Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Внутри каждой из этих частей проводя»ся оогонки по какому-либо одному направлению. Поскольку нри это»! для кажлого направления (х, у илн г) нужно перебирать все параллельные ему «стержни», на которые разбивается область, то внутри каждой из частей организованы циклы по номерам точек разбиения в плоскости, перпендикулярной направлению прогонки. Например, нрн Расчете Г'„,„, » прогонками по х (л 1, ..., д!) в цилтал перебираются все номера ш и й в сечении ((Ог. Наконец, внутри э!их цнкгнн! (гт так же, как и в одномерном случае, действуют циклы для формирования коэффициентов й„разностных уравнений канонического вида, выполняются обращения к подпрограмме прогонки, и результат решения системы разностных уравнений для соответствующего чстержня» (температуры из одномерного массива %) переписывается в трехмерный массив 13. Результаты расчета — температуры и'„,, — выводятся на печать в заданные моменты времени т; в заданных сечениях гь, перпендикулярных оси г.
В каждом сечении выводятся все температуры и'„,,„, ь (и == 1, ..., У; т =- 1, ..., 44). Сечения гь н моменты времени т; задаются с помощью массивов Кт"зГ н ТЧ. ГЛАВА МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ $4.1. ОСНОВНЫЕ КОНЦЕПЦИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ! Все рассмотренные нами ранее разностные схемы для решения уравнений теплопроводности являются реализациями метода конечных разностей. Системы алгебраических уравнений для определения численного решения мы получали путем замены производных в дифференциальном уравнении и в граничных условиях или в уравнениях теплового баланса для элементарных ячеек конечнычн разностями.
Таким образом, в методе конечных разно. стей отправной точкой для получения приближенного решения является дифференциальная краевая задача. Однако искомое поле можно находить н из решения соответствующей вариационной задачи. На ее численном решении основан получивший широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ) !7, 27!. Сущность МКЭ рассмотрим на примере решения двумерной стационарной задачи теплопроводности в области 0 произвольной форчы (рис. 4.!): (4.1) прн граничных условиях третьего рода: 128 где Х вЂ” теплопроводность; а — коэффициент теплоотдачи на г ~анице; д„, д, — объемная и поверхностная плотности мощности источников теплоты. Величины Х, а, д„ д, могут быть заданы в виде произвольных функций координатх, у, в том числе и кусочно-непрерывных функций. Метод конечных элементов основан на определении температурного поля путем приближенного решения соответствующей вариационной задачи.
Для формулировки этой задачи напомним понятие функционала. Оператор 1 (1(к)! называется функционалом, заданным на некотором множестве функций, если каждой функции 7(х) из этого множества по некоторому правилу ставится в соответствие числовое значение ! (! (х)!. Иными словами, функционал является как бы «функцией от функции». В практических приложениях обычно встречаются функционалы, заданные в виде некоторых интегралов, в подынтегральные выражения которых входят к функции ! (х). Многие краевые дифференциальные Рис.
4.1 задачи теплопроводности и конвективного теплообмена эквивалентны задачам отыскания функций, доставляющих минимум некоторым специально сконструированным функционалам. Задача на отыскание функции, минимизирующей функционал, называется вариационной. На основе перехода от краевых дифференциальных задач к вариационным развиты многие приближенные аналитические методы решения задач теплопроводности. С ними можно познакомиться по книгам !3, б, 11!.
Отметим, что возможность вариационной формулировки задачи опРеделения температурного поля 14.1), (4.2) обусловлена свойствами дифференциального опералора уравнения теплопроводностн (11!. Мы приведем вариацнонпую формулировку рассматриваемой краевой дифференциальной задачи (4.11, (4,2) без доказательства.
Задача Решения уравнения (4.1) с граничными условиями (4.2) эквивалентна задаче определения функции Т (х, у), минимизирующей функционал 7(Т (к, у)! вида 71Т(х, у)! = ~ ) ~л( — ) +Х ( й ) -- 24„Т„«(хну+ о + ) (а Т' — 2«7, Т) с( !. (4.3) Наиболее широко распространенный прием получения приближенного решения вариационных задач состоит в следующем. Прн. ближение для искомой функции Т (х, у) разыскивается в виде зах.
22!7 129 м Т (х, у) ж ~~' а 1 (х, у), «=! где а — неизвестные постоянные коэффициенты, а 1 (х, у) — известные функции пространственных координат. Если подставить (4.4) в функционал (4.3), то можно провести интегрирование по пространственным переменным и получить величину 1, зависящую уже не от неизвестной функции, а от неизвестных коэффициентов разложения (4.4): 1 =- 1 (а,, ..., ам).
(4. 5) Очевидно, что для определения приближенного решения вариационной задачи в виде (4.4) следует найти значения а, ..., ам, обеспечивающие минимум функции (4.5), т. е. задача сводится к отысканию точки минимума «обычной» функции нескольких переменных. Как известно, значения а,, ..., ам, обеспечивающие минимум функции 1, находятся из решения систе- 11,, иы уравнений д1 д1 1 ! д --=О, " ди — --О. (4.6) сл Решив систему (4.6), можно найти значения а„ ..., ам и, подставив их в Рис. 4.2 (4.4), определить приближенное решение вариационной задачи. Центральным местом в изложенном методе является назначение координатных функций разложения (4.4) 1п ..., 1м.
Метод конечных элементов основан на использовании описанной схемы приближенного решения при специфическом выборе вида координатных функций )„.", 1м Благодаря этому выбору неизвестные коэффициенты в разложении (4.4) приобретают ясный физический смысл. Построение координатных функций проводится в МКЭ после разбиения области определения искомой непрерывной величины на й( подобластей, называемых элементами, и фиксации в них М узловых точек, выбираемых на границах элементов (см., например, рис.
4.2). Отметим, что число членов в разложении (4.4) равно числу узловых точек. Каждая из функций )' (х, у) обладает следующими свойствами. Значение функции 1 (х, у) в т-й узловой точке с координатами х = х, у = у„равно единице, а в остальных узловых точках — нулю. Кроме того, функция 1 (х, у) может быть отлична от нуля только в элементах, содержащих т-й узел. В остальной части области Р она считается равной нулю. При таком выборе координатных функций 1 (х, у) любой неизвестный коэффициент а„в разложении (4.4) равен приближенному значению температуры и„, в т-й узловой точке. Действительно, 1ЗО при подстановке в аппроксимацию (4.4) координат т-го узла (х =— -х„, у = у ) значения всех координатных функций, кроме т-й функции, будут равны нулю, а значение т-й функции — единице и, следовательно, м Т(х„, у,„) жи,„=- у, а„) (х„, у )==-а,„~ =а .
(4 7) » =- ! При использовании разложения (4.4) в каждой точке области 0 «работают» только те координатные функции, у которых коэффициенты равны приближенным значениям температур узловых точек конечного элемента, содержащего данную точку. Отметим два важных факта, вытекающих из рассмотренных свойств координатных функций.
Во-первых, функция 1(а„..., ам), получающаяся при подстановке разложения (4.4) в функционал (4.3), будет функцией от неизвестных приближенных значений температуры в узловых точках и„..., им.' ! =-! и„...,им, (4.8) ( ) а уравнения, вытекающие из условия минимума (4.6), д1 д! дц = ~~." дам =О (4.9) будут алгебраическими уравнениями разностной схемы метода конечных элементов относительно искомых температур в узлах. Во-вторых, пространственное распределение температуры внутри любого элемента аппроксимируется суммой произведений координатных функций на коэффициенты, равные приближенным значениям температуры в узловых точках, принадлежащих данному элементу. Координатные функции ~ (х, у), т = 1, М строятся на основе так называемых функций формы элементов.
Каждая из функций формы конкретного элемента равна единице в одной «своей» узла. вой точке, принадлежащей данному элементу, и нулю в остальных узлах этого элемента, т. е, для элемента вводится столько функций формы, сколько в нем содержится узлов. Вне элемента все его функции формы считаются равными нулю. Таким образом, функция формы и-го элемента, равная единице в принадлежащей ему т-й точке, является «представителем» координатной функции ) (х, у) в этом и-м элементе.
Поэтому температурное поле в и-м элементе аппроксимируется суммой произведений его функций формы на приближенные значения температур в его узловых точках. Очевидно, что для каждого элемента получается своя аппроксимация, но на "Раницах элементов должна сохраняться непрерывность температурного поля. Перейдем к реализации изложенной методики для задачи (4.1), (4.2). 13! $4Д. ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ И ФУНКЦИЙ ФОРМЫ ЭЛЕМЕНТОВ Первый этап численного решения задачи методом конечных элементов включает выбор вида элементов и способа расположения в них узловых точек, разбиение области на элементы и размещение узлов, а также определение функций формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
