Путилов К.А. Термодинамика (1185138), страница 31
Текст из файла (страница 31)
тождественна для всех чтермометрических» тел; 3) что наинизшая возможная в природе температура есть О' або.; 4) что упоминаемый в экстремальном определении энтропии температурный уровень Т, есть 1' або., так как по определению связанной энергии при температуре Т, имеем б, = 8, Чтобы проще было следить за ходом доказательства высказанной выше теоремы, разобьем ее на три утверждения, обоснованию которых будет предшествовать лемма. Л е м м а. Если при некоторой температуре 1» теплоты Яь н ~; нзотермических процессов в системах А н А' одинаковы, то будут одинаковы теплоты ь» и Я аналогичных изотермических процессов при любой температуре г, поскольку начальные и конечные состояния систем А и А' остаются на зафиксированных адиабатах.
1-е у т в е р ж д е н и е. Для изотермических состояний одного како- либо тела (или системы) отношение связанной энергии к энтропии имеет одинаковое, всегда положительное значение, не зависящее от выбора начального состояния, к которому обе эти величины отнесены. 2-е у т в е р ж де н и е. Для всех термодинамических систем, нах(одящихся в тепловом равновесии друг с другом„отношение связанной энергии к энтропии имеет одинаковое, всегда положительное значение.
3-е у т в е р ж д е н и е. Отношение связанной энергии к энтропии возрастает при повышении температуры. Ход доказательства я связываю в некоторых местах с графическими представлениями, но так, чтобы они не нарушали общности рассмотрения и служили только для символического обозначения изучаемых процессов. До к аз а тел ь ство леммы. Чтобы доказать справедливость сформулированной выше леммы, заставим систему А описать между зафиксированными адиабатами и изотермами Г и Гь цикл Карно (рис.
11): 1 2 д 4 1. »=со»»Ф адиаб н сопи ад»»в Для этого нужно сообщить системе А теплоту (~ при температуре Г н отнять теплоту Я» при Г,. В качестветеплоотдающегоитеплополучающеготелаиспользуем систему А'. Когда эта система А' отдаст системе А теплоту Я'— Я, нам придется посредством равновесного адиабатного процесса изменить 'йслте:л~ д бйглг«гот Ь Рис.
11. К доказательству леммм о равенстве теплот аналогичных изотермических процессов температуру системы А' до 1а. После того как система А' получит при температуре 1, теплоту (~о = ~з, мы адиабатно вернем систему А' к ее исходному значению внутренней энергии. Таким образом, система А' испытывает следующие изменения состояния: 1' 2' — 8' 4' — 5'. »=сап»1 адваб й, сооп вдиаб При этом ог конечном состоянии 5' пока мы можем сказать только то, что оио лежит на одном уровне энергии с исходным состоянием 1'. Лемма верна и доказана, если состояния 5' и 1' совпадают; в противном случае она неверна. Допустим последнее. Тогда могут быть два случая: 1. Для осуществления изоэнергетнческого процесса 5'-ь.
1' (завершающего цикл системы А') нужно сообщить системе А' некоторое количество тепла д, причем система А произведет'работу Е = д. 2.. На осуществление процесса 5'-ь 1' нужно затратить работу Е, причем система А' отдаст теплоту д 1.. Если бы имел место первый случай, то циклы систем А и А' в совокупности отвечали бы перпетуум-мобиле второго рода, так как единственным их результатом было бы превращение тепла о в работу Е = д.
Если бы имел место второй случай, то, проводя все процессы над А и А' в обратном напРавлении, мы опять-таки получили бы реализацию перпетуум-мобиле второго рода. Значит, состояния 5' и 1' совпадают и, следовательно, наша лемма доказана. Доказательство первого утверждения. Из экстремального определения энтропии и связанной энергии и из теоремы о минимальной теплоотдаче явствует, что энтропия Я равна теплоте, отдаваемой телом при переходе по изотерме универсального температурного уровня Та от адиабаты, проходящей через рассматриваемое состояние 1, к адиабате, проведенной через то «начальное» («стандартное») состояние О, с которым решено сопоставлять все остальные состояния тела. Аналогично связанная энергия 6 равна теплоте, отдаваемой телом при переходе из 1 на начальную адиабату по нзотерме 1, на которой лежит рассматриваемое состояние1.
Для любой системы, каковы бы ни были состояния 1 и О, знаки 5 и 6 всегда одинаковы. Действительно, если оказалось бы, что одна из этих величин отрицательна, тогда как другая положительна, то это означало бы, что имеется возможность построить такой цикл Карно (из отрезков изотерм Т, и1 и адиабат, проходящих через 1 и О), обходя который водном направлении система только получила бы тепло на обеих изотермах. Очевидно, что подобный цикл соответствовал бы перпетуум-мобиле второго рода. Итак, сопоставим отношения 6Ю для ряда изотермических состояний некоторого тела (или системы).
В фигуративной диаграмме проведем изотерму 1, объединяющую данный ряд состояний, и вторую изотерму Т„ где Т, есть упоминаемый в определении энтропий температурный уровень. Проведем через точку, изображающую некоторое начальное состояние О, адиабату (рис.12).Для всех состояний, лежащих на этой адиабате, связанная энергия и энтропия, как это следует из самого определения этих величин, равны нулю.
Для определенности допустим, что в фигуративной диаграмме Рид. 12. К доказательству независимости отношеиия связанной энергии к энтропии от выбора начального состояния систем переход от начальной адиабаты к состояниям, расположенным правее, связан с затратой тепла. Выберем малое (сколь угодно малое) количество тепла дв и пеРесечем изотеРмы Та и Г семейством адиабдт, пРоведенных так, чтобы теплота перехода по нижней изотерме Т, от любой из этих адиабат к смежной была численно равна выбранной величине де, точки пересечения этих адиабат с верхней изотермой Г обозначим символами натурального ряда чисел: вправо — со знаком плюс (+ 1, + 2, -1- 3 и т. д.), влево — со знаком минус ( — 1, — 2, — 3 и т.
д.). В ряду изотермических состояний (О, 1, 2, 3 и т. д.) при переходе от одного состояния к следующему вправо энтропия возрастает на одну и ту же величину й8ез — — й~ье — — й~вз —— , = Чз, влево — убывает на ту же величину. По доказанной выше лемме ряду равных изотеРмических теплот пз соответствУет на дРУгой изотеРме 1 РЯд Равных по величине теплот д.
Следовательно, ыыоз = шытз = абаз = ° ° ° = 9 В аналогичном ряду состояний влево связанная энергия каждый раз убывает иа ту же величину. Выберем любое из состояний. Пусть положение выбранного состояния определяется положительным или отрицательным числом и. Очевидно, что энтропия тела, взятого в этом состоянии, 8 = пде, связанная энергия 0 = = пд. Следовательно, частное от деления связанной энергии на энтропию всегда положительно и не зависит от л, т. е.
не зависит ни от положения заданного состояния на изотерме, ни ат выбора начального состояния, к которому обе эти величины отнесены: О 1 при 8 = сопз1 — ' = сопз1 н всегда) О. 3 Поскольку дз могло быть избрано сколь угодно малым, рассмотренный ряд нзотермических состояний можно считать сколь угодно тесным. Доказательство второго утверждения.
Пусть даны два каких угодно тела А и А' в состояниях 1 и 1' при температуре г. Выберем определенным образом, а именно непременно из числа изотермических состояний при температуре 1 начальное состояние О тела А и условиммя для всех остальных состояний А относить связанную энергию и энтропию к этому начальному состоянию (рис.
13) Пусть энтропия тела А в состоянии 1 по отношению,к О главна 5, а связанная энергия равна б. В качестве начального состояния О второго тела А' выберем также одно из состояний, лежащих на изотерме 1, а именно такое, чтобы по отношению к этому состояниюэнтропия8' второго тела в состоянии 1' была, как и для тела А, равна величине 5: Таким образом, все четыре состояния (О и 1; О и 1') изотермичны.
Про- ведем через все эти состояния адиабаты и построим изотермы Т,. Теплоты Рнс. 13. К доказательству о положнтельном значении н постоянстве отношения связанной энергии кэнтропнн для всех термодннамнческнх снстем, находящнхся в тепловом равновеспн друг с другом сепз4 пзь ~/ сепзь =сапах Рнс. 14. К доказательству возрастання отношення связанной энергнн к энтропнн прн повышеннн температуры системы Я,~/ перехода по изотермам Та (8 и 8') для обоих тел одинаковы; следовательно, по доказанной выше лемме одинаковы также теплоты перехода с одной адиабаты на другую и по изотермам 1, т. е. 6' = 6; значит, отношение 6/8 равно отношению 6'/8'.
Мы определенным образом выбрали начальные состояния тел А и А '. Но, как было доказано в предыдущем параграфе, отношение связанной энергии к энтропии не зависит от выбора начального состояния и одинаково дляг всех изотермических состояний тела А. То же можно сказать и про тело А . Поэтому, обнаружив равенство 6/8 = 6'/8' применительно к двум нарочито выбранным начальным состояниям тела А и А', мы вправе считать строго доказанным, что для всех изотермических состояний этих тел при любом выборе начальных состояний отношение связанной энергии к энтропии одинаково и всегда является величиной положительной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
