Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Этот метод имеет более высокую скорость сходимости по сравнению с методом последовательных приближений, но оказывается несколько сложней в программной реализации и требует вычисления производных —, для д( ди' которых могут получаться громоздкие выражения. Отличие алгоритма расчета по нелинейной схеме от описанного в 5 3.6 состоит в том, что на каждом шаге по времени организуется итерационный процесс, в котором вычисляются новые значения коэффициентов разностных уравнений и решаются методом прогонки системы разностных уравнений относительно и~'~ (или Ли„"~).
Для этого в программе в цикл по времени следует «вложитьэ цикл по итерациям (з = 1, ..., й). Особенностью программной реализации является также то, что следует предусмотреть одномерные массивы длиной Ф для хранения следующих температур: и„— температуры предыдущей итерации данного шага по времени; и'„' — температуры предыдущего временного слоя; и~'~ — гемпературы текущей итерации (или приращения температур Ли„'*'), вычисляемые в процессе решения системы разностных уравнений. Алгоритм программы для решения задачи по нелинейной схеме с помощью метода простой итерации приведен на рис. 3.10.
Отметим, что после выполнения каждой итерации содержимое массива температур текугцей итерации следует перевести в массив температур предыдущей итерации, а после выполнения каждого шага по времени содержимое массива температур текущей итерации в массив температур предыдущего временного слоя. Нелинейная схема можег быть применена и для решения стационарных задач. В этом случае шаги по времени не выполняются, а лишь проводятся итерации до сходимостн решения нелинейной системы разностных уравнений, соответствующих стационарной задаче, т.е.
системы (3.67) — (3.69) при ср — О. В качестве начального приближения можно, например, задать решение разностной схемы при постоянных коэффициентах, вычисленных при какой-либо постоянной температуре Т из рассматриваемого интервала изменения температур. Программа решения нестационарной задачи по нелинейной схеме может быть использована для решения стационарной задачи, если положить ср =- (). $3.7. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЬ1Е СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ Построение разиостиых схем. При построении разностных схем для многомерных задач обычно используется рассмотренный выше метод баланса.
Для его применения необходимо разбить исследуемую область на элементарные объемы. Очевидно, что по сравнению с одномерным случаем, где элементарный объем всегда является от. резком, здесь имеется гораздо болыпее число видов этих объемов. Например, двумерную область можно разбить на элементарные объемы прямоугольной (рис. 3.! 1, а), треугольной (рнс. 3,11, б) формы а) б! в! Рис.
3.11 или какие-либо более сложные (например, рис. 3.11, в). Вычислительная практика показала, что конечно-разностные схемы целесообразно, как правило, применять для элементарных объемов, ограниченных поверхностями, параллельными ортогональным координатным поверхностям. Для декартовых координат -- это прямоугольники в двумерном случае и параллелепипеды в трехмерном, для полярных координат — кольцевой сектор и т.
д. При использовании других элементарных объемов (в форме треугольников, тетраэдров, призм с различной формой основания и др.) следует применять для численного решения задачи метод конечных элементов, рассматриваемый в главе 4. Указанное обстоятельство накладывает определенные ограничения на виды обчастей, для кото- 111 Рис.
3.12 (3.74) и начальным условием Т 1т=а =Т,(х, у). (3. 75) Введем неравномерную пространственную сетку, показанную на и, м рис. 3.13: (х„, у )„='1, й„„=х„+, — хи, Ьу = у„+, — у и равномерную сетку по времени: (к„, у,„! (тз),' а, т, =- )лт. Грани элемен- У 1У тарйых объемов разместим посередине между узловыми точками. Уса (к" У ~! Сначала составим конечно-разностное уравнение для какого- У т либо внутреннего элементарного объема, содержащего узловую точу, ку (хи, у ). Этот объем окружен Ух, х четырьмя соседними. Поэтому в отличие от равенства (3.50) в уравнении теплового баланса следует Кюуг! к " к„"Х„=1„к Рис.
3.13 112 рых применение конечно-разностных схем наиболее эффективно с точки зрения удобства составления алгоритма расчета и его программной реализации. Эти области должны хорошо покрываться прямоугольниками или параллелепипедами (рис. 3.!2, а, б). Если область имеет криволинейную границу сложной формы, то задачу чаще решают методом конечных элементов.
Далее для наглядности будем рассматривать двумерный случай. Возьмем простейшую область прямоугольной формы (рис. 3.13), в которой требуется найти решение уравнения дТ ' даТ даТ ср —, =--3 ~ д - — „, ) -) Уи (х, у) (3.73) с граничными условиями третьего рода учитывать не два, а четыре тепловых потока от соседних объемов. Уравнение баланса имеет вид кипа/а "т+1/а а ° с Р (7т — 7) — ') а( У д х = ~ — Р„.(, /а + Р„ "п-1/а "т-1Й "/-1 кпа!/а "т+1/а — Р,Р-~-Р „,< 1 ! Раааа 11 Кп / ит 1/ Для расчета тепловых потоков Р„~!/„Р т!/а используются выра- жения, аналогичные (3.44): (и.. т — ипа, т) (Ит+Лт 1) Р+„, Л 2 (лп, т — 1 — лп, т) (Ли+Ли — 1) Рт !/а — Л вЂ” и/ ср (Ли+Ли-1) (Лт+Лаи-1) ( л, т л, т) 4 /а л+!,т п, т п.
т и — !' Ра (Лпа+Лт -1) Г и/ — и/ и/ — и/ Лп Л., 2 л,т+1 л. т Г и/ — и/ л,„ и! — и/ — п,т !1(Л.+Л.,) Лта ! 2 "па!~1 "т+1 а + ) ) а/п(х, у) а( ра(х. (3. 76) к п-1 а ат-1/а Заменяя в правой части (3.76) индекс времени / на (1 — 1), получаем явную схему.
С помощью метода баланса несложно составить разностные уравнения и для граничных элементарных объемов. При этом в уравнениях теплового баланса следует учитывать тепловые потоки на границе области в окружающую среду, выражения для которых вытекают из граничных условий (3.74).
Например, для объема, !!3 Множители (й + й,)/2 и (йп + й„,) / 2 соответствуют «площадяма граней элементарного объема, через которые проходят тепловые потоки. Тогда для неявной схемы имеем прилегающего к границе х = !„и содержащего узел (х//, у ) (см. рис. 3.)3), получим (ии„~ — «/„„') аи, (а„+а„,) ср 4 — — и/ 'Х ' ' (~ +~ '!+ — а/ и//, + / // — ! 2 и/ — и/ и/ + ) ~ит+! Мт „мт // т — ! 1 //-1 аы /ь„) 2 к Ф Уш+и2 + ! ~' д,буй х.
(3. 77) м — 1/2 ж и~ Для элементарных объемов, лежащих в углах, надо учитывать тепловые потоки в среду с двух смежных граней. Так для объема, построенного вокруг узла (х//, у,) (см. рис. 3. !3) и имеющего величину (/ги ~ Й,/4), получим / / — ы и/ / "и — 1 "1 (и//, 1 ии, ~) // — ~,~ ии. ~~ у~~ ср ' ' / ==~ — а/„и(/ /+Х ' ' — '+ 4 Лт "и-1 2' 2 — и/ Й.2 //,! + Х ' ' — сс„иил ~ + 61 2 1!4 '// « /2 у,буях.
(3.78) "и — 1/х о Аналогичным образом метод баланса применяется и в более сложных ситуациях. Например, для элементарных объемов, подобных изображенному на рис. 3.)2, а вокруг точки (и, т). Следует лишь аккуратно записать выражения для всех составляющих тепловых потоков с учетом фактических площадей граней и объема элементарной ячейки. При этом в выражениях для кондуктивных тепловых потоков участвуют значения температур в соседних узлах, а в остальных выражениях используется только температура и',, ~ в данном узле. Заметим, что без применения метода баланса вопрос аппроксимации граничных условий в угловых точках вообще неясен, так как непонятно, в каком из двух граничных условий аппроксимировать производную.
Решение системы разностных уравнений. Вернемся к задаче (3.73) †(3.75). В случае использования явной схемы алгоритм расчета не имеет существенных особенностей по сравнению с одномерным случаем. Он сводится к повторяющимся вычислениям значений сеточной функции и'„на новом /'-м временном слое по явным формулам, в которые входят значения и'„, на предыдущем временном слое. Расчетные формулы различаются для внутренних, граничных и угловых узлов сетки. Вычисления реализуются в программе с помощью соответствующих операторов цикла, которые для областей сложной ступенчатой формы, подобных изображенной на рис.
3.12, а, могут быть довольно громоздкими. Недостатком многомерной явной схемы, как и в одномерном случае, является наличие ограничения на шаг по времени, связанного с необходимостью выполнения условия устойчивости. Для двумерной задачи при граничных условиях 1-го рода оно имеет вид Неявная схема является безусловно устойчивой, однако ее реализация сложнее, поскольку на каждом временном шаге приходится решать систему уравнений относительно (А/М) значений температуры и'„,,„на новом временном слое.
Рассмотрим структуру этой системы конечно-разностных уравнений (3.76) — (3.78). Искомые значения температур в уравнениях разностной схемы связаны между собой «по горизонталям» так же, как и в одномерном случае. Кроме того, имеются связи и «по вертикалям». Причем неизвестные любой внутренней горизонтальной прямой «взаимодействуют» только с неизвестными двух соседних прямых — верхней и нижней. Этот факт определяет ленточный характер матрицы линейной системы уравнений относительно неизвестных температур, возникающей при неявной схеме. Остановимся на этом подробнее. В схеме (3.76) неизвестные температуры обозначены как элементы двумерного массива — и'„, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
