Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 26
Текст из файла (страница 26)
По- 2' 'А 2 1 этому отношение вероятностей первого состояния (состояния стати- стического равновесия) к вероятности второго состояния равно гв г (если И велико). Таким образом, подавляюще большую часть времени наблюдения газ заполняет равномерно весь сосуд. Для того чтобы можно было заметить отклонение от этого состояния, необходимо наблюдать за газом очень большой промежуток времени. С другой стороны, если эти наблюдения проводятся достаточно долго, то должны обязательно наблюдаться отклонения от состояния статистического равновесия.
При этих отклонениях все величины будут испытывать отклонения от своих средних значений. Подобные процессы, неиз- бежно происходящие во всех статистических системах, получили на- звание флуктуационных нроцессов или, коротко, флуктуаций, Ясно, что чем меньше величина флуктуаций, т. е. чем меньше отклонения системы от ев наиболее вероятного состояния, тем чаще такие флук- туации происходят, тем больше их вероятность. Напротив, веро- ятность больших флуктуаций чрезвычайно мала. В приведвнном 1 нами примере она равна †,, В дальнейшем мы Вернемся к вопросу о флуктуациях и получим выражение для вероятности данной флук- туации, 120 [гл. щ статистическое Рйспявдвланив Предположим теперь, что замкнутая макроскопическая система первоначально находилась не в состоянии статистического равновесия, а в одном из маловероятных состояний. В это состояние она могла попасть, например, в результате внешнего воздействия, которое затем устраняется, так что система становится замкнутой.
Предположим, например, что наш газ занимает половину объема сосуда,— 2 (благодаря сжатию поршнем, который затем был убран, и газ в сосуде был предоставлен самому себе). Тогда, если подождать достаточно долго, система должна будет неизбежно прийти з состояние статистического равновесия. Действительно, мы говорили, что состояние сложной системы не зависит от ей начального состояния. Поэтому, если время наблюдения достаточно велико, то подавляюще ббльшую часть времени наблюдения система проводит в состоянии статистического равновесия, неаависимо от того, в каком состоянии она находилась в начальный момент. По прошествии некоторого промежутка времени, носящего название времени релаксации -., система, первоначально находившаяся в неравновесном, маловероятном состоянии, переходит в наиболее вероятное, равновесное состояние.
На вопрос о том, как именно произойдйт этот переход и какое для него требуется время, в общем случае ответить невозможно. Процессы, протекающие при этом в системе, аависят от природы системы и характера отклонения ей от равновесного состояния. Например, в случае газа, сжатого до половины объема сосуда, переход в состояние статистического равновесия будет состоять в распространении газа по всему доступному объему. Механизм этого процесса сведйтся к появлению ди~Яузионных или конеектиеных потоков. Если же отклонение от состояния равновесия в том же газе будет состоять в том, что часть газа получит избыточное количество движения по отношению к остальному газу, то установление равновесия будет происходить путем передачи количества движения от одних слоев газа к другим с помощью вязкого трения.
Как мы увидим в дальнейшем, времена релаксации различных процессов установления равновесия могут варьировать в необычайно широких пределах. Всй это делает изучение процессов установления равновесия в системах, первоначально не находившихся в состоянии равновесия, весьма сложным и требующим каждый раз выяснения конкретного характера и скорости протекания соответствующих процессов. Это — задача специального раздела физики, именуемого еризичеекой кинетикой.
Во всяком, случае, не вдаваясь в конкретный механизм процесса установления статистического равновесия, можно утверждать, что замкнутая система, состоящая из весьма большого числа частиц и находившаяся первоначально в некотором не наиболее вероятном состоянии, по прошествии времени релаксации перейдйт в наиболее вероятное состояние.
Таким образом, из общих положений статисти- $251 121 злдлчи к ГлАВе !у (25, 1) + тая»аз. Это означает, что изолированная система, первоначально не находившаяся в состоянии статистического равновесия, будет переходить в это состояние, последовательно переходя от менее вероятных к более вероятным состояниям. Таким образом, соотношение (25,1) указывает, в каком направлении будут протекать «естественные» процессы в изолированной системе: предоставленная самой себе, макроскопическая система будет переходить из менее вероятных состояний а более вероятные.
В следующей главе будет показано, что это утверждение является основой теории тепловых свойств макроскопических тел — статистической термодинамики. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1Ч 32. При выводе распределения Гиббса (20,11) из формулы (20,5) не де- лалось каких-либо конкретных предположений о свойствах термостата, Можно, однако, получить тот же результат, если считать, что термостат представляет собой физическую систему с известными свойствами. При этом, рассматривая различные термостаты, можно убедиться, что окончательный результат — распределение Гиббса — действительно не зависит от выбора термостата, В качестве термостата можно рассмотреть: а) совокупность гУ частиц идеального газа и б) М независимых линейных осцилляторов. Вывести распределение Гиббса из общей формулы микроканонического распределения (20,5) для этих моделей термостата.
При выводе считать, что Е Еэ 3 числа уч-»со, но так, что отношение — см — = — 0 остаатся постоянным. А1 У 2 Решение. Случай а). Число состояний с данной энергией Еа тер- мостата — совокупности молекул идеального газа с помощью формулы (24,9) можно написать в виде эм зн '— -1 — -1 Я(Е») = сопл!. Еа = Сонэк(Š— Ч) Поэтому зн эн — -1 зн — -1 — — 1/ сопз1.(Š— «г) Я(вг)мсопз!.
Е э (1 — Е ~ Я(«г) = зн — 1 зи = сонэк Е ~! — ~~~~) Я (аг). к пределу й1-»со, находим: Переходя ( 3агт') шг = сопз1. Я («д Нш н -ь с» ан — -г величина Е , не зависящая Прн этом от еп включена в постоянн)ю ческой физики следует, что в замкнутой системе, предоставленной самой себе, происходит самопроизвольный переход из состояний с меньшей вероятностью в состояние с большей вероятностью, так что 122 [гл. пг СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕИИЕ нормироввнпя. Известно, однако, что Дш (1 — ) =-", еПозто 44 шг лоопа!. е и (4,). о, Случай б). Для одного тинейного осциллятора из (3,13) следует: О Е т Для системы осцилляторов (Š— 44) О(ЕО) = О(Š— ог) = 4 Ход дальнейших вычислений совпадает со случаем а).
33. Показать, что для системы с весьма большим числом частиц имеет место равенство 44~ ~(4)'я, где ш — л4обое число. Р е ш е н и е. 0 О4осительная флуктуация энергии У оз — (4)ь ! от -ь О при Аà — ь:ъл у'У таК ЧтО Отж(4)З При АГ-ьо.-. Аналог44чио ' — (оз)з доз= — ьО при Ф-ьод так что 44-(от)2~ (4)4 н гак далее. 34. Показать, ыо лля систел4ы с весьма большим числолт часшщ имеет место равенство е* = ее. Р е ш е н и е. Разлагая указанные вырамения в ряды, имеем: хз 1 / — (хР (х) 4 ея — ея = (1+ х+ — + ...) — (1+ х + — + — + ...) = 2 ''') 2 41 1 1 2 = — (х' — (ху')+ 4(" — (х)')+" О пр А( 24 Зб.
Доказать равенство 86. Найти число состояний с данной энергией для частиц газа, для которых энергия связана с импульсом соотношением о = ср,где с — постоянная. Р е ш е н и е. 4я(г,рт 4я(,43 3 Зс" 4г. (гоз Р (4) ~уо = —. 44'4. сада ГЛАВА Ч СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА й 26. Первое и второе начала феноменологической термодинамики и основная задача статистической термодинамики. Энергия макроскопической системы Как мы указывали уже в начале книги, наука о теплоте в течение длительного промежутка времени развивалась вне связи с молекулярной теорией.
К началу Х!Х века развитие техники и повсеместное распространение паровых машин настоятельно потребовали установления общих закоиомернос1ей тепловых процессов, которые могли бы быть положены в основу расчвта тепловых машин. Между тем молекулярная теория тепла находилась ещв на слишком низком уровне развития для того, чтобы на ее основе можно было сделать какие- либо практические выводы.
Возникшую ситуацию Ф. Энгельс охарактеризовал словами: «...практика по-своему решила вопрос об отношениях между механическим движением и теплотой: она сперва превратила первое во вторую, а затем вторую в первое. А как обстояло дело с теорией"г Довольно печально. Хотя именно в ХЧП и ХЧ!П веках бесчисленные описания путешествий кишели рассказами о диких народах, ие знавших другого способа получения огня, кроме трения, но фивики этим почти совершенно не интересовались; с таким же равнодушием относились они в течение всего ХЧ1П и первых десятилетий Х1Х века к паровой машине.
В большинстве случаев сни ограничивались простым регистрированием фактов. Наконец, в двадцатых годах 1Х!Х века) Сади Карно занялся этим вопросом и разработал его очень искусным образом...» (Диалектика природы, Госполитиздат, М., 1952 г., стр. 81). Эти работы Карно, а также открытое несколько позднее существование механического эквивалента тепла позволили установить и облечь в количественную форму основы феноменологической теории тепла, получившей название термодинамики. В основу этой наукч были положены не представления молекулярной теории, но накопленные на практике весьма многочисленные факты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
