Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

что энергия взаимодействия каких-либо двух частиц системы совершенно не зависит от того, имеются вокруг них другие частицы или нет. Причем речь идет не об эффективном взаимодействии с экранировкой, обусловленной движением окружающих частиц (такие эффекты как раз рассчитываются методами статистической физики), й 1. Задание састеим а микроскалачегкай творца 15 а об исхолном взаимодействии частиц, как бы остановленных в пространстве. Это упрощение также не является принципиальным при построении и использовании аппарата статистической механики, оно связано скорее с отсутствием удовлетворительного и достаточно простого способа фиксации эффектов насыщения сил взаимодействия (их учет, по-видимому, существенен при рассмотрении очень плотных систем типа, например, ядерной материи; лля газов их нет, для конденсированных систем от их учета могут произойти лишь слабые поправки).

Напротив, потенциал парных сил Фб может быть определен или экспериментально при исследовании данных по рассеянию двух изолированных частиц необходимого сорта друг на друге, или с помощью теоретических расчетов. Таким образом, мы приходим к выводу, что энергия взаимодействия частиц друг с друюм в принципе нам тоже известна — это сумма парных потенциалов взаимодействия каждой из частиц со всеми остальными: Н! = Н!(г!,...,гк) = ~~! Ф; .

!<!<1<я Отметим, что потенциал Ф;, зависит не только от расположения частиц (т. е. от г, и г,), но также и от макроскопических характеристик этих частиц, ориентации и величины их спинов, электрических моментов, если таковые у них имеются, и т.д. Такие силы взаимодействия называются нецентральными, или тензорными. Особую трудность представляет описание взаимодействия многоатомных молекул. Молекулы даже, казалось бы, такой простой системы как вода, которые в свободном.

состоянии представляются симметричными четырехрогими фигурами, по два положительных Н+ и отрицательных е как бы языка, в процессе взаимодействия с соседями, сцепляясь с ними противоположно заряженными концами, изменяют свою геометрию, образуют устойчивые многомолекулярные конфигурации (а отсюда — и гистерезисные явления, свойственные реальной воле) и т.д.— вое это невозможно уложить в универсальную компактную конструкцию для гамильтониана взаимодействия Н! = Н,(гн..., г„). При разработке ряда конкретных проблем часто достаточно положить, что взаимодействие частиц является центральным и изотропным, т.е. что Ф; = Ф(гь гг) = Ф(г; — г ) = Ф($г! — гтрк).

Такое приближение, когда взаимодействие зависит только от молуля расстояния между частицами, с физической точки зрения отвечает описанию систем типа газа или жидкости; оно, конечно, не является удовлетворительным при исследовании вопросов, связанных, например, с кристаллизацией н возникновением определенных пространственных конфигураций частиц. В простейшем случае — лля системы йГ бесспиновых одинаковых частиц с центральным взаимодействием — гамильтониан запишется в виде 2 Н = ~~! †+ ~ Цг!) + ~~! Ф ()г! — г !) . !<(кк !к!а к !<!<1<и Отметим еще характерную структуру отдельных частей гамильтониана Н. Если составляющие Нд величины Т и У,„, „представлены как одинарные суммы, перебирающие частицы системы по одной. т.е. являются линамическими величинами аддитивного типа, то величина Н! в случае учета только парною взаимодействия перебирает все частицы парами, представляет собой двойную сумму по неповторяюшимся парам индексов и является динамической величиной бинарного (или двухчастичного) типа.

Естественно, что в Н мо!ут быть включены члены с более сложной динамической структурой. 16 Глава 1. Основные палаивноя стапосточвской неханоко равновесных сиапвн Приведем несколько простых модельных примеров функций Ф(1г~ — гг1) = Ф(В), которые мы будем использовать в дальнейших наших исследованиях. а) Система нейтральных частиц.

Хорошую аппроксимацию взаимодействия частиц в системах зтого типа (интенсивное отталкивание на малых и слабое притяженйе на больших расстояниях, рис. 1) представляет пслуэмпирическая формула и Ф(В) = ьГва — — —, а хх — —, пт > и, где величина — Ц> является глубиной потенциальной ямы сил притяжения. оо— величина порядка диаметра частиц. При пт = 12, и = 6 — зто так называемый потенциал Ленарда-Джонса (1.епагс1-2опев 3, 1924, рис.!, а), с успехом используемый в теории неидеальных систем типа благородных газов, при т — оо — зто модель абсолютно жестких сфер с притяжением в области В > ао (рис. 1, й).

Степень и = 6, характеризующая характер убывания сил притяжения, имеет квантовомеханическое объяснение (так называемые вандерваальсовские силы притяжения). Ф(В) Ф(В) -1.т а и, а) Рнс. 1. Внд полуфеноменологнческнх потенцнвлов взвннодействнл нейтральных молекул: о) потенциал ленврдв-Джонса, т = 12, н = 6; б) потенциал твердых сфер, пт- оо б) Система заряженных частиц. Их взаимодействие в нерелятивистском пределе описывается кулоновским потенциалом (рис.2) е1ег Ф(1г, — гг1) = 1г~ — гг1 Если частицы представляют ионы (т.е. не являются точечными), то на расстояниях порядка их диаметра ао взаимодействие кулоновскнм уке не является. Для простоты можно считать, что кулоновское взаимодействие осуществляется при В = 1г~ — гг~ > ао, а при В ( ао потенциал Ф(В) = +со, что соответствует очень сильному отталкиванию ионов на малых расстояниях как между абсолютно жесткими сферами диаметра ао.

в) Упругая связь атомов в молекуле или кристалле. Если расположение атомов относительно друг друга пространственно фиксировано, то, ограничиваясь малыми отклонениями их от положения равновесия, мы можем аппроксимировать потенциал взаимодействия частиц моделью упругой связи. Определяя центр потенциальной ямы из условия Ф'(во) = О, обозначая ее глубину как — Уо и вторую производную ° как Фп(во) = й > О, имеем й(я — во) Ф(а) = — ггв+ +..., 2 !7 в 1. Задание актены в микроскопической теории или, смещая начала отсчета энергии Ф(х) + Уо —— Фа(х — ха) и обозначая отклонение х.— ха —— 4, цз Фо(0 = + 2 Ф(В) 1) определять все термодинамические равновесные свойства и характеристики системы (более конкретно, позволял бы исходя из данной формы Н рассчитывать соответствующий произведенному выбору внешних параметров термодинамический потенциал, например при заданных параметрах й, К, а, лг — свободную энергию системы Зг); решение этой проблемы составляет основу так называемой статистической термодинамики; 2) оценить характер и величину отклонений того или иного параметра системы от его среднего значения, т.

е. построить теорию флуктуаций; 3) Исследовать простейшие типы неравновесных процессов, происходящих в статистических системах, их временную эволюцию, т.е. построить кинетическую теорию. В данном томе мы уделим главное внимание лишь первому пункту этой программы. Второй и третий пункты составляют основное содержание следующей его части (см. том 3).

Остановимся теперь на характеристике исследования статистических систем. Не повторяя всего уже сказанного по этому поводу в первом томе пособия, отметим еще раз, что проведение сформулированной выше программы исследований Высшие члены разложения можно рассматривать как энгармонические поправки к основной части Фо(с'). О Разумеется, приведенные примеры потенциалов Ф(ас) значительно упрощают реальную ситуацию. Огромное многообразие отличных друг от друга систем в природе вызвано таким же многообразием потенциалов взаимодействия частиц друг с другом.

Эти потенциалы даже в случае, когда их удается достаточно точно опреде- Рнс,2. Потенциал азаннодедстаия залить, как правило, сложны и не всегда могут ряженных частиц: а) одноименные заряды; б) разноименные заряды быть представлены в виде удобных формул. Поэтому и конкретные численные расчеты каких- либо характеристик системы связаны с огромной вычислительной работой, посильной, по-видимому, толькодля счетных машин. В связи с этим мы в дальнейшем при рассмотрении неидеальных систем постараемся вообще не использовать конкретный вид Ф(гс), ограничиваясь по возможности общим рассмотрением и довольно общими предположениями относительно функции Ф(22).

Естественно, что, рассматривая ту'или иную модель взаимодействия, отражающую характерные качественные особенности реального взаимодействия частиц в системах какого-либо определенного типа, мы, конечно„рассчитываем на качественное же объяснение макроскопических особенностей этих систем с точки зрения микроскопической теории. Убедившись на простых конкретных примерах в реальной возможности микроскопического задания системы, сформулируем теперь, что мы хотим получить от микроскопической теории (так сказать, программа-максимум). Наша основная цель — это построить математический аппарат, который на основе микроскопического задания системы позволял бы: 18 Глава 1.

Основные новоженов стотосточеско0 мвяоноко равновесны» состем не может основываться на использовании одного лишь аппарата механики. По самому характеру поставленных задач мы не можем даже воспользоваться решениями, к примеру, классической механической задачи (в общих рассуждениях этого параграфа мы ради наглядности ограничиваемся вариантом классической механики, прн квантовомеханическом рассмотрении эта наглядность затушевывается еще и рядом других проблем) о движении каждой из 1«частиц системы, даже если имеется возможность (конечно, явно фантастическая) получить таковые, так как для этого нам необходимо располагаться очень большой дополнительной информацией о системе: точными начальными значениями лля всех частиц (т.е.

Характеристики

Список файлов книги