Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть граничной является сторона /.<> между узлами < и /. Тогда с учетом выражений (4.18) для интегралов по сторонам от функций формы получаем: — (аие — 2</,и) <(1 = ( 2(а(Ц и;+Р> Р>и>) — </,Р<] <(1= д<и <.<д сы .== 21.;; (аи>/3+ аид/6 — </,/2).
(4.24) Здесь учтено, что Р„(х, у) = О на стороне /.<> (см. рис. 4.7). Если граничной является сторона /.<ю то выражение для интеграла запишется аналогично, но вместо /,<> следует подставить /.<„, а вместо и> — ию Если же к границе прилегает сторона /.>, то рассматриваемый интеграл равен нулю, так как функция формы Р< (х, у) для узла <' равна нулю на стороне /.>ь и, следовательно, распределение температуры на этой стороне не зависит от температуры и;.
Таким образом, окончательно получаем для производной от функционала /<"> по температуре и, следующее выражение: д<М> =-Хо<">(Ь< и<+Ь<Ь;и>+Ь< Ььиь+с; и>+с, с, и;->- д>и + с< с„и >) + а/. м (и < /3 + ит/6) + а1. м (и </3 + и„/6)— — </ 5<">/3 — </, Е<./2 — </. /-м/2 (4.25) причем слагаемые с /.<, и 1.<„записывают лишь в том случае, когда соответствующие стороны принадлежат границе. Аналогичным образом можно получить и выражения для производных от Р"> по температурам ит и и„.
Проанализируем теперь с учетом (4.26) структуру системы (4.21). Видно, что производная д/<">/ди> представляет собой сумму произведений неизвестных температур и>, и,, их на постоянные известные коэффициенты, зависящие от координат узлов и параметров задачи, а также постоянных известных членов, не зависящих от искомых температур. Левые части уравнений (4.21), получаемые путем суммирования частных производных, имеют такую же структуру, и, следовательно, приравнивая их нулю, мы получаем линейную сися>ел<у разностных уравнений относительно неизвестных температур узловых точек. Локальные матрица и вектор-столбец. Для формирования матрицы линейной системы разностных уравнений удобно записать полученные выше соотношения для частных производных функционала л-го элемента в матричном виде. Для получения матричной записи принято использовать так называемую локальную нумерацию узлов и соответствующих им неизвестных температур, действующую только в рамках каждого конкретного элемента разбиения.
138 и< =-и<п>, и1лл и<Л>, из =- и<Ю, (4.26) Отметим, что соответствие между глобальными н локальными номерами для каждого элемента разбиения задается с помощью индексной матрицы, о которой шла речь в 9 4.2. При использовании локальной нумерации выражения для частных производных от функционала 1<"> в л-м элементе можно записать следующим образом: — = й<л>.$)<л) — (р<л> Д1(л) ди (4.27) д1(п> где дл — матрица размером Зх3;:, «/<л>, <р<'> — столбцы из дл трех элементов: Д1(л) Д1(л) ди<л> 1 Д1(л) Дл(л> д/(л) ди<л> ди< лл(л)— йкп) л(л) ь<(л) а(л) а<л) ьз(л) 3(п) 3(п) а(л) Д1(л) д1(л) ди (4.28) Дл, д1<л> Дл, Ч>(л) <г(л) (л) з и<л) ' и(л) и(п) з Ц(л) <р(п)— Из выражений вида (4.25) вытекают следующие. формулы для элементов матрицы д(п> и вектора <р<л>: я<л> = (Ь;*+ с,') )>3<л>+ (а1.,1+ а1 с«)/3, до,'> =(Ь; Ь1+ с( с1) М<п>+ а/.<1/6, и<п> (Ь Ьл+с<сз) йЯ<л>+ а1<з/6 ~(п) — ал<л) з< зз ~ и("> = (Ь' ; с') Х3(п> + (а1.м + а1.
з)/3, (з<п>= (Ь>Ь„+с1с») ХЛ<л>+ а/.1»/6, а(л) 3(п) (4. 29) )39 Остановимся на этом подробнее. Возьмем и-й треугольный элемент разбиения, имеющий три узловые точки с«глобальными» номерами <, 1, /(, и будем условно считать в рамках и-го элемента (-й узел — первым, 1-й узел — вторым, а й-й узел — третьим.
Соответственно введем локальные номера !,2,3 для неизвестных температур иь и<ь и„ в узлах этого элемента н будем использовать следующие обозначения: ь(п) й,(п) » п(»п»> = (Ь~»+ с») ХЯ(п) + (а/ м+ а/)»)/3, р =0 3(. /3~- (4,/0+0,/.(„)/2, <р'и' =«/п 5(п)/3+ ((/в/-м+</и/.)»)/2 <р(»"> =</.3(">/3+ (</./. +(/«/р»)/2 (4.30) В выражениях (4.29), (4.30) для элементов матриц д<п>, «р<п> слагаемые, содержащие множители /.<>, /.)ы /.<„ следует учитывать лишь в том случае, если соответствующая сторона элемента п принадлежит внешней границе 1.. Ясно, что матрица системы линейных уравнений относительно неизвестных температур (и ) => будет формироваться на основе матриц д(п>, а вектор-столбец свободных членов — на основе векторов-столбцов «р<п>.
Матрицу д<п> часто называют локальной матрицей жесткости или локальной матрицей теплопроводности, а вектор «р<п> — локальныл« вектором нагрузок или локальным вектором тепловых потоков. Термины «жесткость» и «нагрузка» используются исторически потому, что сначала МКЭ развивался применительно к задачам прочностного расчета. В задачах теплопроводности в матрицы й<п) входят теплопроводности Х и коэффициенты теплоотдачи а, а в векторы «р<п> — свободные члены неоднородного уравнения теплопроводности и граничных условий, т. е. объемные и поверхностные плотности теплового потока источников теплоты. Геометрические параметры расчетной области учитываются коэффициентами Ь'и', с'и' функций формы элемента, а также значениями /.», /.<д, 3(п) Если рассмотреть предельно крупное разбиение, при котором вся область состоит лишь из одного элемента (/>/ = 1), то система уравнений для определения трех неизвестных температур его узлов будет иметь вид о( »()((> = «р((> где д('>, «р('> — локальные матрица и вектор-столбец первого и единственного элемента, т.
е. в случае разбиения, состоящего из одного элемента, его локальные матрица и вектор-столбец совпадают с матрицей и вектором правых частей линейной системы уравнений МКЭ. Глобальные матрица и вектор-столбец. В реальном случае, когда в разбиение входят Ф элементов, эти матрицы и вектор-столбцы естественно не совпадают. И в связи с использованием термина «локальный» для матрицы и вектор-столбца элемента матрица и вектор- !40 столбец свободных членов системы уравнений для всей области на- зываются глобальными.
Эту систему будем записывать так: С(/ =Ф, ~, Ф= С= ~)С1)), (/= (4.31) где С вЂ” глобальная матрица жесткости (теплопроводности) размером М хМ; 1/ — вектор-столбец искомых значений температур в М узлах; Ф вЂ” глобальный вектор-столбец нагрузок (тепловых потоков). На первый взгляд введение дополнительной локальной нумерации неизвестных в элементах разбиения и использование матричной формы записи (4.27) представляется излишней процедурой. Однако, как показала практика, на самом деле это позволяет сделать более удобной процедуру формирования глобальной матрицы С и вектор-столбца Ф при составлении программ расчета по методу конечных элементов. й 4.4.
ФОРМИРОВАНИЕ ГЛОВАЛЬНЫХ МАТРИЦЫ И ВЕКТОР-СТОЛВЦА. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МКЭ Прежде всего отметим, что процедура построения уравнений в /ЦКЭ имеет важную особенность по сравнению с методом конечных разностей. При построении конечно-разностной схемы мы рассматривали уравнение теплового баланса для элементарного объема, построенного около узла сетки с номером т (см. $ 3.3), и сразу получали т-е уравнение общей системы. В случае МКЭ в 2 т-е уравнение системы (4.21) входит сум- /5/ ма производных от функционалов /т1, вы- 1 численных для различных элементов, кото- 5 2 Рые содержат узел с номером т.
Поэтому 12/ при составлении каждого уравнения надо (1l производить суммирование «вкладов» от 1 2 Разных элементов. Из-за этой особенности 2 процедура построения системы уравнений й(КЭ несколько менее наглядна, чем в Рис, 4.8 случае конечных разностей, и при ее первоначальном изучении возникают некоторые трудности. Для простоты изложение начнем с разбора конкретного примера для области, изображенной на рис.
4.8 и состоящей всего из трех элементов, которые содержат пять узлов. Пример построения системы разностных уравнений. Нумера"ия элементов, глобальная и локальная нумерация узлов приведе- 141 ны на рис. 4.8. Индексная матрица, соответствующая выбранным разбиению и нумерациям, имеет вид; Номер элемента Локальные номера ! 2 3 Соответствие между глобальными и локальными обозначениями неизвестных температур имеет внд: >з> и, =и„ (з> 3 (4.32) Теперь рассмотрим структуру глобальной матрицы и глобального вектор-столбца.
Начнем с первого уравнения. Поскольку узел 1 содержится только в первом элементе, то в первом уравнении (4.2!) остается только частная производная от функционала первого элемента и оно принимает внд — = О. дн, диз В соответствии с (4. 27), (4.28) в локальных координатах это уравнение записывается в виде и(» и"'+д(О и"'+ ц((> исо =(р('>.
з зз з за з Для первого элемента локальные и глобальные номера совпадают [см. (4,32)1 и поэтому окончательно первое уравнение системы записывается так: в((> ц + в((> „+ в((> ц,р(( > Отсюда вытекает, что д(з>,>, д(>» и д(з>з> являются первым, вторым н третьим коэффициентами первой строки глобальной матрицы (з, а зр('> — первым коэффициентом глобального вектор-столбца: 6(з= (дз>>, д(з», д(за>, О, О), Ф> = (р( >. Сложнее обстоит дело со вторым узлом, принадлежащим двум элементам ( и 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
