Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Априорную оценку погрешности квадратурных формул проводят путем анализа их остаточных членов ь ь!+ 1 /сы = — ~ /(х) Йх — ~я~ с! /(х!), ь= ! для которых удается найти верхние границы, справедливые при /!в -ь- О (А/ — !- со). Определим такие границы для погрешностей формул прямоугольников и трапеций, используя разложение функций / (х) на отрезке (х!, х!+,) в ряд Тейлора около точки х! = (х, + х;+,)/2 и ограничиваясь членами второго порядка: /(х) =/(х!)+ /' (х!) (х — х!)+ /" (!х!) (х — х!) /2+ .... Тогда для формулы прямоугольников получим кь+ гьь= ~ /(х) йх — /(х!)/ь ж /!! (х!)/ьь/24, х! 61 а для формулы трапеций "!+! гзз= ~ [(х)дх — [~(х!)+~(х!„.!)[Ь[2 ж — Г!! [х!) Ь /12, к! т. е.
погрешность вычисления интеграла на одном элементарном интервале [х;, х!ы) пропорциональна Ь'. Для определения погрешности вычисления интеграла на отрезке [а, Ь! следует провести суммирование по всем подынтервалам: к з! !! Рзз ~ г"Р ~У )!!(х!)Ьз(24(Ьз Ь(),ззз!24 = 1=! з= ! =Ьз(Ь вЂ” а)~".„(24, где 1'',„= шах [1!' [х!) [. Аналогично для формулы трапеций получим [Я'з [ ( Ьз(Ь вЂ” а) 1",„!12. Показатель степени шага Ь в оценке погрешности называют порядком точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности для функций, имеюших вторую производную, т. е. )с = О (Ь'). Заметим, что порядок точности обеих формул одинаков, хотя в одной использована интерполяция линейными функциями, а в другой — кусочно-постоянными. Можно получить аналогичным образом выражение для главного члена погрешности формулы Симпсона [й'[ (Ьз(Ь вЂ” а)[!ч (180, !!ч =гпах1 — ~, т.
е. формула Симпсона имеет четвертый порядок точности и является точной для полиномов степени не выше третьей. Приведенные оценки неудобны для практического анализа погрешности, во-первых, потому, что определение значений 1!! и !ч юлаз [,„может представлять собой самостоятельную достаточно громоздкую задачу, а во-вторых, эти оценки могут дать сильно завышенную величину погрешности. Рассмотрим основной, применяемый на практике, способ апостериорной оценки погрешности, называемый правилом Рунге.
Пусть из теоретического анализа известно, что численный метод имеет порядок точности р, т. е. погрешность )с пропорциональна Ьз: )с =АЬз, и предположим, что постоянная А не изменяется при изменении величины шага Ь. Если получены значения Р и 1з в результате расчетов с шагами Й, и Й„то можно записать равенства: 1 — Р=АЙг, 1 — 1з=АЙР Исключая неизвестное точное решение 1, получим А .= (1з — 1') 1(ЙР— Йг), и тогда погрешность расчета, выполненного с шагом Й,, можно оценить по формуле К'=1 — 1' =(1' — 1'ИА1Й )' — 1). (2.25) Если бы оценка (2.25) была точной, то можно было бы найти и точное значение интеграла 1. Однако изложенный способ обычно позволяет лишь правильно найти порядок величины погрешности.
Хотя иногда идея комбинации решений, полученных на разных сетках, и используется для уточнения решения. Наиболее часто выполняют расчеты с удвоением шага, тогда Й,=2Й, и )с = (1т — 1')1(2г — 1). (2.261 Идею правила Рунге можно применять также для получения оценок погрешностей решений дифференциальных уравнений. В частности, иа ее основе выводится приведенная в главе 1 формула (1.60) для полной погрешности численного решения обыкновенного дифференциального уравнения, в которой используются два численных решения, полученные на сетках разной густоты.
Прн решении многих сложных задач такой путь оценки погрешности численного решения — единственно возможный. Программное обеспечение для вычисления интегралов. Для численного интегрирования имеется достаточно обширное программное обеспечение. Разумеется, для того, чтобы реализовать вычисления по формуле прямоугольников (2.21) или по формуле Симпсона (2.24) с заданным шагом Й, нет необходимости в поиске соответствующей стандартной подпрограммы, так как их нетрудно запрограммировать и самому.
Ниже в качестве учебного примера (рис. 2.12) приводится подпрограмма вычисления интеграла по методу Симпсона, которая будет использована далее при реализации аналитического решения (2.!3). Необходимые для ее понимания сведения даны в комментариях к тексту. Отметим лишь, что среди формальных параметров подпрограммы присутствует имя подпрограммы — функции Р (х), задающей подыинтегральное выражение, поэтому в вызывающей программе это имя должно быть описано в операторе ЕХТЕЕЙ(А) . В некоторых случаях вопрос выбора квадратурной формулы и 63 1 2 3 8 7 8 Э 11 12 13 14 15 18 17 18 !3 29 21 22 23 24 25 28 27 ЯЗ 2В 39 31 зз 34 35 38 37 38 39 49 41 42 43 44 45 48 47 48 48 59 51 52 БВ с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с ПРОГРй9(Л РАСЧЕТА ОЛНОМЕРНОГО НЕСТАШЮЯЛРНО(С ТЛЫПЕРЛТУРНОГО ПОЛЯ ПЛАСТИНЫ ПО ТОЧНОМУ РМ]МЯНП ИСХОД(п]Е ДЛНННЕ: зь тощпм, Аллы-тлплопноной(ость, лт-тмй]ТАТ]РОПРожщнкть льу-КОВФМЫЗпыт тепясотдлчи, ТФ-клчляьныя пеРеГРеВ ПОМПРОГРйий-ФУ]япйн ПУ(Х) ЗйЮП РАСПРЕЛЕЛЕ]в(Е МОЯВ)с™ ИИ-ЧИСЛО ЧЛЕНОВ Рн]Н] н-число инти вляов пни Внчисязнии мпе(талл 11-ЧИСЛО ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТОЧЕК, ЛЗ-ЧИСЛО МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ Х(11]-МАССИВ КООРДИНАТ ПРОСТРАНС!ВЕННЫХ ТОЧЕК тло(ЗА)-]мосин моментов ЗРйа]й 0!МЕН310И А(59),В!(59),82(59),С(59),Т(19),Х(19),ТАО(29) ОПИСАНИЕ ВНЕИНЕЯ ВПЕЩИИ 91ИТ-ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЕ ВУйпЗИИ ИЗОБРЛЕЕНИЯ РАСПРЕЛЕЛЕНИЯ МОЛЫОСТЯ ехтейнАь и1ит Оыяи( Блок дяя ПЕРЕ]Н(чи пй метов в ПОДПРОГРАММУ-ФУННЦНП 9]ИТ СОММОМ /1ИТ/ ЛН,ПЬ ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ нелв 1,0ь,льлм,лт,йу,т9 1 УОВМТ(5719.3) РН1ИТ 2,ВЬ,ЛЕЛИ,ЛТ,Л]дв,т9 2 УОЯМАТ(' З ',С19.3,' А!Ли ',019.3,' АТ '.С19.3/ в' ЛЬУ '.019.3,' ТФ ',78.2) НЕЛЗ З,ИН,М,!(,ЛЛ 3 УОНМАТ(415) РН!ИТ 4.ИИ,М 4 УОНМАТ(' ИИ ',!3,' М ',13) НЕАЭ 1,(Х(1),1 1,!!) РН1НТ 5,(Х(1),! 1,1!) 5 УОНМАТ(' КООРДИНАТЫ ПРОС(тй(СТЗЕН]Х(х ТОЧЕК в"/(5011.3)Ь НЕАЭ 1,(ТАО(Л) „] 1,ЛУ) Рн!Иг 8,(тлн(з) й (,лл 8 УОНМАТ(' МОМБНПЛ БР!ПЕНИ:'/(5С11.3)) ЗАПИСЬ СОНСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В МАССИВ А В!О ЛЬУвВЬ/АСАМ Сйл.
КОНМ1(ИН,9.91,8!О,А] ВЫЧНСЯЕННЕ ЗЯЕМЛХПОВ РЛВОЧНХ МАССИВОВ В1 Н Ня ОО 7 И 1,ИИ АН ЫН) ИБАДРлт нОР]й соБстВенноя ФУнкЦми Уя ЗЬв(!.вн10/(В!Овв!О+ЛнвЛИ))/2. КОНПЛЛЫС В!(И) 81(Н) ТФвпбвн1И(ЛИ)/(ЛивУЗ) ИЗОБРЛВЕНИЕ РАСПРЕДЕ]ПХНИ( ]ЕМКОСТИ ЗНУ)Т МС]ОЧН)п(ОВ ИМ Сйх, 31МРЗ(9..]Л..М,И1ИТ,ИИ) КОМПЛЕКС З2(И) 7 Вя(И] Иивпбвпс/(ЛЬЛМвливУП) ЦНКЯ ПО МОМЕНТАМ ЗР]ЖНК ПО 11 Л 1„Ц ВЫЧНСЛИЫЕ Ко]Я(ПЖОВ С(М) ПО 8 И 1,НИ йЬ4(И) 64 55 66 57 68 53 66 81 62 63 64 85 66 87 Ю 63 79 71 ' 72 73 74 76 78 77 7З 7В 89 81 62 83 84 % Ю 87 88 89 99 Е( 92 33 34 35 87 38 Ю (ЕЕ (Е( 162 <ЕЗ 194 195 (Ю Ро-Ат»тлп(л>/(пь»пь> 8 С(н>-ПР(-АН»АН РО) с ц(к(л по просттлнстю(енв( точнлн ЭО 8 1-(,П с счиюровлнке Рядл, ннчислкник ПЕРепевов т(п тп>-9.
ВОЗИ <,ИИ 3 Т(1) Т(1)»(В1(н)»с(н)»ВЗ(Н)»(<.-С(И)))»СОЗ(А(н)»Х(1)/В() с пкчлть тюпюАТЛР в дыввл< нснкыт БРюин( Рн<нт (е,тлп(л>,(т(1),1-(,п > 19 Роннлт(/' ЗРЛЫЯ -',с(1.8/' тюакРАТЛРН /<ес(1.3» 11 соит<иок зтоР енп по)е(РОГРАИЫА подютатлльной ечниции ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЗОБРАИЕНИЯ РАСПРЕЛЕЛЕНИЯ ЫОННОСТИ Рзнст>он и>ыт(х> совюи /<нт/ Ан,пь н(ит-оч(х> сев(АЫ»х/вь) нкпзи ЕИЭ ПОДПРОГРАИ>А(-49)БОВП> РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОННОСТН вютрюних испяю(хю Р<2(ОТ<ОН ОЧ(Х) Оте-!.Кз В("9.81 ОЧ Че»ЕЛ(Р(-(3»Х/ОЬ)»»2) ньтпни ЕИВ по)еп огрыеь( и(чнс>нния НОР>пй тинсцнндппного РРАвнкння сто(х>-х/в(о ыьтодон полоненного дклкния жПВООТ(ИК НОЯИ< »(Н,КРЗ,В)О,Х) входнык ПАР(з(АТРН Н-ЧИСЛО НОРН>й ЕРз-погркинасть опркке>пння иорня В<О-ЧИСЛО ВНО ВЫХОДНОЙ Ц(РАНК>т : Х(Н>-ИАССИВ НОРНКй ЮНКИЗ>ОИ ХИ> Р(Х>-Х/В<О-СОВ(Х>/З(И(Х) нлчлжннй ннткгвю для перюго нория 1-1 А Е.
Е 1.57979 делюнк инт)РЗАЕА пополлн 1 С (А+В)/2. ючнслювк ехюции в точке делення РС-7<С> ВЫБОР НОВОК ГРИБНИЦЫ ИНТЕРВАЛА 3 Зак. 2217 Рис. 2.12. Продолжение шага интегрирования неочевиден. Тогда имеет смысл использовать более сложные программы, в которых автоматически осуществляется выбор шага, а иногда и квадратурной формулы. Такие программы называют адаптивными кепдратурными программами (32). В них используется одна или несколько квадратурных формул и определяются величины подынтервалов [хм х;+ ) так, чтобы вычисленный результат удовлетворял предписанной точности.
В разных частях интервала интегрирования могут использоваться сетки разной густоты. Пользователь подобной программы указывает интервал (а, Ь), составляет подпрограмму-функцию, вычисляющую Г (х), и выбирает допустимую погрешность е. Адаптивная программа пытается вычислить величину (л так, чтобы выполнялось условие ь (. — р ~*и*~ а Программа может сделать вывод, что предписанная точность недостижима, получить наилучший возможный для нее результат и выдать оценку реально достигнутой погрешности. Пример такой программы подробно рассмотрен в книге [32). В заключение отметим, что при вычислении несобственных интегралов в задачах о полупространстве возникает вопрос о выборе пределов интегрирования. Разумеется, приходится задавать конечный интервал [а, Ь), но предварительно или в самой программе проверять, чтобы отбрасываемая часть интеграла не превышала допустимую погрешность.
$ ХЛ. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ Рассмотрим пример программы для расчета одномерного нестационарного температурного поля пластины по точному решению (2.13). Исходными данными являются, во-первых, параметры, входящие в постановку задачи (2.1) — (2.3): толщина 1, теплопроводность Х, температуропроводность а, коэффициент теплоотдачи а,начальный перегрев б,; во-вторых, массивы координат (х~)ь, и моментов времени (тз)! „для которых требуется вычислить температуру, и, наконец„чйсло членов ряда У, учитываемых в решении (2.13), и число интервалов разбиения отрезка (О, В при вычислении интеграла (2.!0) для изображения Ф'„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
