Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Она называется гетерополярной связью, Гетерополярная связь позволяет дать полное объяснение валентности атомов. С точки зрения классической теории невозможно понять, почему 272 некоторый атом может объединиться с определенным числом атомов другого сорта, образуя молекулу, если даже допустить существование классических сил, достаточных для удержания атомов в молекуле. Это связано с тем, что свойство насыщения совершенно чуждо природе взаимодействия по законам классической физики. Чтобы понять природу гетерополярной связи, проще всего рассмотреть одномерную модель. В 2 43 была рассмотрена одномерная яма конечной глубины, изображенная на рис.
27. Рассмотрим движение электрона в двух потенциальных ямах того же вида, как и на рис. 27, но разделенных потенциальным барьером 0 Р конечной ширины. Вид этих двух потенциальных ям изображен на рнс. 64. Ширина потенциального барьера между ямами з равна Ь. Ясно, что при Ь- - мы имеем а и и'З Го'д две изолированные ямы, изображенные на с1ио. 64 рис. 27. В этом случае волновые функции электронов в различных ямах не перекрываются и можно говорить, что электрон двигается в той или другой потенциальной яме. Уровни энергии электрона получаются в результате решения уравнения (43.18). При конечных значениях Ь уже нельзя говорить о полностью изолированных потенциальных ямах. В результате туннельного эффекта электрон переходит из одной ямы в другую.
Этот эффект тем больше, чем меньше ширина барьера Ь. В этом случае нельзя сказать, что электрон движется в какой-то конкретной яме— электрон обсбществлен, он движется в обеих потенциальных ямах, в результате уровни энергии электрона изменяются. Это изменение уровней электрона при наличии нескольких потенциальных ям лежит в основе понимания природы гетерополярной связи. Поясним это на примере рассматриваемой модели.
Нас интересует случай В' ( Уо. Решение проводится совершенно аналогично тому, как это было сделано в 2 43 для ямы, изображенной на рис. 27. В полной аналогии с (43.16 1) и (43.16 Н) решение в областях 7, О и 07, изображенных на рис. 64, имеют внд (1) Ч',==А,япх,х, (П) Ч', =- С,Е "з+ О~"', (111) тз — — Лз з)п х, (2а+ Ь вЂ” х), где 1 2то1П 1' 2мо О/о — Ю) к,= ь ' ь 1г =- 273 1зз зм ~ооз Условия непрерывности волновых функций и ее производных имеют следующий вид« Аьз(п Хьа=Сге ь'+Огеь, А1хьсозх1а=-х( — Сге" +0~хи), Сге-а««+ь'+Вьем «м Агцп хьа, й ( — С,е ""'+ь'+ О е""'+ь') = — Агк, соз хга.
(80. 2) Исключение из этих уравнений величин Сг и Ог приводит к следующим уравнениям: (х1 с(а хьа+ й) А,еьь =. — (х, с1я х,п — 7ь) А„ — (х,с1дх,а — й) А,е "'=-(х,с1дхьа+Ь) А . (80.3) Юля существования нетривиальных решений этой системы уравнений относительно А1 и А, необходимо, чтобы определитель детерминанта системы равнялся нулю. Тогда (х1 с18 хьа + й) = ~ (х1 с1я х1 а — (ь) е "'. (80.4) Это есть уравнение для определения уровней энергии.
При Ь =- со правая часть (80.4) обращается в нуль, и это уравнение превращается в уравнение (43.18) для одной ямы, как и следовало ожидать. Наличие двух знаков в правой части (80.4) показывает, что при конечных значениях Ь каждый уровень энергии изолированной ямы расщепляется на два подуровня. Это расщепление имеет большое значение.
Чтобы выяснить его характер и особенности волновых функций, которые связаны с каждым из расщепившихся уровней энергии, рассмотрим случай, когда 7гЬ» 1 и х, « 7г, т. е. случай, когда энергия частицы много меньше высоты потенциального барьера (7«, ширина которого не очень мала. При этих условиях в правой части (80.4) величину с18 х, а можно приближенно заменить ее значением, получающимся при Ь = со, т. е.
считать, что с1а х, а = — й/хь Благодаря этому уравнение (80.4) принимает следующий вид: с1я хьа=- — — -ь 2 — е -ьь Х1 Х1 (80.5) или с той же точностью 1дньа = — — -г2 — е и, Х, ьь Х Х (80.5а) 274 Ввиду того, что х, « й, последнее уравнение удобнее решать по методу последовательных приближений. В нулевом приближении имеем (80.6) В следующем приближении па к<О> к'," к, =- — — ' ь 2 — >-е-"Оо а а«о а«о (80.7а) а«о '>«о (80.76) где )<' 2>ао (1>о — яа">) йо — - « (80.
7в) соответствуют коэффициенты к"> О<-» 1> -1 к> е-она+о>А<- о 1 > <о> С<-> ( 1)а-1 1 е«оаА<-> А' '=А' '. О Величина коэффициента А', ' может быть найдена из условий нормировки. С помощью (80.9) волновая функция, соответствующая нижнему уровню энергии, может быть представлена в следующем виде: >у< >=А' 'з(пк'О>х, 1 1 1 к<О> >у<-> ( 1)а-1А<-> к1 (Е-оо<х-а> 1 а«О<а+ь-х>] (8() 10) «о Ч", ' = А,' ' з1 и к'," (2а+ Ь вЂ” х). Совершенно аналогично верхнему уровню энергии <7<<О> У'+> =. (Оо<" + 4- " е-ооо + а«о соответствуют коэффициенты к<о> О'+' = — ( — 1) ' е-1»< х МА+', «о 1 к<О> С<+> = ( — 1)а 1 1 е«О»А<+> "о А<+> А<+> О 1 (80.11) (80.
12) 1а» 275 2$К<О> Первые два члена в (80.7б) )1<а>>=-)Оо<'> — -- —" не зависят от Ь а«о и дают приближенные значения уровней энергии для частицы в изолированной потенциальной яме, изображенной на рис. 27. Последний член дает расщепление уровней энергии, обусловленное взаимодействием двух потенциальных ям. Найдем волновые функции„соответствующие расщепившимся уровням Нижнему уровню >Г><О> (80. 8) а«о и волновые функции Ч",+'=: Лам япх'"х, 1 1 и<о> Чи+1 ( 1)п-1А(+) 1 [е-ха(а-а) е — Йа(ач ь-х)] 0 1 Ч'," ' = — А',+' я и к,'+' (2а 1- Ь вЂ” х).
(80.13) Волновые функции Ч" ' и Ч"+' для состояния п = 1 изображены на рис. 65. Из рис. 65 и формул (80.10) и (80.13) видно, что функция ь Ч" ' симметрична относительно точки х == а+ —, а функция Чи ' антисимметрична относительно той же точки. То, что волновые функции должны обла- 9'" У'' дать определенной симметрией относительно 6 точки х =- а+ —, сле- 2 ' гс 6 дует из симметрии пои ад ао а а,д ? д ф тенциальногополя.вкотором движется частица относительно этой точки. Резюмируя, можно Рис. 66 сказать, что благодаря наличию двух потенциальных ям уровни энергии электрона расщепляются. Энергия Р' ' электрона в состояниях с антисимметричной волновой функцией повышается, а в состояниях с симметричной волновой функцией У"' понижается.
Это заключение имеет общий характер, оно справедливо для потенциальных ям любой формы. Величина расщепления зависит от расстояния между ямами: с увеличением расстояния величина расщепления уменьшается, стремясь а + — — — — + Рис. 67 Рис. 66 к нулю при бесконечном расстоянии между ямами, как это изображено на рис. 66. Свойство расщепления уровней при наличии ряда потенциальных ям играет очень большую роль в зонной теории твердых тел, о которой будет говориться в следующей главе.
Здесь 276 зо Рис. оо (80.14а) (80.! 4б) мы заметим лишь, что если бы вместо двух ям было три, то каждый из уровней расщепился бы на три подуровня. Вообще при наличии Ь7 ям каждый из уровней расщепляется на Л/ подуровней. Эю утверждение будет использовано при рассмотрении зонной теории твердых тел. Представим себе два положительных точечных заряда, находящихся на расстоянии Ь друг от друга, и электрон, движущийся в поле этих зарядов. Электрон движется в двух потенциальных ямах, создаваемых положительными зарядами, как »ле з это изображено на рис.
67. Можно себе представить, ! и лал что эти два положительных заряда являются протонами. Тогда рассматриваемая модель представляет ион молекулы водорода. Хотя х,, и(» гг(п) в данном случае потенци- пм альные ямы не прямоугольные, общие результаты„ О д полученные для двух прямоугольных ям, остаются справедливыми.
Энергию электрона в некотором состоянии при бесконечном расстоянии между ядрами обозначим через К (п). При конечном пасстоянии между ядрами этот уровень расщепляется на два: ))7+' (и, Ь)— энергия электрона в состоянии, описываемом симметричной волновой функцией, и )Р' '(и, Ь) — энергия электрона в состоянии, описываемом антисимметричной волновой функцией. Зависимость )Г'+'(и, Ь) и )Р' '(и, Ь) от расстояния Ь имеет вид, показанный на рис. 66. Ясно, что при бесконечном расстоянии имеет место равенство К"'(и, со) =- К' '(и, оо) = И(п). Полная энергия системы равняется энергии взаимодействия отталкивающихся положительных зарядов ядер и энергии электрона: Поведение полной энергии в зависимости от расстояния Ь для симметричной и антисимметричной волновых функций электрона показано на рис. 68.
При уменьшении расстояния между ядрами в случае антисимметричных волновых функций полная энергия возрастает. Это означает, что для сближения ядер надо затратить энергию извне. Следовательно, в этом случае действуют силы отталкивания, препятствующие сближению ядер. Поскольку пол- 277 ная энергия при сближении ядер возрастает более быстро, чем энергия еЧ4пе Ь взаимодействия ядер при отсутствии электрона, можно сказать, что наличие электрона с антисимметричной волновой функцией увеличивает силы отталкивания между ядрами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
