Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 7
Текст из файла (страница 7)
не основывающейся на только в принципе существующих, но неизвестных нам точных решениях механики) как средними по распределению, тем более что сами величины упомянутых «наблюдаемых» измеряются пусть с помощью очень совершенных, но все же реальных приборов, показания которых никак не соответствуют в чистом виде среднему по времени в силу конкретных их конструктивных особенностей, их размеров, инерционности и т.д. и т. п. Из всего сказанного выше становится понятным, что в последующем изложении нам придется пользоваться аппаратом теории вероятностей, однако тех сведений из этого раздела математики, которые нам реально понадобятся, так немного и они настолько общеприняты, что вряд ли целесообразно выделять этот материал в отдельный параграф или специальное дополнение. Приводя их здесь, в конце вводного параграфа, мы одновременно договоримся об обозначениях н терминологии.
Итак, пусть л = (лн лц...) — совокупность величин, фиксирующих микроскопическое состояние системы. В случае, если х принимает непрерывный ряд значений, мы обозначаем вероятность обнаружить систему в состоянии, параметры которого находятся в интервале значений (х, л+ Нл) = (л„х~ + йл; хз, лз + йхз), как ш(х) ях = ш(е н лм...) 4х ~ Ылз .. Если я дискретно, то будем писать для вероятности обнаружить систему в состоянии, фиксируемом данным набором х, как и,.
Условие нормировки по отношению к плотности вероятности ш(я) и распределению ш, предполагается всегда выполненным: Пусть Г(х) (или Р,) — значение некоторой динамической величины лля системы, находящейся в состоянии, определяемом данным набором я. Тогда статистическое 21 в 2. Зодокие микроскопического соопоякия сисп)епы среднее (или математическое ожидание) этой величины определяется как Г = / Р(х)го(х) 0х или У = ~ Г,м„ )я) среднее квадратичное отклонение от среднего значения (или дисперсия величины Р) определяется как (Ы)~ = (К-Р)'=Р-2К Р+(У)'= Г- (К)', а относительная флуктуация величины Р— как — безразмерная характеристика статистического разброса величины Е около своего среднею значения; Наконец, два элементарных свойства функции распределения и.
Первое— теорема о свертке: если задано распределение то(хп хг) по переменным х, и хг, то распределение только по х1 определяется как И последнее: если величины х~ и хг статистически независимы друг от друга (т. е. значения олной никоим образом не влияют на выбор значений другой), то распределение м(хп хг) мультипликативно: м(х! хг) го!(х1)мг(хг) Мы рассмотрели случаи, когда х является или непрерывной, или дискретной величиной.
Однако часто бывает, что обе эти возможности сосуществуют (например, некоторые х; дискретны, некоторые непрерывны, а некоторые до определенного значения дискретны, а дальше непрерывны и т.д.). Мы видели, что формальное описание дискретного и непрерывного вариантов является фактически одинаковым, и мы не внесем никакой путаницы, если в смешанных случаях будем использовать любую из записей, подразумевая выполнение соответствующих случаю операций суммирования или интегрирования.
5 2. Задание микроскопического состояния системы Ю тел. Некоторые общие сведения из квантовой и классической механики Задав рассматриваемую нами статистическую систему в соответствии с требованиями микроскопической теории, мы должны вспомнить теперь, как фиксируется состояние этой системы при микроскопическом ее описании. Мы остановимся ниже на двух общеупотребительных вариантах такого микроскопического описания, а также напомним весьма кратко необходимые нам в дальнейшем положения квантовой теории и классической механики. 22 Глава 1. Основные наложения статистической неконини роеноееснык систем а) Микроскопическое состояние как чистое механическое состояние Используя терминологию квантовой механики, мы говорим, что микроскопическое состояние й системы задано как чистое квантовомеханическое состояние, если задана волновая функция и» = ф»(ч, 1), ч = гц, гн (для определенности мы используем координатно-временное представление, хотя не исключены и другие), такая, что величина ф»Ф» йЧ есть вероятность обнаружить у системы, находящейся в состоянии н, в момент времени 1 значения величин Ч в интервале (Ч, Ч+ оЧ).
Так как полная вероятность обнаружить Ч равным любому из допустимых значений равна единице, то волновая функция принадлежит к классу нормируемых: Чк»(Ч, 1) Р»(Ч, 1) <И вЂ” = (Ф», Ф») = 1 Кроне того, в соответствии с приписываемым волновой функции смыслом она подчинена математическим требованиям достаточной гладкости (непрерывность функции кр и ее производных), интегрируемости в любой конечной области пространства координат, достаточно быстрого убывания при удалении какого-либо из аргументов гн ..,, г, на бесконечность и т.д. Каждой динамической величине Р(ч,р), определяемой в классической теории как функция координат Ч = (гн..., гн) и импульсов р = (рц ..,,рн) всех частиц (т.е.
как однозначная функция механического состояния системы), в квантовой механике сопоставляется линейный самосопряженный оператор Р по правилу (в координатно-временном представлении) Р(ч, р) - Р = Р(ч, р), где лля каждого 1 = 1, 2,..., 1т Ь д 1 дг; и где В = 1,054. 10 и эрг с — постоянная Планка (М. Р1апск, !900). Если система находится в состоянии, фиксируемом волновой функцией гр», то значение динамической величины Р(ч, р) определяется как квантовомеханическое среднее: Р» = (Р»,РР»)) — = ~ Ф»(ч, 1)РФ»(ч, 1) йч. Линейность операторов квантовой механики Р(1»1 + крз) = Ркр~ + Ркрп Тсср = аРгр, выражает квантовомеханический принцип суперпозиции состояний, а условие их самосопряженности (или эрмитовости) обеспечивает действительность квантовомеханическнх средних Р» (при условии, что оператор Р соответствует физической динамической характеристике системы).
Последнее условие можно записать следующим образом. Пусть имеются операторы Р и Рг, такие, что 23 в 2, Задание микраскаличеснага сасглаяния сиссаемы где гР и 1а — любые функции состояния системы. Тогда оператор Рт называется транспонированным по отношению к оператору Р. Введем операцию эрмитового сопряжения, которую в отличие от комплексного сопряжения будем обозначать крестиком: Й+ (Йт) Тогда (гд е~)=(~Й гр)=(зг Й Ю), и требование самосопряженности оператора Йь = Р автоматически обеспечивает действительность средних, Рь.
Ег = Ы Е д )' = Ь Й*Ю = Ы ~"'М ) = Ы Й'ф ) = Ы М = Волновая функция такого квантовомеханического состояния подчинена уравнению движения — так называемому уравнению Шредингера (Е. Бсйгбб1пкег, 1926), являющемуся основным уравнением нерелятивистской квантовой механики: Ь В - -, — 31(д, 1) = Й1д(а, 1), где Й вЂ” оператор Гамильтона, построенный из 'функции Гамильтона Н(р,д) по сформированному выше общему правилу Й = Н(а, р).
Это уравнение должно быть дополнено начальными и граничными условиями, которые соответствовали бы характеру решаемой квантовомеханической задачи. Если положить 1а(а,1) = е ьз ф(а), то временное уравнение'Шредингера превращается в уравнение для стационарных состояний ЕРЮ = ЙФ(2), решение которого в классе допустимых функций ф(д) (напомним, что тривиальное решение ф(д) = 0 исключается условием нормировки (г(*, ф) = 1) представляет собой проблему определения собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона при заданных конкретных граничных условиях, т.
е. задачу математической физики. Известно, что такие задачи имеют решение не при любых значениях Е, а только при некоторых Е = Е„: ЙЫЧ) = Е Ф (ч) где индекс и означает набор так называемых квантовых чисел (или просто 1, 2, 3,...), определяющих данное стационарное состояние у1„и соответствующее ему значение Е„. Таким образом, согласно квантовой механике энергия системы пробегает спектр в общем случае дискретных значений (не исключается и возможность непрерывного 'спектра): Вообще говоря, Е„= (гя„', Йу)), т.е. ń— это квантовомеханическое среднее значение энергии дая.системы, находящейся в состоянии 1а„. Мы говорим о величинах Е„как о точных значениях энергии системы потому, что дисперсия, характеризующая разброс энергии около среднего значения (причем дисперсия не только квадратичная, но и любого более высокого порядка), для этого состояния равна нулю: (Д, й'Р„) — (Р„", й())' = Е„' — Е„'= б.
В 2. Задание мияросноличесного сосглояния словены 25 6) 1чнкроскопнческое сестоянне как смешанное механическое'состояние Задание микроскопического состояния системы с помощью волновой функции 1дь — не единственная возможность, используемая в квантовой механике. Почти одновременно со шредингеровским формализмом Джон (Янош) фон Нейманн (3.
Нецшапп, 1927) предположил иную возможность фиксации состояния системы, заключающуюся в следующем. Пусть 3и„— чистые состояния, в которых может находиться система (для определенности мы положили я = и). Сопоставим каждой функции г1'„число гл„> О, указывающее, какова вероятность обнаружить систему в чистом состоянии и (естественно, что 2; гл„= 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
