Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В одном находятся температуры, найденные на предыдущем временном слое, а элементы другого массива — температуры текущего временного слоя — вычисляются по явным формулам типа (3.27) с использованием температур предыдущего слоя. После определения всех «новых» температур их значения переписываются в массив температур предыдущего слоя, и выполняется следующий временной шаг. В отличие от программы расчета по неявной схеме рабочих массивов для решения системы разностных уравнений не требуется.
Езхь РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЯНЫХ ЗАДАЧ Задачи теплопроводности, в которых коэффициенты )», ср в дифференциальном уравнении или а в граничных условиях являются функциями температуры, называются нелинейными. Нелинейными являются также задачи, в которых распределения мощности внутренних д, или поверхностных д, источников представляют собой нелинейные функции температуры. Необходимость решения задач в нелинейной постановке возникает наиболее часто при моделировании процессов, в которых температура изменяется в широком днап;зоне.
Например, теплопроводность сталей, применяемых в конструкциях криогенных систем, изменяется от ! до 15 Вт1(м К) в интервале температур Т = 5 —; —; 300 К. Коэффициенты теплоотдачи излучением и,, могут изменяться более чем в 10 раз при изменении температуры поверхности от 20' до 700'С. При решении нелинейных задач аналитическими методами возникают существенные математические трудности, которые требуют разработки специальных методов решения 13).
Причем возможность получения аналитического решения и выбор метода существенным 1ОЬ образом зависят от вида нелинейностей в дифференциальном уравнении и в граничных условиях, а также их функциональных описаний, Возможности численного решения нелинейных задач значительно шире. Как мы увидим далее, алгоритмы численного решения таких задач можно достаточно просто построить на основе рассмотренных схем для линейных задач. При этом зависимости коэффициентов от температуры могут быть заданы функциями любого вида. Рассмотрим методы численного решения на примере следующей задачи: дТ д Г дТ1 ср — =- —. ~ Л (Т) — ( + д„(Т), (3.64) Г дТ ! ~ Л д — а„,~ (Т) Т~ =- д,л (Т), (3.
65) 7')т=-о =. То(х), (3.66) СР " " =: —, Ьа+|уэ (па+ ~ — и')— ат — Л„|у,(и„— и„~))+д„„, (3.67) а для граничных точек цl / / 1 ц/ ц/ — 1 т ця цу — ! ц~ / т ь ~ т ци м Лл — ~~а +ас ин ~=гя + — ~цццц — ср, (3.69) И 2 ~ ат где д'„"ц =- д, (и'„"), сго =- ко (и1 ), до =- дц (и~ ), т. е. эти сеточные функции определяются как значения соответствующей непрерывной функции при Т =-= и„; здесып — номер временного слоя, выбор которого мы обсудим ниже. Теплопроводности Л„~1~, в выражениях для сеточных аналогов тепловых потоков (эффективные теплопроводности отрезков (х„„ !06 где Л (Т), д, (Т), я, (Т), а, (Т), а,(Т), д, (Т) — произвольные функции температуры.
Запишем для уравнения (3.64) и граничных условий (3.65) неявную разностную схему, построенную интегроинтерполяционным методом. При этом учтем, что поскольку Л, д, зависят от температуры, а Т -- Т (х, т), эти коэффициенты также изменяются в пространстве и во времени. Разностные уравнения для внутренних точек имеют вид х„), и !х„, х„~,)! можно определить одним из трех следующих способов, см. (3.46) — (3.48): Л„~~д =-Л)(и"„'+ и'„"Л~Ь21 Л„ч1 — — 1Л(и„)+Л(и„)И. т 2Л(и'„") Л(и'„"~3) Л (ил ) Л (иле! ) Рассмотрим два варианта разностной схемы, отличающихся выбором временного слоя т, по температурам которого рассчитываются коэффициенты уравнений (3.67) — (3.69). Разностиую схему с т =- ! - — 1 будем называть квазилинейной, а схему с т = !— нелинейной.
В квазилинейной схеме коэффициенты Л'„е~т, о'„„ , а!†'. д'- ' вычисляются по температурам и'„предыдущего временного слоя, т. е. при решении разностных уравнений относительно температур и'„на текущем временном слое эти коэффициенты известны. н система является линейной относительно и„'. Решение и'„находится методоч прогонки. Отличие численного алгоритма решения нелинейной задачи состоит лишь в том, что на каждом шаге по времени необходимо вычислять новые значения Л, о„, а, о и заново определять коэффициенты а„, Ь„, с„, и„системы уравнений с трехдиагоиальной матрицей. Сложнее обстоит дело с нелинейной схемой, в которой коэффициенты Л'„ , нь д'„„, аз~, а',, дш Щ берут при значениях температуры иг' на новом временном слое, из-за чего система алгебраических уравнений 13.67) — (3.69) становится нелинейной относительно искомой сеточной функции и'„.
Системы нелинейных алгебраических уравнений решают итерационными методами, т. е. строят сходящийся итерационный процесс, на каждом шаге которого требуется решать систему линейных уравнений. Такие методы мы уже частично рассматривали в 9 1.2. )хля рассматриваемых задач обычно используют два способа решения нелинейной разностной схемы (3.67) — (3.69) при т = /, Первый способ — метод простой итерации — состоит в следующем. На каждом !хм шаге по времени организуется итерационный процесс, в котором значения коэффициентов вычисляются по температурам и„" предыдущей (з — !)-й итерации.
Верхним индексом в скобках будем обозначать номер итерации, выполняемой на текущем шаге по времени, а индекс ! при этом будем опускать, имея в 101 виду, что и)' — это некоторое приближение к искомому значению и'„. Таким образом, разностная схема (3.67) принимает вид им) — и) дт — Х„) )з (и„— и„) )1+ )7„„ (3.70) где номер итерации з принимает значения э=1, 2, ..., )), т. е. уравнения (3;70) решаются на каждом шаге по времени я раз. Уравнения для граничных точек преобразуются аналогично. В качестве нулевого приближения и) ) берутся значения темпе<о> ратур с предыдущего временного слоя, т.
е. иГ> = и'„. Далее й раз решают уравнения разностной схемы вида (3.70) н определяют значения температур на новом временном слое: и'„ -- и„' ). Число итераций я либо фиксируется (обычно задают я = 2 —:4), либо определяется из условия получения заданной погрешности решения системы нелинейных разностных уравнений на текущем шаге. В последнем случае итерации прекращают при выполнении условия шах~им) — ио "~~Ли и В такой схеме объем вычислений возрастает по сравнению с квазилинейной схемой, так как на каждом шаге по времени приходится решать методом прогонки систему разностных уравнений не один, а й раз. Однако нелинейная схема дает меньшую погрешность численного решения исходной задачи (3.64) — (3.66), чем квазилинейная.
Это объясняется тем, что коэффициенты в выражениях для сеточных аналогов тепловых потоков вычисляются в тот же момент времени, что и температуры (т = 1). Для уменьшения погрешности квазилинейной схемы следует уменьшать величину шага Лт, т. е. увеличивать число шагов по времени в рассматриваемом интервале. Поэтому во многих случаях оказывается более выгодным даже с точки зрения затрат машинного времени применять нелинейную схему и делать более крупные шаги по времени Лт, выполняя на каждом несколько итераций. Рассмотрим еще один получивший распространение на ираки)ь способ построения итерационного процесса для решения систем нс.
линейных разностных уравнений. Этот способ основан на лип при зации уравнений по методу Ньютона и обычно применяется в том случае, когда зависимости коэффициентов от температуры заданы аналитическими зависимостями, которые могут быть продифференцированы. Искомое значение температуры на текущей итерации ион представляется в виде (о) (о — 1) )о) и„= и„+ Ли„, (3.71> 108 (и где Ли„-- изменение температуры на з-й итерации, которое также неизвестно и подлежит определению. Коэффициенты уравнений (3.67) — (3.69), зависящие от темпера(о туры и„, заменяют следующими приближенными выражениями, вытекающими из разложения в ряд Тейлора в точке и„'' здесь ) — один из коэффициентов Х, д,,, сс„дм аь дь Производная д('т 0 — и вычисляется по значениям температуры на предыдущей нтеди) рации, т.
е. неизвестным в правой части (3.72) является ~олько Ли„"' Выражения (3.71) для температур и,',М н (3.72) для коэффициентов подставляют в систему нелинейных разностных уравнений (3.67). Затем, пренебрегая слагаемыми, содержащими (Ли~*~)', получают систему линейных разностных уравнений относительно приращений Ли~'~. Эта система имеет также трехдиагональную матрицу и решается методом прогонки. Таким образом при линеаризации по методу Ньютона на каждой итерации решаютзадачу относительно приращений Ли~*~, а затем вычисляют температуры и~'~ согласно (3.71).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
