Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Подставляя (20,11) в (20,!2), находим: сопя!. = —— 'с ч~~~ ~е я (ег) Поэтому распределению вероятностей можно придать окончательный вид: 0 ('г) (20,13) ~' е й (аг) Распр гделеииз (20, ! 3) является искомым распределением и послужит основой для всего дальнейшего изложения. Оно было впервые найдено Гиббсом в 1901 году для систем, подчиняющихся законам $201 105 Рьспвядвлвниз ГЯББсА классической механики.
Это распределение получило название распределения Гиббса или канонического распределения. Переход от квантовых систем, обладающих дискре1ним набором уровней энергии, к классическим системам не представляет труда и будет сделан з одном из следующих параграфов. Входящая в распределение Гиббса величина 9 получила название модуля распределения или статистической температуры. Распределение Гиббса описывает распределение всроятностей различных состояний подсистемы, составляющей малую квазинвзависимую часть произвольной системы, находящейся в состоянии статистического равновесия.
Подчеркнем, что если система не находится в состоянии равновесия, то все предыдущие рассуждения теряют силу. В неравновесной системе неприменим принцип равной вероятности состояний с данной энергией. Если подсистема не находится в состоянии равновесия, то распределение вероятностей состояний изменяется со временем, причем закон этого изменения зависит от конкретных физических свойств системы и внешних условий.
а» Сумма ~~Р~е ь Я(в;), стоящая в знаменателе (20,13), будет играть большую роль в дальнейшем. Мы введем для ней специальное обо- значение $» Л=,~~е " Я(в») (20,14) и назовем ев функиией состояний, поскольку все состояния системы вносят в ней свой вклад. В литературе она обычно именуется суммой по состояниям, статкстической суммой или функцией распределения. Однако эта терминология кажется нам не совсем удачной. С введением функции состояний распределение Гиббса можно записать в виде $» ! то»= — ° е ь Я(в»).
у'' (20,15) Распределение Гиббса для какой-либо конкретной физической системы можно считать известным, если известны уровни энергии системы, т. е. возможные значения энергии во и кратность вырождения состояний системы, т. е. числа различных состояний Я (в»), отвечающих данному значению энергии в». Лля ряда систем, которые будут рассмотрены ниже, можно найти эти физические характеристики. Замечательной особенностью распределения Гиббса является то, что в нем никак не фигурирует механизм взаимодействия подсистемы со средой. При помощи распределения Гиббса можно вычислить среднее значение любой величины, зависящей от состояния системы. Если 106 [гл.
ш стлтистичвсков илспгвдвлвние Е(ь,) — значение некоторой физической величины для состояний, отвечающих энергии зо то по общим законам нахождения среднего значения можно написать: ,)'.~ й (Ы) е 0 (в;) (20, 16) а~ 'ч~~~е ь о (еь) $ 2!. Статистическая температура Рассмотрим прежде всего свойства введвнного нами модуля распределения 0. Из самого определения его следует, что он характеризует свойства всего собрания систем — термостата, а не выделенной нами подсистемы. Действительно, в формуле (20,9) фигурируют только величины, относящиеся ко всему собранию подсистем,— его энергия Е н функция а, значение которой бератся при и; = О, так что а = в(Е). Поэтому модуль 0 всегда относится к макроскопической системе и является функцией состояния этой системы.
Прн изменении состояния, в частности, энергии всей системы изменяется модуль распределения 0. Поскольку функция в, определанная по формуле (20,8) и представляющая логарифм числа состояний с данной энергией, является однозначной функцией состояния (энергии) системы, 0 танлсе является однозначной сдуннцией энергии или состояния системы. Далее, модуле распределения 0 является величиной существенно положительной. Действительно, вероятность состояния с данной энергией з; должна уменьшаться с ростом энергии. Если бы это было не так, условие нормировки (20,12) не смогло бы выполняться. физически также ясно, что чем больше энергии должна получить система от термостата для того, чтобы попасть в состояние с данной энергией, тем менее вероятным является это состояние, т.
е. тв; всегда убывает с ростом е,. Из вида распределения Гиббса следует, что такой ход тв; с энергией е; имеет место лишь в том случае, когда 0 — величина существенно положительная. Согласно сказанному 0 может относиться только к макроскопической системе и является существенно положительной однозначной функцией ев состояния. Покажем, что модуль распределения является характеристикой состояния равновесия в системе.
Для этого рассмотрим две подсистемы, принадлежащие к разным системам, имеющим модули распределения 0г и 0з. Каждую из подсистем будем считать находящейся в состоянии статистического равновесия, так 187 0 211 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА что вероятности их состояний определяются формулой (20,11): ч е чез= Аае а- Я,. Предположим, что обе подсистемы приводятся в слабое взаимодействие, так что между ними может происходить обмен энергией. Обе взаимодействующие подсистемы можно считать одной объединйнной подсистемой. Если последняя оказывается в состоянии статистического равновесия, то распределение вероятностей ев состояний также должно описываться законом вида Те= Ае а Я.
(21,1) С другой стороны, поскольку взаимодействие является слабым, энергией взаимодействия можно пренебречь и считать каждую из подсистем квазинезависимой. Тогда для нахождения распределения вероятностей сложной системы можно воспользоваться теоремой умножения и написать: (21,2) че=ачте = А А е з е з ЯЯа. 1(ля того чтобы распределение (21,2) тождественно совпадало с (21,1), необходимо, чтобы 8 =8 =8. Таким образом, если привести во взаимодействие две равновесные подсистемы с равными модулями Оа —— Нгн то получится объединйнная равновесная система с тем же модулем Н = Нт = О.. Если бы 0 было отлично от Оел то при установлении взаимодействия возникла бы система с распределением вероятностей, выражаемым формулой (21,2).
Это распределение не является распределением Гиббса для системы с энергией а= а„ + аз Поэтому образовавшаяся при О, Ф Оэ система будет системой, не находящейся в состоянии равновесия. Равновесное состояние не нарушается при установлении взаимодействия между подсистемами, если их модули Оз и Оя равны между собой, и нарушается, если ОА Ф Оз. Таким образом, модуль распределения является существенно положительной величиной, однозначной функцией состояния, характеризующей состояние равновесия в системе. При приведении двух тел, находящихся в тепловом равновесии, во взаимодействие, тепловое равновесие не нарушается при От — — Оэ и нарушается при О, чь О,.
Величина 8 получила название статистической температуры. В том случае, когда подсистема содержит настолько большое число частиц, что ев можно считать макроскопической, можно также говорить о ев собственной статистической температуре. (гл. ш ГВВ стьтистичаскоз алспввдилвнив Температура ев определяется из условия равновесия подсистемы и термостата и, следовательно, равна температуре последнего.
Для краткости можно поэтому называть 0 температурой системы. Само собой разумеется, что если квазизамкнутая подсистема содержит недостаточно большое число частиц, то понятие ее температуры становится приближенным и в случае подсистемы — единичной молекулы идеального газа теряет смысл. Значение статистической температуры определяется по формуле (20,9) и зависит от энергии системы. Найти вид этой зависимости в общем случае невозможно, так как она определяется конкретными свойствами системы. На практике, однако, интересуются не зависимостью 0 от Е, а обратной зависимостью энергии от температуры Е = Е(0).
В дальнейшем мы покажем, что энергия является монотонной функцией температуры (см. 0 63). Конкретный вид зависимости энергии от температуры 0 будет нами найден для некоторых простейших систем (газ, идеальный кристалл и т. д ). ф 22. Свойства распределения Гиббса Распределение Гиббса характеризует распределение вероятностей различных состояний квазизамкнутой системы. Условием применимости распределения Гиббса служит выполнение следующих требований: 1) наличие некоторой макроскопической системы, составляюигей окружение рассматриваемой системы (термастат); 2) наличие слабого взаимодействия между системой и термостатом.
В остальном свойства системы являются совершенно произвольными. Распределение Гиббса, так же как и распределение Максвелла по энергиям, имеет максимум при некотором значении энергии. На первый взгляд существование этого максимума не очевидно: в распределении Гиббса фигурирует экспоненциально убывающий множи° г тель е Нужно, однако, помнить, что число состояний с данной энергией Я (в,) быстро растет с энергией системы. Чем больше частиц содержит система, тем больше состояний Я (в,) отвечает данному значению интервала энергии во в; + 0во Поэтому рост Я (в;) с энергией происходит тем быстрее, чем больше частиц в системе. Как будет, например, показано в в 24, если подсистемой является газ, состоящий из М независимых одноатомных молекул, заключенный вк в сосуд с постоянной температурой (термастат), то Я(в) вв.
Произведение двух функций, — быстро убывающей и быстро возрастающей с энергией, приводит к возникновению у распределения Гиббса резкого максимума. Этот максимум является тем более рез- пяяаход к классической статистика й 231 109 Рис. !5 где в сумме по состояниям оставлен только один, самый большой член, относящийся к наиболее вероятной энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
