Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Аналогично для среднего значения любой величины Е можно написать: Х = ~ Е. (в,) ш (в;) — — Е (в„, ), (22,2) т. е. состояние с а = е„„„осуществляется с вероятностью чв (в„,„,) — 1, а вероятность нахождения в остальных состояниях с з Ф а„„, близка к нулю. Среднее значение всех величин будет близко к их наиболее вероятному значению. Это относится, в частности, и к энергии системы в — е„,„,. Такой результат находится в полном согласии с общими выводами о свойствах систем, содержащих большое число частиц, сделанными в 9 9. ф 23.
Переход к классической статистике В большинстве случаев нам придатся иметь дело с системаии, у которых уровни энергии настолько сближаются между собой, что их можно считать непрерывно распределенными, Тогда совокупность дискретно изменяющихся уровней вы з, , в,, ... можно заменить непрерывной функцией в. Иными словами, от квантового описания системы мы перейдем к квазиклассическому в том смысле, как это ким, чем круче растит Я(в;), т. е. чем больше частиц в системе. На том же примере мы увидим, что если система является макроскопической, так что в нзй содержится огромное число частиц, то степень размытости максимума совершенно ничтожна.
Он является столь резким, что ивобразить графически без искажения масштаба распределение Гиббса не представляется возможным. Это означает, что вероятность нахождения системы в состояниях с энергией, заметно отличающейся от энергии а„„„, отвечающей максимуму распределения Гиббса, совершенно ничтожна (рис. 15). Подавляюще ббльшую часть времени наблюдения система проводит в состояниях с энергией, весьма близкой к последней.
Состояние, отвечающее максимуму распределения Гиббса, является наиболсв вероятным. Наиболее вероятное состояние будет вносить основную долю в среднее значение величин, характеризующих систему (например, энергии). Это следует из самого определения понятия среднего; в величину среднего каждое состояние вносит долю, пропорциональную своей вероятности.
Поэтомув случае макроскопической системы функция состояний Л может быть представлена в виде ° с ~мвв~ Я=~в з И(в,) — в в я(в„,„,), статистическая гаспгвдвлвиие (гл. пг было поясиеио в й 3. Из распределения Гиббса вытекает, что для 'с замены ступенчатой функции е ' плавной функцией е ' необходимо, чтобы размеры ступенек, т. е. расстояния между уровнями Ье;=в;+ч — ео были малы по сравнению со значением 0. Таким образом, переход к квазиклассической статистике должеи наступать при прочих равных условиях в области высоких температур. К последнему утверждению мы будем неоднократно возвращаться в дальиейшем и проиллюстрируем его иа ряде конкретных примеров.
Здесь мы приведем лишь два случая, когда переход к квазиклассическому способу описания движения является очевидным. Из сказанного в й 3 следует, что поступательное движение в достаточио большом обьвме всегда можно считать квазиклассическим, а уровни энергии такого движения — слившимися и образующими сплошной спектр. Поэтому при рассмотрении поступательного движения системы (иапример, частиц газа, заключ6ииого в достаточно большой сосуд) можно пользоваться классическим приближением.
Далее, в $ 5 мы подчеркнули, что с увеличением размеров системы расстояние между уровнями уменьшается. Это сближение приводит к тому, что у всякой макроскопической системы спектр энергий можно считать практически непрерывным, по крайней мере при ие слишком низких температурах. Поэтому всякая макроскопическая система может рассматриваться квазиклассическим образом, с помощью уравнений классической механики. Приведбииые примеры показывают, что применение классического способа рассмотрения является очень важным и часто встречается иа практике. Статистическая физика систем, подчиняющихся классической механике, называется классической статистикой.
Найдбм распределение Гиббса в случае классической статистики. В классической механике состояние системы характеризуется положением е6 изобразительной точки в пространстве 6М измерений (где М вЂ” число частиц в системе). При квазиклассическом рассмотрении системы с ЗМ степенями свободы иа е6 возможные состояния иалагаются такие ограничения, что минимальный размер ячеек в фазовом пространстве составляет И зн В остальном же е6 движение можно рассматривать классическим образом, приписывая траекторию каждой частице и считая все величины непрерывно изменяющимися. В классическом приближении мы должны заменить дискретный набор вероятностей различных состояний непрерывным распределением.
Состояние системы, состоящей из М частиц и имеющей ЗМ степеней свободы, в квазиклассическом приближении определяется значением координат о,, о,, ..., овн и импульсов р„.. „р„н. Энергия системы в(р,, д,) выражается как непрерывная функция всех коор- Ь 2~3! ПЕРЕ)ГОД К КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ динат и импульсов. Распределение Гиббса характеризует вероятность нахождения квазизамкнутой подсистемы в состоянии с данной энер.
гней. Поскольку, однако, энергия системы в квазиклассическом приближении может считаться непрерывной функцией состояния, мы всегда будем говорить о непрерывном распределении вероятностей того, что система находится в одном из состояний с энергией, лежащей между з(р, д) и а(р, д)+дз(р, и). Согласно формуле (4,3) число дГ гЬ таких состояний равно Ю= — —. а Ьзл Тогда распределение Гиббса можно написать в виде ° ~~>, ю е ' дГ дз гМ = дз Яз" ' (23, 1) где г(тв — вероятность того, что система находится в одном нз состояний с энергией между з и з + Нз (поскольку г(з †бесконеч малая величина, г(а †так бесконечно мала). Экспоненциальная функция быстро убывает с ростом з, а мнод1' житель — быстро возрастает, так что распределение Гиббса имеет резкий максимум при некотором значении энергии.
Величина с, представляющая функцию состояний системы, может быть согласно (20,14) написана в виде 1 ~ — — г(з ° (Р,В дГ Лзп ~ (23,2) г(Г =др дрвг1р,йхйуйг Отличие (23,2) от (20„14) состоит лишь в том, что сумма по состояниям заменена здесь интегралом по всем состояниям. Интегрирование в (23,2) ведйтся по всему фазовому пространству, доступному для системы, т. е. по всем дозволенным значениям координат и импульсоз системЬК Какие именно значения координат и импульсов являются дозволенными, зависит от конкретных свойств системы и условий, в которых она находится. Поэтому пределы интегрирования в (23,2) мы не указываем.
В каждом конкретном случае определение этих пределов не представляет труда и будет проделано ниже. Самое вычисление интеграла является несравненно более трудной задачей и будет нами проделано в дальнейшем лишь для простейших случаев. Рассмотрим, в частности, случай, когда квазизамкнутой подсистемой является отдельная молекула в идеальном газе. При этом энергия подсистемы з(р, д) представляет энергию этой молекулы.
Наша подсистема при М= 1 будет иметь три степени свободы. Соответственно ее фазовое пространство будет шестимерным. Элемент фазового обьема ИГ будет иметь вид (гл. ш СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ или в сферических координатах для импульсов, заменяя для краткости ввх вгусва элементом объвма Н~: в(Г=рэг(р Е1п 6 вГбйрЙЧ. Если внешнее поле сил отсутствует, то энергия молекулы сводится к ей кинетической энергии, рэ э(р, в))=2 —, и не зависит от направления ев движения (углов 0 и ча) и положения в сосуде. Поэтому энергии, лежащей в интервале между э и а+авэ, отвечает число состояний, равное «э ~ з'" " ввч вГ7 = дэ р и аТв Вычисление — дает: агр вГв 4я1/т!а Ъ/2 лэ Таким образом, распределение Гиббса для одной молекулы имеет вид (23,3) а — — л'Г 4яУт" ,=1е э = ' 1, э У2.,4э= лэ лэ о 4ЕТатво /яаэ /2вта~ Л Ьэ $/ 2 в, Лэ ) (23,4) Поэтому вате= =е э Р~эввэ.
)/ яаэ (23,5) Сравнение (23,3) с распределением Максвелла по энергиям (14,3) убеждает нас в их совпадении, если только отождествить статистическую температуру 0 с величиной )эТ. Подчеркнем, что абсолютная температура, фигурирующая в распределении Максвелла, относится не к отдельной молекуле (подсистеме)„но ко всему газу (термостату). В й 28 мы покажем, что эта связь между 8 и Т имеет общий характер.
На первый взгляд может показаться, что постоянная нормирования в распределении Максвелла отличается от постоянной нормирования в (23,3). В частности, она не содержит постоянной Планка л. В действительности, однако, это не так. Чтобы убедиться в этом, напишем явное выражение для я. Имеем, очевидно, для функции состояний отдельной молекулы э 23! нказход к классичзской статистика 113 Таким образом, постоянная Планка исчезает из распределения, и константы в (23,5) и (14,3) совпадают.
Как мы подчЕркивали в предыдущем параграфе, распределенле Гиббса имеет весьма резкий максимум при некотором значении энергии. Это утверждение на первый взгляд противоречит пологому максимуму распределения Максвелла. Нужно, однако, иметь в виду, что резкий максимум в распределении Гиббса возникает в результате конкуренции экспоненциально в! убываюгдего множителя ехр~ — — ) и растущего множителя ь1(з). Поз) следний растйт как е я или как в' в случае М= 1. Поэтому при М '«~1 величина — раствт быстро и возникает резкий максимум, лгл Рй а при М= 1 она растйт сравнительно медленно и максимум у распределения оказывается пологим. Часто в классической статистике нужно найти вероятность того, что система находится в одном из состояний, в котором импульсы и координаты системы заключены в интервалах р„ р, +Фрб р р + "ря' ' рх ран+ "рак' Р! Ь+ "гает' ч' ч +па ' Р1вк, ~узн+г(дзк.
Иначе говоря, ищется вероятносгь того, что изображающая точка системы находится в элементе фазового объема г(Г, Число состояний системы, отвечающих объвму с(Г, равно, очевидно, Ж' дяк ' — Поэтому вероятность Фтв того, что система находится в состоянии со значениями координат и импульсов, лежащими в интервале НГ, равна 1 — — ' РР!' Рбъ Я) йа = — е 2' 1 з»' В частности, вместо (23,3) имеем: «Ж. Ф РР РР РР,~~ дз (23,6) 'РРРР Л=е ь —,~=а Т вЂ” ДГ -- ДГ А~ лзл где Ьà — объйм той области фазового пространства, которая соот.
В Зак $623. В Г. ЛевРРР т. е. распределение Максвелла по импульсам. Если квазиклассическая подсистема содержит очень большое число частиц, то интеграл по состояниям, фигурирующий в формуле (23,2), имеет весьма резкий максимум при значении энергии е,„„Р— е, т. е. з области состояний, отвечающих статистическому равновесию системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
