Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 22
Текст из файла (страница 22)
9 20, Распределение Гиббса Поставим теперь перед собой вопрос о том, какова вероятность го, найти нашу систему в состояниях с энергией, заключенной между в; и вг+ йв, (где ьвг(( гг и индекс 1 пробегает ряд значений 1, 2, 3, ...). Каждому значению энергии з; отвечает некоторая группа Я(в,) квантовых состояний. Рассмотрим прежде всего случай замкнутой системы, которая не взаимодействует с окружающими телами. В действительности в природе не может существовать совершенно замкнутых систем. Какова бы ни была физическая природа системы, сна всегда, хотя бы и очень слабо, взаимодействует с окружающими ее телами.
В квантовой механике показывается, что система может иметь строго постоянную энергию только тогда, когда она находится в основном состоянии (что для макроскопической системы отвечает состоянию при абсолютном нуле). Под замкнутой системой мы поэтому условно будем понимать такую систему, энергия которой за все время наблюдения остается заключенной в заданных узких пределах ого Поскольку все состояния с данной энергией равновероятны, вероятность того, что замкнутая система находится в одном из состояний с данной энергией, будет просто пропорциональна числу состояний с данной энергией го (в,) Я (г;).
(20,1) Формула (20,1) получила название микроканонического распределения Гиббса. Микроканоническое распределение показывает, что вероятность нахождения замкнутой системы в одном из состояний с данной энергией пропорциональна кратности его вырождения. Рассмотрим теперь более важный и общий случай подсистемы, находящейся в термостате, $201 (0( РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА Подсистема и термостат вместе образуют замкнутую систему, энергия которой (со сделанной выше оговоркой) может считаться постоянной: Е = сопзС Нас интересует, однако, не распределение вероятностей для сложной системы, а распределение вероятностей для подсистемы (при любом распределении вероятностей для термостата).
Для нахождения его необходимо учесть своеобразный характер взаимодействия между подсистемой и термостатом. Кзк было указано выше, это взаимодействие является слабым, так что энергией взаимодействия в полном энергетическом балансе можно пренебречь, написав последний в виде Е = ЕА + г» = почти постоянная, »о) (20,2) где ЕА †энерг термостата, находящегося в Й-м состоянии, »г) 㻠— энергия подсистемы, находящейся в»-м состоянии и слова «почти постоянная» подчвркивают тот факт, что в законе сохранения энергии (20,2) опушены члены, выражающие взаимодействие между подсистемой и термостатом, а также между сложной системой и окружающими телами.
Пренебрежение энергией взаимодействия между системой и термостатом означает, что мы можем считать квазизамкнутую систему и термостат независимыми системами в течение подавляюще большой части времени. Подсистема может находиться в любом из ь)(г») состояний с энергией г», а теРмостат — в любом из ь»г(еь ) состоЯний с энеРгией еь . »г> »г> Изменение состояния подсистемы никак не влияет на состояние термостата и, наоборот, изменение состояния термостата не влияет на состояние системы, если указанные переходы не выводят систему из группы состояний с энергией го а термостат соответственно из состояний с энергией Е'А. С другой стороны, в силу закона сохранения энергии (20,2) энергии термостата и подсистемы однозначно связаны между собой.
Если система обладает энергией гь то термостат обязательно имеет энергию Е~,.~. После всех этих замечаний мы можем перейти к нахождению интересуюшей нас вероятности того, что подсистема находится в одном из состояний с энергией гь В силу последнего замечания эта вероятность равна вероятности того, что сложная система (подсистема + термостат) находится в таком состоянии, когда подсистема имеет энергию го а термостат †энергию Е»г"».
Обозначим последнюю вероятность через а»н Поскольку гв» есть вероятность данного состояния замкнутой системы, она выражается 102 [гл. и стлтистичяскоя влспгвделвния через число состояний по формуле (20,1): тв~ Я (Е) = Я (Е~,~+ г~). (20,3) С другой стороны, число состояний замкнутой системы, состоящей из двух независимых частей, равно произведению числа состояний обеих частей, т.
е. Я(Еь + з') = Яо(Е еч) Я(з,). (20,4) При этом в выражении для числа состояний термостата Яо мы написали в качестве аргумента выражение Š— а, на основании (20,2). Подставляя (20,4) в (20,3), находим: я — Я (Š— з;)Я(з;) (20,5) При выводе (20,5) мы стремились оттенить особенность подсистемы, погруженной в среду: она должна считаться одновременно взаимодействующей и не взаимодействующей со средой.
Действительно, с энергетической точки зрения состояния системы и среды непосредственно связаны между собой. При данной энергии системы а; определена энергия термостата Е = Š— в;. Переход системы из одного энергетического состояния в другое может происходить только за сна получения от среды или передачи среде соответствующей разности энергий. С другой стороны, система может пребывать в любом состоянии, принадлежащем данной энергии а,, независимо от того, в каком из состояний с энергией Ез находится термостат. Переход системы из одного состояния с энергией е; в другое состояние с той же энергией (т. е. переход между вырожденными состояниями) совершается без изменения состояния термостата.
Весьма слабое взаимодействие между системой и средой служит причиной переходов системы из одного состояния в другое. Поскольку размеры термостата весьма велики по сравнению с размерами системы, мы можем считать, что его энергия Ео также весьма- велика по сравнению с энергией последней.
Поэтому, каковы бы ни были изменения энергии системы, энергию термостата можно считать почти неизменной. Все различные состояния, в которых оказывается термостат, когда система переходит из одних энергетических состояний в другие, можно считать принадлежащими к одной и той же энергии. Для того чтобы распределение вероятностей (20,5) приобрело конкретный характер, необходимо раскрыть зависимость Я (Š— е;) от энергии яо Это оказывается очень простым благодаря тому, что любые значения энергии малой (по сравнению с термостатом) системы е; весьма малы по сравнению с полной энергией Е всей сложной системы (подсистема + термостат). Благодаря этому мы можем разложить Яз(Š†' е,) в рял по степеням малой величины з, и ограничиться первым членом разложения.
$201 10З РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА Нужно, однако, заметить, что разлагать в ряд по степеням непосредственно саму функцию 11о(Š— в,) нельзя. Лействительно, мы знаем, что число состояний является мультипликативиой функцией, а энергия — аддитивной функцией.
Число состояний системы, составленной нз независимых частей, равно произведению числа состояний этих частей, а энергия равна сумме соответствующих энергий. Если бы мы разложили Яо(Š— вв) в ряд по степеням малой величины еь то мы получили бы выражение ~о(с ) = о(Е) дЕ дцв ь) (Š— в) =е ~л (20,7) где а(Š— е;) — новая функция аргумента (Š— е;). Такое представление всегда возможно, поскольку по самой своей природе число состояний — существенно положительная величина, значения которой заведомо не меньше единицы, Написав а(Š— е,) в виде а (Š— ев) = !п Яо\Š— в;), (20,8) мы видим, что а(Š— в;), подобно энергии, является аддитивной функцией. Разлагая а(Š— з;) в ряд по степеням малой величины е; и ограничиваясь первым членом, имеем: да ы а(Š— е ) — а(Е) — — ° ев — — а — —, з дЕ 0 где через В обозначена величина б (дЕ) (20,9) Тогда для Яо(Š— е,) находим: Яо (Š— е ) = е'в'е в ° (20,10) Нетрудно видеть, что (20,10) удовлетворяет указанному требованию мультипликативности Я при сложении энергий независимых систем.
Последнее выражение не обладает требуемыми свойствами. Если бы, например, мы рассмотрели две системы с числом состояний (ив> и Я,"> и энергиями (еп> — ЕЯ и ~еев — ЕЯ, то число состояний должно было бы равняться ьеом ° Я<;->, а энергия — (Е~0 — еввн+ +Е~ ~ — е~в 1 Между тем при перемножении левых частей разложения (20„6) правые части не складываются. Поэтому, прежде чем разлагать число состояний Яо(Š— з,) в ряд, представим его в виде [гл. ш 104 статистичвсков Рлспгздзлвннз Подставляя выражение (20,10) в (20,5), имеем: гв< — — сопя!. е ' Я(з;), (20,11) где через сопя!. обозначены коэффициент пропорциональности и величина еФ(е), не зависящие от значения вг и свойств подсистемы. Формула (20,11) определяет вероятность того, что некоторая система, представляющая малую слабо взаимодействующую часть некоторого собрания произвольных физических систем, будет находиться в одном из Я(з~) состояний с энергией, лежащей между е, и в~+йзв а термостат — в одном из состояний с энергией, лежащей между Š— з, и Š— (з,+йа,).
Поскольку состояние термостата н представляет интереса, для краткости мы будем говорить, что пь является вероятностью того, что подсистема находится в одном из состояний с энергией е,. Из определения вероятности вытекает, что должно иметь место следующее условие нормирования: (20,!2) где суммирование ведатся по всем воаможным квантовым состояниям системы.
Из условия нормирования и вида тз, сразу вытекает, что введаниый формально коэффициент й является существенно положительной величиной. Только в этом случае вероятность состояний сколь угодно больших энергий оказывается стремящейся к нулю, как это и должно быть по самому смыслу понятий физической вероятности и как это следует формально из условия нормирования. Постоянная в (20,!1) может быть найдена из условия нормирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
