Главная » Просмотр файлов » Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена

Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 29

Файл №1185899 Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена.djvu) 29 страницаДульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899) страница 292020-08-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Второе уравнение системы имеет вид дУ(з> д1(з> + — =О. ди, дц, >42 и'," =и, 1 >з> и, ==и„ ц(з> =ц 4 Глобальные номера ! 2 3 2 4 3 4 5 3 и'," =и, з ц(м ц з и'," =и . 3' Из (4.27), (4.28) вытекает, что в локальных обозначениях неизвестных это уравнение записывается следующим образом: дД> и',»+д>» и,'»+у<»и'," — ч><»+ +дЯ> и','>+у<~> и',"+д<з> и,'" — >р<~>= О. Обратим внимание, что при записи д>'>'>1ди, использованы коэффициенты первой строки локальной матрицы и первый коэффициент столбца для второго элемента, поскольку температура и, в его локальных обозначениях имеет первый номер: и, = и<'.

Теперь для получения искомого уравнения необходимо в соответствии с (4.32) заменить локальные обозначения неизвестных на глобальные; а>> ">+к з иэ+к2з ив — >р>»+д>>',>из+ +ь>1'*~ и4+к>'-;> и,— >р>1з>= О. (4. ЗЗ) Группируя слагаемые с одинаковыми неизвестными и складывая постоянные коэффициенты, получаем вторую строку глобальной матрицы С и второй коэффициент глобального вектор-столбца Ф в виде С2> (й>1 у>2 +Уй Юйз +д1з Ю1> ~ О) (4.34) Ф >р>» > >р>з> Аналогичным образом можно получить и остальные три уравнения. Алгоритм формирования глобальных матрицы и вектор-столбца.

Полученные выражения (4.34) позволяют изложить принцип формирования л>-го уравнения глобальной системы. Это формирование целесообразно проводить путем постепенного суммирования вкладов от различных элементов. При машинной реализации перед началом формирования массивы, в которых помещаются глобальные С н Ф, обнуляются, а затем к их текущим значениям постепенно добавляются соответствующие коэффициенты локальных матРиц и столбцов.

Ясно, что вклад в т-е уравнение системы дадут только те элементы, у которых в строке индексной матрицы имеется номер и>. Если >и-й узел числится в локальной нумерации какого- либо из этих элементов 1-м (1= 1, 2 или 3), то будет использована 1-я строка локальной матрицы й<"> и 1-й коэффициент локального вектор-столбца «р<" >. Найденный нужный коэффициент локального столбца прибавляется к текущему значению л>-го коэффициента глобального столбца. Коэффициенты выделенной строки локальной матрицы элемента прибавляются к соответствующим коэффициентам и>-й строки глобальной матрицы, имеющим порядковые номера, указанные в строке индексной матрицы, т. е.

первому коэффициенту строки локальной матрицы соответствует первый номер «отсылкнэ в строке индексной матрицы, второму коэффициенту — второй номер, третьему — третий. 143 Описанная процедура лежит в основе алгоритма формирования глобальной матрицы и глобального вектор-столбца. Как было уже отмечено выше, она реализуется путем последовательного перебора элементов следующим образом. Берется первый элемент, анализируется его строка в индексной матрице и устанавливается, в какие три уравнения этот элемент «дает вклад». Далее рассчитываются его локальная матрица и вектор-столбец.

При этом расчете используется информация о наличии у данного элемента граничных сторон, содержащаяся в четвертом столбце индексной матрицы. Пусть локальным номерам 1, 2, 3 соответствуют фактические номера ~', /, й. Тогда первая строка локальной матрицы и первый коэффициент локального вектор-столбца участвуют в формировании ~-й строки глобальной матрицы и 1-го коэффициента глобального вектор- столбца.

Производится сложение найденных локальных коэффициентов йк',), д(,!>, йкф с имеющимися значениями глобальных коэффициентов 6;о 66, 6;ы Затем аналогичная процедура повторяется для второй и третьей строк локальной матрицы и второго и третьего коэффициентов локального столбца. Они участвуют в формировании строк глобальной матрицы и коэффициентов глобального столбца с номерами ~ и й, которые соответствуют локальным номе- рам2иЗ. Изложенный на примере треугольных элементов разбиения метод формирования глобальных матрицы и вектор-столбца, основанный на введении локальной нумерации узлов и неизвестных, легко переносится и на случай более сложных элементов разбиения.

Он является наиболее общим, часто используемым и тем более эффективным, чем сложнее применяемые конечные элементы. Свойства системы разиостных уравнений и методы ее решения. Теперь рассмотрим ряд важных свойств, которыми обладает глобальная матрица. Во-первых, можно доказать, что она является симметричной. Во-вторых, глобальная матрица для задач большой размерности М является сильно разреженной, т. е.

большинство ее элементов — нулевые. Наконец, путем введения разумной нумерации узлов ее можно сделать ленточной. Остановимся на двух последних свойствах матрицы. Очевидно, что коэффициент 6; в гп-й строке глобальной матрицы отличен от нуля, только когда узлы с номерами гп и / являются вершннамн какого-то общего для них элемента. В этом случае в строке индексной матрицы, соответствующей этому общему элементу, будут содержаться номера т и ~. Указанное обстоятельство и объясняет разреженность глобальной матрицы, посколь ку, например, для треугольных элементов при значительном числе треугольников Л' большинство возможных пар узлов т и й не являются вершинами общего треугольника и, следовательно, соответствующий элемент глобальной матрицы 6 „— — О.

Рассмотрим влияние нумерации узлов на структуру глобальной матрицы С. Из сказанного выше вытекает, что расположение нуле- 144 вых элементов в матрице зависит от способа нумерации узлов. Например, в рассмотренном выше конкретном примере при нумерации, указанной на рис. 4.8, глобальная матрица С выглядит так: б„ 6„ бзз 0 0 633 643 0 0 633 бзз бы 0 бзз бзз 634 635 643 643 644 645 0 бзз бм бм (4.35) Если же перенумеровать узлы так, как это сделано на рис. 4.9, тс матрица С примет вид 6„ 0 0 — 651 643 о о б„ 6,3 63, О 63, 63.

634 634 635 О 63 бм б„ б 653 654 655 (4.36) й =шахмат — я(, оо где т, й — номера узлов и-го треугольника. Схематичный вид глобальной ленточной матрицы показан на Рис. 4.10. Символами «х» обозначены ненулевые коэффициенты. ~се коэффициенты, расположенные за пределами полосы, ограни- (4. 37) 145 Общее число нулевых элементов в (4.36) не изменилось по сравнению с (4.35), однако в (4.35) ненулевые элементы расположены лишь на главной диагонали н на двух прилегающих к ней верхних и нижних диагоналях, а в (4.36) эти элементы «разбросаны» по всей матрице.

Таким образом при разумной нумерации узлов глобальная матрица С имеет (з/ ленточный вид, т. е. все ненулевые коэффициенты расположены в пределах полосы, И/ образованной рядом верхних и нижних диагоналей, примыкающих к главной дна- (О гонали. Из симметрии матрицы следует, г что число верхних и нижних диагоналей с отличными от нуля коэффициентами оди- Рис, 4.9 наково. Поскольку для треугольного разбиения коэффициент 6„3 отли' чен от нуля только в случае, когда узлы т и й принадлежат одно- мУ треугольнику, то положение наиболее удаленного от главной диагонали ненулевого элемента матрицы определяется мгксимальной по всем парам общих вершин треугольников разностью номеров узлов, т.

е. величиной ченной линиями, параллельными главной диагонали, равны нулю. В общем случае нулевые коэффициенты встречаются и внутри полосы. Число (Е+1) будем называть шириной полосы (шириной ленты) матрицы. Ленточный характер и симметрия глобальной матрицы позволяют значительно сократить объем машинной памяти, требуемой для ее хранения.

При программировании задачи предусматривают запись матрицы не в виде массива длиной М х М, а в виде массива, содержащего лишь элементы, находящиеся в пределах полосы на главной диагонали и выше. Например, если требуется решить задачу с числом неизвестных узловых темпеЕ+! ратур М=ЗОО, то для записи мат- рицы в общем виде необходимо хра- хох ОЬО нить 300х300=9 10' вещественных ххахаао чисел. Пусть ширина ленты в этой заООхххх О даче равна Е+1 = 40. Тогда запись матрицы в сокращенном виде потребует массив длиной (Е + 1) М == О х О х х х О =- 1,2 1О' элементов, если матрицу О х х х х О х запоминать в виде «прямоугольника» с Е + 1 столбцами и М строками, О О О Оххх, т.

е. для облегчения логики программирования предусматривать место для хранения фиктивных элементов в последних Е строках (заштрихованный треугольник вне матрицы на рис. 4.10). Если же не учитывать фиктивные элементы «хвоста», то потребуется запомнить [(Е + 1) х х М вЂ” Е(Е + 1)!2) =-: 1,12 1О' чисел. Наконец, перейдем к вопросу решения системы уравнений. Для решения систем уравнений МКЭ применяют как прямые, так и итерационные методы. Причем последние обычно используют в тех случаях, когда объем оперативной памяти не позволяет хранить всю глобальную матрицу даже с учетом ленточного симметричного вида. Из прямых методов хорошо зарекомендовал себя на практике и получил широкое распространение метод квадратного корня.

Этот метод пригоден только для систем линейных уравнений с симметричной матрицей и по затратам машинного времени примерно вдвое быстрей метода исключения Гаусса. В математическом обеспечении ЭВМ имеются стандартные программы, реализующие метод квадратного корня. Предусмотрен и случай систем с ленточной матрицей (стандартная подпрограмма МСНВ из математического обеспечения ЕС ЭВМ [15]). В заключение подчеркнем, что использование той или иной стандартной подпрограммы решения системы уравнений требует определенного способа записи глобальной матрицы в одномерный массив. Применяемые способы различны для разных подпрограмм, т.

е. может организовываться запись по 146 строкам или по столбцам, с учетом или без учета «хвоста» ленты. Вто обстоятельство следует учитывать при программировании алго- ритма формирования глобальной матрицы. Е 4АХ ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ Существенным достоинством МКЭ является возможность составления программ численного расчета полей в областях сложной геометрической конфигурации, которые проще по логической структуре и по заданию исходных данных, чем программы, реализующие метод конечных разностей для таких областей. В данном подразделе рассмотрим в качестве примера структуру программы для решения двумерной задачи (4.1), (4.2) в областях произвольной формы при треугольных элементах разбиения.

В программе решения задачи методом конечных элементов выполняются следующие основные процедуры: 1. Разбиение области на элементы, нумерация элементов, глобальная и локальная нумерации узлов и формирование на их основе индексной матрицы. 2. Формирование глобальных матрицы и вектор-столбца системы алгебраических уравнений, реализуемое на основе расчета локальных матриц и столбцов.

3. Решение системы разностных уравнений. 4. Расчет температур и тепловых потоков в различных точках элементов разбиения, проводимый на основе принятой аппроксимации температурного поля в элементе. Остановимся на особенностях программной реализации первых двух процедур, рассматривая их применительно к решению задачи (4.1), (4.2). Автоматизация разбиения области. Простейший (но наиболее трудоемкий) способ реализации первой процедуры состоит в ручном разбиении области О на треугольные элементы, ручной нумерации Узлов и дальнейшем вводе в качестве исходных данных массивов координат узлов (х ) ы (у„,), и индексной матрицы.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6508
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее