Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Погрешность е'„различна в разных узлах просгранственновременной сетки. Для того чтобы охарактеризовать погрешность во всей области Р„,а ь вводят одно число„которое называют нормой аогрешноспти и обозначают ЦеД ). Нормы сеточных функций определяют па аналогии с нормами функций непрерывных аргументов. Определим норму сеточной функции в дискретной области Ы„к, следующим образом: ()' Ц = гпах ) е'„~. л,г Заметим, что возможны и другие математические трактовки нормы. Например, можно использовать нормы вида 1241 [еЦ =~Лт шах [е'„[ илн [вЦ=[~/зт(2,й(е'„) )) /~. Используя понятие нормы, сформулированное требование к разностной схеме можно записать в виде Вш !) „'[=О (3.17) Условие (3.17) называется условием сходимости разностной схемы.
Оно должно быть выполнено. Погрешность 11е('1~ может стремиться к нулю при измельчении сетки с различной скоростью. Если при достаточно малых Ьт и 6 выполняется условие 11е'„!)< С,бт'+С,ЬР (3.18) / / — ! ф = ср — — (Т„+~ — 2Т„+Т„,) — а, т„' — т„ / Лт — [ср ~ — ) — Х ( —,) — (/,~ = — срб'„(Лт)+ ) у/(Ь'). (3.19) Невязка ф/, которая возникает при подстановке сеточной функции точного решения в уравнение для разностного решения, называется погрешностью аппроксимации исходного дифференциального где С„С, — постоянные, не зависящие от Лт и й, то говорят, что разностная схема сходится со скоростью 0 (Лт'+ ЬР) или порядок точности схемы равен г по временной и р по пространственной переменной, т.
е. понятие порядка точности характеризует асимптотическое поведение погрешности при измельчении сетки. Требование сходимости приводит, в свою очередь, к требованию выполнения для разностной схемы двух условий †аппроксимац и устойчивости. Можно доказать (см. ниже), что при наличии аппроксимации и устойчивости всегда будет иметь место и сходимость. Остановимся на понятиях аппроксимации и устойчивости подробнее, начав с первого. Вернемся к переходу от уравнения (3.10) для сеточной функции точного решения Т/ к разностному уравнению (3.11) для и/.
Эти л / / л уравнения отличаются на величины б„и у„', стремящиеся к нулю при Лт — ~- 0 и й - О. Поэтому точные сеточные функции Т~' в общем случае не удовлетворяют уравнениям для разностного решения, а при подстановке Т/ в эти уравнения возникает некоторая невязка ф/. Для разностного уравнения (3.11) эта невязка определяется так: уравнения разностным уравнением. Эта невязка, как следует из соотношений для 6~; и у!',, стремится к нулю при измельчении сетки: 1»(г„' ~ =.
0(Лт+ й»). Аналогичным образом определяются невязки для разностных уравнений (3.13), которыми мы заменили точные граничные условия: и аналогично ф', — ».н) (Й). Лля характеристики погрешности аппроксимации всей разностной схемы вводят ее норму )1«1 ~)1, определяемую как и 1)е~!5 из (3.161. К ловие аппрокгъ»«ачии исходной дифференциальной задачи разностной схемой заключается в том, что погрешность аппроксимации должна стреми~ься к нулю при измельчении пространственно- временной сетки (3.
20) 1(ш ~1 фД Иначе говоря, различие между уравнения «и разностной схемы и точными уравнениями должно уменьшаться при уменынении шагов Лт и й. Стремление к нулю «отличительных членов» ф~ и позволяет надеяться на сходимость и~ к Т~; ведь если уравнения «почти одинаковы», то и решения, по-видимому, должны быть «почти одинаковы». Однако ниже мы увидим, что последний тезис не всегда справедлив, так как и при наличии аппроксимации решения могут быть не близки, если не выполняется условие устойчивости. Если 1~ф~~| 0(Лт'+ й»), то говорят, что имеет место аппроксимация с порядком г по времени и р по пространственной координате.
Подчеркнем, что погрешность аппроксимации не следует путать с погрешностью разностного решения: первая характеризует различие между уравнениями, вторая — различие между решениями этих уравнений Т(, и иг. Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени н вторым по координате. Разностные уравнения (3.!3) аппроксимнруют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1®~~' ~1 = = 0 (Лт + й). Лалее в $ 3.3 рассмотрим способ построения разност. ных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате.
Существуют различные способы построения разностных схем, для которых выполняется условие аппроксимации. Сейчас мы исполь- зовали путь, состоящий в замене отдельных дифференциальных опе дТ дТ д'Т раторов —, —, — «в исходной задаче выражениями, в которые вхо дт ' дк' дл« дят значения сеточной функции Т,' и некоторые добавочные члены, стремящиеся к нулю при измельчении сетки (б~,, у~, и«~, и~).
Зтн до. бавочные члены называют погрешностями аппроксимации соответ. ствующих дифференциальных операторов. Погрешность аппроксимации уравнения является в этом случае алгебраической суммой погрешностей аппроксимации отдельных операторов и также с1ремится к нулю при Лт — О, и — О. Возможны и другие пути построения разностных схем, некоторые из которых будут рассмотрены ниже. Если разностная схема уже построена каким-либо путем, то проверить наличие аппроксимации и выяснить ее порядок можно, подставив в разностную схему сеточную функцию точного решения Т„и выполнив разложения в ряд Тейлора около точки (х«, т,), для которой записано соответствующее разностное уравнение. Перейдем теперь к условию устойчивости.
Выполнение этого условия необходимо для того, чтобы при достаточно малых погрешностях аппроксимации ф( можно было бы получить достаточно малые погрешности разностного решения е„. Понятие устойчивости связано с «поведением» погрешности «' при Лт -«- О н Ь О. Как было отмечено выше, рассматриваемая разностная задача решается последовательно во времени, причем реше ние на ((-- ()-и слое используется для определения решения на )-м слое. Погрепаость е„' на первом временном слое уже будет от,лична от нуля и будет зависеть от ф„'.
На втором временном слое погрешность е,", определяется погрешностью на предыдущем слое г,', и погрешностью аппроксимации ф„'. Таким образом, происходит как бы «перенос» погрешности разностного решения с предыдущего шага на текущий и ее «взаимодействие» с погрешностью аппроксимации Если схема не обладает устойчивостью, то при решении задачи в результате описанного процесса происходит как бы «усиление» погрешности ег по мере продвижения во времени. Появляется и развивается так называемая «разболтка» (или «раскачка») схемы, которая выражается в том, что погрешность увеличивается по моду. лю и меняет знак при переходе от одного временного слоя к.следующему. Качественное поведение погрешности для неустойчивой схемы иллюстрирует рис.
3.3. В итоге к концу рассматриваемого временного интервала т „. либо получается разностное решение ик,не имеющее ничего общего с точными значениями температуры Т~, либо разностное решение достигает столь больших значений, что возникает останов программы из-за переполнения порядка еще до достижения конца временного интервала. При измельчении сетки в случае неустойчивых схем погрешность не уменьшается, несмотря на уменьшение погрешности аппроксима- ции ~рг'.
Это обстоятельство можно качественно истолковать как неблагоприятный исход «борьбы» между уменьшением различий точных и разностных уравнений (невязок,ф~',) и увеличением общего числа уравнений (при Лт-~- О, И вЂ” ~- 0 число узлов сетки У,(- оо). Заметим, что в реальных задачах заметная раскачка схемы может наступить после нескольких десятков нли даже нескольких единиц шагов. Для устойчивых схем такого роста погрешности не происходит. Величина ег' остается ограниченной и уменьшается при уменьшении погрешности аппроксимации ~г', несмотря на то, что при измельчении пространственно-временной сетки ! Е увеличивается число решаемых уравнений (число узлов У/).
Таким образом, условие устойчивости можно записать как условие выполнения неравенства ((е~ )! ( В !$„'!) (3.21) при достаточно малых И и Лт и по. стоянной В, не зависящей от И и Лт. При более общей математической трактовке устойчивость рас ! 1 1 ш ( 78 сматривается как свойство разност. ной схемы, которое заключается в том, что малым изменениям правых частей в системе алгебраических уравнений разностной схемы соответствуют малые изменения разностного решения. Если условие (3.21) выполняется при любом соотношении между шагами Лт и И, то схему называют безусловно успюйчивой. Если устойчивость имеет место лишь при условии выполнения определенного соотношения между шагами по пространственной координате и по времени, то схему называют условно устойчивой. Математический анализ устойчивости разностных схем часто представляет собой достаточно сложную задачу, методы решения которой рассматриваются в книгах (4,14, 24, 25!.
В данном курсе будем приводить результаты исследования устойчивости различных схем без их доказательств. Как уже было отмечено выше, на практике отсутствие устойчивости легко устанавливается экспериментальным путем при появлении «разболтки» численного решения в процессе пробных расчетов. Теперь рассмотрим связь между аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью. При наличии аппроксимации [условия (3.20)! и устойчивости !условия (3.21)! всегда имеет место и сходимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
