Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики (1185131), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Температурная функция С(б) в уравнении (1Х, 4) зависит только от одной температуры — первое преимушество, обусловленное рассмотрением бесконечно малых квазистатических циклов Карно. Клапейрон не мог предвидеть второе преимущество от рассмотрения бесконечно малого квазистатического цикла Карно. А между тем только в этом случае не сказывается ошибка, связанная с представлением о вещественной природе теплоты. Только в этом случае Клапейрон мог получить правильные результаты. В бесконечно малом квазистатическом цикле Карно [г[а[ на бесконечно малую величину [грг)[ меньше, чем [41[.
Поэтому, если вычисления проводятся с точностью до бесконечно малых величин первого порядка (так их и проводил Клапейрон), то можно принять: [Ч [-[па[ Следовательно, прн этой точности вычислений можно принять, что все количество теплоты, взятое от нагревателя, отдается холодильнику. Клапейрон получил правильные результаты по той же причине, по какой получил правильные результаты Пуассон при рассмотрении вопроса об адиабатических изменениях в идеальных газах (глава УП) *. Коэффициент полезного действия бесконечно малого квазистатического цикла Карно дш/г)г [уравнение (1Х,4)) численно вполне определен, если физически определены температуры нагревателя и холодильника, т. е. если эти температуры определены состояниями нагревателя и холодильника.
Коэффициент полезного действия не может зависеть от того, каким термометром и по какой температурной шкале измеряются температуры. Но если отношение Фш/г[г определяется только состояниями нагревателя и холодильника, то только этими состояниями определяется и Ю/С(д). Однако в отдельности значения г[д и С(6) зависят от того, по какой температурной шкале измеряется температура. Клапейрон пользовался ртутно-стеклянным термометром со шкалой Цельсия.
Для этой шкалы он вычислил значения С(д) для различных температур; г(тг тогда равно Ж, и С(д) равно С(г). Расскажем теперь на языке современной термодинамики, как Клапейрон выполнил -эту задачу. Рабочим веществом в бесконечно малом квазистатическом цикле Карно служит идеальный газ. Диаграмма Р— [У (рис. 15) для этого случая превратится в бесконечно малый параллелограмм " Бертран первый объяснил, почему представление о вещественной природе теплоты не отразилось на правильности результатов бесконечно малого квази- статического цикла Карно 17[. !75 аЬсг! (рнс.
!6). Линии аЬ и сс( — изотермы, Ьс и гп! — адиабаты. На изотерме аЬ идеальный газ получает от нагревателя (отдает ему) бесконечно малое количество теплоты ~ бд1) (дд~ — бесконечно малая величина первого порядка). Бесконечно малое суммарное количество работы, совершаемой машиной (затрачиваемой над ней), равно площади бесконечно малого параллелограмма аЬсг(. Из геометрических соображений очевидно, что по сравнению с гтг)~ эта площадь — бесконечно малая величина второго порядка !стаи~. Поэтому коэффициент полезного действия рассматриваемого бесконечно малого квазистатического цикла Карно надо записать так: и'и ш (!Х,б) ж~, с (~) Ш, квазист.
(Температура измеряется по шкале Цельсия.) Согласно уравнению (т'П, 26), при изотермическом расширении идеального газа Нд, = Р о"и' Рис. 16. Диаграмма Р— гг бесконечно малого каазистатического цикла Карно, соаершаемого идеальным газом. Из этого же рисунка следует: от = Ьл В точках Ь и и идеальный газ имеет равные объемы, но разные температуры, отличающиеся на г(Г градусов Цельсия. Поэтому Ьл=(~~) Ш Тогда (а~) "'" Аналитические выкладки подтверждают сказанное ранее: количество работы — бесконечно малая величина второго порядка. !76 Процесс квазистатический, поэтому Р можно рассматривать и как давление газа на поршень, и как противодавление, оказываемое на поршень источником работы.
Задача заключается в открытии связей между свойствами системы. Поэтому под Р понимаем давление газа. Площадь параллелограмма аЬсг! равна площади параллелограмма аЬант, т. е. равна произведению длины отрезка ат на длину отрезка сс(3: Площадь аЬсг! = !Нии! = ат ш!! Из рис. !6 видно: ар = и'гг Подставляем значения г)г), (=Рй(7) и г(ви(=(дР~д!)гг(Ы(7) в уравнение (1Х,5); 3Р г' (31),ш~ гц, = Рлк = с(0 (Э, кввввва или Вычисление производной (дР(д!)и облегчается наличием уран. нения состояния (1Н, 8): 1 1 7дР! аа У с(1) Р ( ш )г !' а(1+ай (!Х,б) 1 — +! а По современным данным — = 273,15 1 а С (0 273,! 5 -1- !' С (1Х, ба) (1Х, бб] 12 Звк. 789 177 Клапейрон получил очень важный результат: если измерять температуру ртутно-стеклянным термометром со шкалой Цельсия, то функция Карно С(1) равна температуре по этой шкале плюс 278,15.
Если измерять температуру ртутно-стеклянным термометром со шкалой Цельсия, то уравнение состояния (1Н,8) соблюдается с большой степенью точности в интервале температур от 0 до 100 С (глава П). Поэтому уравнение (1Х,ба) тоже верно с большой степенью точнбсти в этом интервале температур. При более высоких температурах наблюдаются все возрастаюшие отклонения от уравнения (1Н,8) и, следовательно, от уравнения (1Х,ба). Для вычисления значения С(!) при температурах выше !00'С определяют давление (идеального) газа при постоянном объеме как функцию от температуры. Ее измеряют ртутно-стеклянным термометром со шкалой Цельсия. Затем графическими или аналитическими методами находят значение производной (дР)д!) „.
Наличие уравнения состояния только облегчает вычисление С(!) и приводит к аналитической зависимости этой величины от й Будем теперь измерять температуру газовым термометром постоянного объема (глава П). Согласно допушению (П,11) Из уравнения (1Х,б) тогда следует: С(Т) = Т Функция Карно равна температуре, измеряемой газовым термометром постоянного объема. Уравнение ([Х, бб) соблюдается при всех температурах.
По этой причине мы в дальнейшем будем измерять температуру газовым термометром постоянного объема. Дюлонг и Пти получили бы удовлетворение от успеха их предсказания (глава П). К уравнению ([Х,бб) должно привести рассмотрение бесконечно малого квазистатического цикла, когда рабочим веществом служит любая система. Если температуру измерять газовым термометром постоянного объема, то всегда — — (1Х, 7) атге г17 вд, т ©, квазист.
Рис. 17. Диаграмма Р— $' бесконечно малого квазистатического цикла Карно, когда рабочим веществом является смесь жидкости и ее насыщенного пара. иге = площадь абсо = аб гнн Длина отрезка аЬ равна Л[т, изменению объема рабочего вещества на нзотермических стадиях цикла. Давление в точке т больше давления в точке а, потому что температура в точке лт на г[Т градусов больше температуры в точке бп Тогда ' Об использовании функции Карно для вывода ряда общих теорем см. [81.
176 В этом всегда и заключается сила функции Карно '. Клапейрон рассмотрел другой бесконечно малый квази- статический цикл Карно. [забочим веществом являлась смесь жидкости и ее насыщенного пара. Давление насыщенного пара жидкости зависит только от температуры. Поэтому на диаграмме Р— [7 (рис, 17) изотермы аЬ и сд — прямые линии, перпендикулярные оси давлений. Нагреватель отдает рабочему веществу (получает от него) на изотерме аЬ конечное количество теплоты дь В этом предположении и вычерчена диаграмма Р— [хна рис.
17. Суммарное количество работы, произведенной машиной (затраченной источником работы), равно площади аЬсс[ — бесконечно малой величине первого порядка. С точностью до бесконечно малой величины второго порядка Коэффициент полезного действия цикла Карно тогда равен ф, пааапст. или Отношение Л'и/дс не зависит от количества вещества, перешедшего из жидкости в пар (или из пара в жидкость); каждая из обеих величин прямо пропорциональна этому количеству: б)т оп- ож Ч1 Чпсп где оа и о — соответственно объемы насыщенного пара и жидкости на единицу массы; Часа — теплота испарения жидкости на ту же единицу массы. Мы написали значение Ь'и/д~ применительно к тепловому циклу Карно.
Но отношение Л1Г/д1 имеет один и тот же знак (не говоря уже об одном и том же значении) как для теплового„так и для холодильного цикла: при перемене направления цикла на обРатное одновРеменно меИЯютсЯ на обРатные знаки У Л)г и с/ь Окончательно оп ож /сср 1 1 Чпсп ! лт )пасыш С (Т) (!Х,в) 19а !79 Правая часть уравнения (1Х,8) — функция только температуры. Следовательно, и левая часть этого уравнения зависит только от температуры и не зависит от природы рабочего вещества. Подобную проверку уравнения (1Х,8) впервые (!849 г.) провел Томсон [2).
В левую часть уравнения (!Х,8) входят о, и о — объемы насыщенного пара и насыщенной жидкости при температуре опыта для выбранной единицы массы вещества: одного грамма, одного килограмма, одного моля и т. д. В левую часть уравнения (1Х,8) входит (г!Р/йТ)„„„ш — производная от давления насыщенного пара по температуре. Температура в данном случае измеряется по шкале газового термометра. Входит в уравнение и о„, — теплота испарения. Она, понятно, отнесена к той же единице массы, что и оп и ож.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
