Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Например, при решении задачи нагрева тела внутренними источниками теплоты по неявной схеме при любом Лт получается решение с температурами, не превышающими стационарные значения. Можно построить разностную схему, являющуюся линейной комбинацией явной и неявной схем с весовыми коэффициентами и н (1 — о): ! (аа аа / и » ! / / — = — (и„! ! — 2и„+и„!)+ а ' Лт л» (1 — а) + „, (и,' !! — 2и„' ' + и„'',)+ г/,/Х. (3.29)! Эту схему называют схемой с весами.
Видно, что схема (3.29) при и Ф 0 неявная, так как содержит в правой части искомые значения и„+(!, и!', и„! ! на новом временном слое. Чтобы отличить неявную схему (3.22), последнюю называют чисто неявной. Схема с весами безусловно устойчива при о -» 1/2, а при о ( ( 1/2 условие устойчивости имеет вид Лт ( /!»/[2а (1 — 2п)]. (3.30) Кроме предельных случаев явной (о = О) и чисто неявной (о=1) схем достаточно часто применяют схему с весом и = 1/2, называемую схемой Кранко — Николсона. Эта схема имеет более высокий (второй) порядок аппроксимации по времени: [[у/[[ = = 0 (Лт» + /!»), а также является безусловно устойчивой.
Однако схема Кранка — Николсона имеет недостаток, который мы обсудим далее, в конце $3.3. В заключение отметим, что обычно в книгах после проведения сопоставления явной и неявной схем, подобного рассмотренному выше, делается вывод о нецелесообразности применения явных схем. Однако практика решения реальных задач не подтверждает безусловную правильность такой рекомендации. В пользу явной схемы можно привести следующие соображения. Во-первых, при анализе быстропротекающих процессов преимущество неявной схемы, заключающееся в более свободном выборе величины временного шага, может не проявиться. Во-вторых, явные схемы удобны при реализации на ЭВМ с несколькими параллельными процессорами, которые, по-видимому, получат широкое распространение в ближайшие годы.
$3.3. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ МЕТОДОМ БАЛАНСА (интегРОинтеРЛОляциОнный метОд) Свойство консервативности разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейшим образом — производные в дифференциальном уравнении н граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными разностями может привести к схемам, которые будут иметь большую погрешность, либо вообще окажутся непригодными для счета.
Рассмотрим пример такой неудачной разностной схемы для одномерного стационарного уравнения с переменной теплопроводностью Л (х) ~Л (х) — 1 = — д„ (3.31) которое в случае непрерывно днфференцируемой функции Л (х) можно переписать в виде дпТ дх дТ (3.32) 84 Для построения разностной схемы заменим в (3.33) производные разностными отношениями.
Аппроксимация второй производной была рассмотрена в 5 3.1, соотношение (3.8). Первую производную в точке х =- хп можно аппроксимировать левой или правой разностями б погрешностью О (й): д Т Тп — Тп-и д Т Тппт — Тп дх 6 дх Л и центральной разностью с погрешностью О (й'): дТ Тп+и — Т х дх 2И Аппроксимация центральной разностью имеет более высокий порядок, ее мы и будем использовать ниже.
Вводя сеточные функции и„и Л„.=- Л (х„), заданные на равномерной сетке х„=- (и — !) Й, получим и„з — 2и„+юп-~ (Лн+1 — Лп-1) Ль 62 26 2а Чю (3 33) Нетрудно убедиться, что если функции Л (х) и Т (х) имеют необходимое число производных, то разностное уравнение (3.33) аппроксимирует дифференциальное уравнение (3.32) со вторым порядком. Прежде чем перейти к анализу разностной схемы (3.33), остановимся на важных требованиях, предъявляемых к любым разностным схемам, которые соответствуют дифференциальным уравнениям, получаемым на основе записи законов сохранения энергии, массы, количества движения для произвольного объема сплошной среды.
Очевидно, что для получения разностного решения, хорошо описывающего реальный процесс изменения температурного поля в количественном и качественном отношениях, целесообразно потребовать выполнения закона сохранения энергии и для разностного решения. Для непрерывного точного решения закон сохранения выполняется для произвольной области тела.
Для разностного решения требование выполнения закона сохранения имеет важную особенность, обусловленную дискретным разбиением тела. А именно, поскольку разностное решение ищется в отдельных точках тела, то необходимо разбитьтелона такое же число элементарных объемов, каждый из которых будет включать одну точку, а затем потребовать выполнения закона сохранения как длл произвольного влеменгпарного объема так и для любой области, составленной из этих элементарных объемов (а следовательно, и для всего тела). Последнее требование будет выполнено, если обеспечить условие согласования тепловых потоков для любых соседних объемов, заключающееся в равенстве значений протекающих через общую границу тепловых потоков.
Отметим, что обычно требуют точного выполнения сформулированных условий при конечном разбиении расчетной области, а не только при стремлении максимального размера элементарной области к нулю. Это позволяет получать правдоподобные решения даже на грубых сетках. Разностные схемы, при которых получаются численные решения, удовлетворяющие закону сохранения энергии, называются консервативными. Теперь рассмотрим, как обстоит дело со схемой (3.33).
Сначала выберем элементарные объемы. В принципе их можно назначать различным образом, устанавливая границы объемов в произвольных местах между расчетными узлами. Однако наиболее естественным и широко распространенным является выбор границ элементарных объемов в серединах отрезков, образованных соседними узлам, (рис. 3.5). Таким образом в данном случае элементарные объемы имеют внд: [О, Ы21, [х, — й/2, хд + й/21, ..., [[ — й/2, /1. Теперь перейдем к проверке условий сохранения энергии дл„ элементарных объемов н условий согласования тепловых потоков на «д О «д...
«и д «и «и+д'" «» д Рис. 3.6 их границах. Для точного решения закон сохранения энергии для элементарного объема [х„ — й/2, х„ + й/21 записывается в виде «и 4 »Дд — д/(х„— й/2)+д(«и+й/2) = ~ д),д[х (3.34) »» — и/д нли дТ дТ Л дх [ди — идд д«[»и+идд (3.35) н условие согласования выполняется автоматически, поскольку поток, протекающий через общую границу двух объемов, равен для дТ любого нз ннх значению Л вЂ” в нх общей граничной точке. ди Для разностного решения закон сохранения записывается также ввиде (3.34), но значения тепловых потоков должны быть теперь выражены через разностное решение.
Для получения разностного аналога соотношения (3.35) перепишем уравнение (3.33) в виде Ли+д — Ли-д ) (ип ии-д) (- ') и 4 / а Л„д — Ли д 'д (иидд — ии) -( и+ 4 / Ь 4» (3.36) в котором члены ˄— (Л„+д — Л„д)/4 н Л„+ ()д„э, — Л„,)/4 являются оценками значений Л(х„— Ы2) н Л(хи + Ы2). Первое слагаемое в (3.36) соответствует потоку, проходящему через сечение х„- й/2, а второе — через сечение х„+ Ы2. Видно, что для схемы (3.36) не выполняется условие согласования тепловых потоков. Действительно, соотношение (3.36) записано для элементарного 86 объема с центром в точке х„. Лля соседнего левого объема с цент- ром в точке х„, оно будет иметь вид »»»» — ») (И»-1 — »»») (-- ) 4 / и -(- ) х„— ).
») (и» вЂ” и 1) г+ 4 / » (3.37) Значение потока через границу х„, + Ь)2 = х„— Ь!2 из (3.36) не совпадает с соответствующим значением из (3.37): Х» — »» „') (ы» — и» 1) ! )»»»д — Х»,') (и» вЂ” и» 1) ( ~+ 4 / л ~( " 4 / а Очевидно, что условие согласования для тепловых потоков будет выполнено, если тепловой поток на границе х„— Ы2 записать так: Ч»-1(»» ~-~-ю2 ч»~(»» — Вт»(х» Ь)2) Представляя аналогичным образом поток на правой границе элементарного объема с центром в точке х„, получаем вместо (3.33) разностное уравнение Х (х„— Ь/2) „— Х (х„+ Ь/2) а — — д, Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
