 — о), е„=/„=(1 — о), д„=ой /Л. Разностное решение и!должно правильно качественно отражать свойства различных точных решений.
Из физических соображений вытекает, что при прочих равных условиях увеличение любой температуры, стоящей в правой части равенства (3.54), должно приводить к возрастанию значения иг'. Отсюда следует, что коэффициенты а„, с„, о'„, е„, /„не должны принимать отрицательных значений, если Ь„) О. В противном случае мы рискуем получить физически неправдоподобные решения.
Видно, что все коэффициенты, кроме д„, всегда положительные. Условие положительности для д„имеет вид ср/Р срйх/ЛАт — 2(1 — о))Онли Лт < 2Л (1 — о) (3. 55) Для явной схемы (при о= 0) условие (3.55) совпадает с условием устойчивости (3.30). Для схемы Кранка — Николсона (при о = 1/2), которая устойчива при любом соотношении между Лт и Ь, из (3.55) вытекает ограничение на шаг по времени, обусловленное требованием получения физически правдоподобных решений. Действительно, если не выполняется условие (3.55), то при моделировании процессов, для которых точные решения представляют собой монотонные по времени функции Т (х, т), могут получаться разностные решения, колеблющиеся по времени и по пространственной координате.
Условие отсутствия колебаний разностного решения при моделировании процессов с монотонно изменяющейся температурой называется условием монолюнности разностной схемы. Таким образом, недостатком схемы Кранка — Николсона, о котором мы упоминали ар 3.2, является отсутствие монотонности прн превышении некоторой критической величины шага по времени. Заметим, что отсутствие монотонности не означает практической непригодности разностной схемы для счета. Однако в этом случае следует иметь в виду, что качественное поведение разностного решения (изменение иг в пространстве и во времени) может противоречить физиче скому смыслу, хотя количественно величина погрешности разностного решения !еЯ = 1Т~ — и!1 может быть и достаточно мала.
Отметим, что в наиболее благоприятном положении с рассмотренной точки зрения находится неявная схема (о = 1), у которой условие (3.55) переходит в о, = срйэ/Лйт ) 0 и выполняется всегда. $ ЗДЬ МЕТОД ПРОГОНКИ а» и1»+Ь» и(+ д«= 0; для внутренних точек а = 2, ..., Лà — 1 (3. 56) а„и'„+~+Ь„и«+с„и„', +с(„=0; (3.57) для граничной точки а = У Ьч и,ч; с,ч ии-~+ч(и =О. Г 7 (3.58) Выражения для коэффициентов а„, Ь„, с„, «(„нетрудно получить из соответствующих уравнений разностной схемы.
Систему уравнений (3.56) — (3.58) можно записать в матричной форме, причем в матрице отличны от нуля будут лишь коэффициенты, Перейдем к решению системы уравнений (3.51) — (3.52), получающейся на каждом временном слое при расчете по неявной схеме (полагаем в (3.51) о = 0). Для нахождения значений (и',)„", на )хм временном слое при известных значениях разностного решения и~ ' во всех пространственных узлах предыдущего временного слоя необходимо решать систему алгебраических уравнений с числом неизвестных Л(, которое может быть достаточно велико (в реальных задачах несколько десятков или сотен). Одним из лучших методов решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида является метод последовательного исключения Гаусса с выбором главного элемента.
Расчет по формулам этого метода требует примерно М«арифметических операций, поэтому при достаточно больших ЛГ потребуются значительные затраты машинного времени. Заметим, что при решении задачи по явной схеме число арифметических операций вычисления разностного решения на каждом временном слое по формуле (3.27) пропорционально У. Особенность системы (3.51), (3.52) состоит в том, что в каждое уравнение для внутренних точек входят по три неизвестных, номера которых отличаются на единицу, а в первое и последнее уравнения для точек п = 1 и л =- Л/ — по два «соседних» неизвестных. Если учесть такой специфический вид построенной нами системы разностных уравнений, то эффективность алгоритма ее решения можно существенно повысить. Запишем систему уравнений в следующем каноническом виде.
для граничной точки л= ! находящиеся на главной диагонали и на двух прилегающих к ней диагоналях: . а 1 ит э Ь,аэ сЬа, 0 -аэ аэ и„ 1 с„Ь„а„ 6 с,Ь„ и'„' аэ здесь введены обозначения 7,: — — а,/Ь„яэ =- — э(э/Ьо (3. 59) Далее, если подставить полученное выражение для и, во второе уравнение (3.57) для п -= 2, то в ием останутся только неизвестные мэ н иэ. аэ иэ+ Ьэ иэ+ с, Дэ иэ+ йэ) + дэ = О.
Теперь можно выразить и, через и, в виде Дэ+сэ 21 иэ — ь +, 7 =)эиэ+Йэ сэ из=в Ьэ+ сэ )э где аэ аэ+ сэ яд ээ=-' — йэ= Ь,+с,), = Ь,+с !, (3. 60) 4 Зэк. 2217 Напомним, что М уравнений системы получаются из матричной формы записи путем умножения каждой из Лl строк на вектор- столбец неизвестных. При умножении строки на столбец элементы с одинаковыми номерами перемножаются, а затем все произведения складываются. Трехдиагональный вид матрицы позволяет организовать вычисления по методу Гаусса так, чтобы не проводить операции с нулевыми элементами. Тем самым объем вычислений удается значительно уменьшить. Модификация метода Гаусса для системы уравнений с трехдиагональной матрицей называется мепюдом прогонки. Рассмотрим этот достаточно простой алгоритм решения системы уравнений (3.56)— (3.58).
Из первого уравнения (3.56) для п =- ! можно выразить и, через и;. Если аналогичную процедуру подстановки выражений для и„в (п + 1)-е уравнение вида (3.57) повторять для л = 2, ..., М вЂ” 2, то в результате получим рекуррентные соотношения, связывающие температуры в точках и и (л + 1): и =-) ик+1+а,„п=2,...,У вЂ” 1, (3.61) в которых коэффициенты !"„и д„рассчитываются по формулам 1ср. с формулами (3.60)!. Начальные значения (1 и п„необходимые для расчета коэффициентов г„и д„по формулам (3.62), определяются соотношениями (3.59). После вычислений всех коэффициентов )„и п„до (М вЂ” 1)-х рассмотрим последнее уравнение (3.6!) при и -= У вЂ” 1 совместно с уравнением (3.58) исходной системы для п = У: ил.
л --Ь.. ) их + дл-1, Ьл ил -1. сл ил .. 1+ дл~ =.. О. Из решения этой системы двух уравнений найдем температуру в последней точке: и„- — (г(л + см йх1,)((Ьх1 + с„~л ~). (3.63) Теперь, двигаясь от точки М к точкам У вЂ” 1, У вЂ” 2, ..., 1, можно последовательно вычислить значения и„по рекуррентной формуле (3.61) и таким образом найти решение во всех точках. Итак, кратко сформулируем алгоритм расчета по рассмотренному методу прогонки: !) вычисляют коэффициенты 11 и д1 по (3.59); 2) вычисляют коэффициенты !'„, д„при и — 2, ..., У вЂ” 1 по (3. 62); 3) определяют ил по (3.63); 4) рассчитывают и„по (3.61) в порядке убывания номера от Лг — 1 до 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
