Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (1185899), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(3.38) Разобранный пример показывает, что консервативность схемы не обеспечить без принятия специальных мер. Поэтому в настоящее время в большинстве случаев разностные уравнения получают не из аппроксимации операторов дифференциального уравнения, а из непосредственной аппроксимации самих соотношений теплового баланса, записанных для элементарных объемов.
При этом для тепловых потоков на границах используются выражения, обеспечивающие выполнение условий согласования. Этот способ построения консервативных разностных схем называется интееро-интерполяаионным методом или методом баланса. Метод теплового баланса. Приведем основные этапы применения этого метода: область, в которой ищется решение„разбивается на элементарные объемы (элементарные ячейки), построенные вокруг каждого узла сетки; для всех внутренних н граничных ячеек записывают уравнения теплового баланса„ включающие значения тепловых потоков иа границах ячеек; при записи уравнений баланса для ячеек, прилегающих к границам, используют граничные условия; аппроксимируют члены, входящие в уравнения теплового баланса, выражая нх через значения сеточной функцви; при этом аппроксимационные выражения для тепловых потоков должны удовлетворять условию согласования.
Поскольку число ячеек равно числу узлов пространственного разбиения, то в результате этих действий получают полную систему алгебраических уравнений — разностную схему, при решении которой можно определить разностное решение. Проиллюстрируем описанную методику построения разностной схемы на примере стационарного уравнения теплопроводности для стержня с боковым теплообменом: «тй — )Х(х) — ~ — а,(х) Т + д,(х) =-О, где а« =- а0/5; (/ — периметр; 5 — плошадь поперечного сечения; а — коэффициент теплоотдачи на боковой поверхности.
а) Ю/ Ь„,+л„уг /71 /г (3.39) Рис. 3.6 поток от (и — 1)-й ячейки в и-ю поток от (и+ 1)-й ячейки в и-ю поток от мощность л-й источников в л-й ячейки в среду ячейке Все составляющие уравнения балансаотнесены к единице площади поперечного сечения и выражены в Вам'. Пусть выбрана неравномерная пространственная сетка (х„) «',, шаг й„=х„+, — х„. Элементарные ячейки для всех внутренних уз- лов х„построим, отступая от каждого узла на половину шага влево и вправо(рис. 3.6, а). Элементарная ячейка для узла х„ представля- ет собой отрезок (х„ г„ х,+ и1, х« ь ~, — †«„ -4- й!2. Уравнение теплового баланса для внутренней элементарной ячейки (х„ ч„ х„+ ~„1 имеет вид ««+«/« — и«<-~1з+д — ~~с+ 1 ( — а,Т+д,)дх=О, ««-1/« ать где д«~ б =-- — х (х) — ~ — тепловые потоки на границах.
««1«„„,, Уравнение (3.40) представляет собой закон сохранения энергии для элементарной ячейки и имеет следующий смысл: При вычислении теплового потока с боковой поверхности будем считать, что температура не изменяется на отрезке [х„,ло х„+ <,1, т. е. КЛ»1!1 «»+1 1 а„Тбх Тл ~ и»4 х. <3.41) ! — 1Р 1 к» Рассмотрим способы приближенного вычисления потоков <1„ и д.+~<,. Один из них, удовлетворяюший условию согласования, был уже рассмотрен, см. (3.38): Л» -1 — Лл <ЛЛ вЂ” ЛЛ»1 <1» — <<1 Л (хл.
< <1) л, <)».«. <з Л (х~+ < <1! л . (3.42) ет ~т ч(1 Ч(х).=- — Л вЂ” „. или д -- — Л (3.43) Проинтегрируем равенство (3.43) по отрезку [хл ,. х»1: — д х —: Т„- Тл, -=- — ~ — <[ х. «к Л (к) 1 л -1 к л-1 Предполагая, что <) (х) мало меняется на отрезке [хл „х„1, положим а (х) т <)„,!1 и вынесем <)„1<1 за интеграл. Тогда полу- чим кл лк Тл — Тл,= — д„„е ~ —. Л (к) «л-1 Таким образом, тепловые потоки через границы элементарной ячейки выражаются через разности температур в узлах так: т — т т. 1 — т. <)л+ < /з Л»+1 <1 а э <)л — < /1 Лл — <!2 ь ~ (3.44) л Л-1 89 Однако более подробный анализ показывает, что эти соотношения целесообразно использовать только в случае непрерывного и не слишком резкого изменения теплопроводности на отрезке [х„„ х„+,1.
Приближение (3.42) базируегся на предположении о малом изменении производной дТРбх на соответствуюших интервалах. Оно неправомерно в случае резкого изменения теплопроводности Л (х), например, прн наличии точки разрыва у Л (х) на рассматриваемом интервале. Поэтому целесообразно строить приближение для потока исходя из предположения о малом изменении потока <) (х) на соответствуюших интервалах. Очевидно, что при малых Ь поток мало изменяется даже в случае разрыва Л (х).
Из закона Фурье имеем дТ д Г дТ1 СР д д ~)а~х~ д ~ аха(х) Т+11а(х,т)' (3.49) Уравнение теплового баланса для ячейки [х„.б, х„+ ~,) на промежутке времени от т; 1 до т; имеет вид «л+м а аэ с р(Тт — Тт ) Йх = ~ — а)л+1/2+1)л — 1/2+ к л-11 а 1 — 1 кл.~.аа а т)а,)а . кл — ата (3.50) Здесь выражение в левой части представляет собой количество теп- лоты, идущее на нагрев элементарной ячейки. Аппроксимируем ле- вую часть (3.50) выражением срк1Тт — Т' ')бх-(,Тт — Т' ')(ср) ( + " ') ср —, хж „вЂ”, ср„ 2 к и-1! а В правой части равенства (3.50) для аппроксимации интегралов по пространственной переменной используем выражения, приведенные выше.
Для аппроксимации интегралов по времени нужно принять какое-то предположение о характере изменения температуры во времени на интервале (тт „т;). Примем, что в любой точке этого 91 Подчеркнем, что если функции Х, а„д, имеют разрывы между узлами, то для повышения точности разностной схемы, как правило, следует вычислять интегралы точно. Особенно это существенно в случае многомерных задач, когда приходится вести расчет при достаточно грубых сетках. Мы рассмотрели построение разностной схемы методом баланса для стационарного уравнения. Его целесообразно применять и для нестационарного уравнения. В принципе вопрос о том, на каком временном слое брать аппроксимацию пространственного оператора, мы уже обсудили в 93.2.
Поэтому для перехода к нестационарной задаче достаточно в приведенных выше аппроксимациях пространственного оператора поставить у сеточных функций индекс настоящего / или предыдущего (1 — 1) момента времени. Однако для уравнений, содержащих коэффициенты, зависящие от времени, целесообразно использовать метод баланса в нестационарном варианте. Кроме того, на основе такого подхода проще получать аппроксимации для граничных условий и пояснять их физический смысл. Рассмотрим построение консервативной разностной схемы в случае нестационарного уравнения для стержня с боковым тепло- обменом: интервала температура постоянна н равна средневзвешенному значению от ТУ-1 ' и Т1': Тл(т) ж о Т'„+(1 — о) Т„' где о — параметр, который может принимать значение от 0 до 1.
Тогда прн вычислении интеграла по времени получаем следующее выражение; Т„(т) и т ж Л т [о Т'„+ (1 — о) Т'„ У-1 Подставляя выражения для тепловых потоков в уравнение баланса (3.50), записываем разностную схему 2 Л! Лл цУ ц/ +)!л — !Уз ~ 2 (1 — о)~ 221-У-!Уз Лл, 1 ал л — 1 л ! ! !У!24 У22-1) цУ вЂ” цУ + л — !Уз Члл ал — 1 2 Уал+ал 1! — !х,„[пи', -1 (1 — -о) и,', (3.511 -22 — ! ТУ! — 7!2 [р ~х1 Уу!+!уз=1!+!уз ГДЕ У!!+!уг=.и1~ ) Ь1 (х) [ к, 92 221! 2 где дУ„=- — ~ ) !!2(х, т)!)хот. У„ат 1 Л 1 — 1 Л вЂ” 1 2 Уравнения (3.5!) записываются для всех внутренних точек тела При о =- 0 получаем явную схему, при о -- ! †- неявную, при о = = 1!2 — схему Кранка — Николсона.
Аппроксимация граничных условий. Перейдем к рассмотрению разностных уравнений для элементарных объемов, прилегающих к границам, в которых будут учтены граничные условия третьего рода (3.2) и которые замкнут общую систему уравнений разностной схемы. Возьмем для определенности элементарную ячейку 10, Й1У2). прилегающую к границе х == 0 (рис. 3.5, б). Прн записи закона сохранения энергии для элементарной ячейки будем использовать чис то неявную схему (при о = 1), а также полученные выше выражения (3.44) для тепловых потоков. Тепловой поток (все потоки относим к единице площади поперечного сечения стержня), выходящий из ячейки через границу х = й112, равен тепловой поток, рассеиваемый в среду на границе, д~ = а,Т',; мощность, выделяемая внутренними источниками, д" ' д!!Ь!!2; тепловой поток, рассеиваемый с боковой поверхности, д"' =— -= а„Т! Ь!!2; мощность, расходуемая на нагрев элементарного объема, 4!к -,— с р Ь! ЛТ! Т( !) 2 ат Из закона сохранения энергии следует д..., д! 1 д„+д!! дп!, !ч О или (3,52) Первые три слагаемых (3.52) совпадают с простейшей аппроксимацией граничного условия (3.24), использованной выше в 2 3.2 и дТ полученной простой заменой производной — конечной разнодк стью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
