Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики (1185114), страница 86
Текст из файла (страница 86)
пропорциональны интервалу е. Следовательно, можно положить, что Подставляя в (Х1.1) выражения для факторов согласно формуле Стирлинга, Больцман получает р'2„„„«+!/г «)/!!г«)+... Р = —, (Х1.2) ( )) 1/з )«в,+!)г ю,+)гг '"«+)!г Х !)))г») " ) !»о' причем должно иметь место равенство !«!о+!«!г+шг+ ° ° +и!ь = и ° Наиболее вероятным состоянием, т. е. состоянием, соответствующим тепловому равновесию системы, будет то, которому при данных условиях соответствует наибольшее значение Р. Последнее условие, очевидно, выполняется при условии, что знаменатель в (Х!.2) будет иметь минимальное значение.
Удобнее искать этот минимум не для самого знаменателя, а для его логарифма. Опуская несущественные для решения задачи постоянные и учитывая, что все входящие сюда числа велики по сравнению с г!„Больцман ищет минимум выражения М = гэ«!п и)«+ш! !п п)г+ и!г !и юг+ ... = ~ и)! и ю, (Х1.3) которое он преобразовывает к виду М=:а[1(0) !п1(0)!1(е) !п1(е)-1-1(2е) !и! (2е)+ ...)+п1пз. (Х14) Найдя этот минимум, Больцман показывает, что функция распределения имеет вид 1(х)=Се — "".
Следовательно, вероятность того, что живая сила молекулы в состоянии теплового равновесия лежит между х и х+бх, будет равна 1(х) дх=Се — ""Ях. Далее Вольцман находит распределение составляющих скоростей молекул. Задача приводит его к вычислению экстремального значения интеграла !2 = — Ц ~1 (и, и, !г!) !п ! (и, о, и)) ди до дп), где и, о, и) — составляющие скорости молекул при постоянстве числа частиц и их живой силы.
Этот интеграл Больцман называет «мерой распределения». Вычислив его, Больцман показывает, что с точностью до произвольной постоянной он совпадает с соответствующим выражением для энтропии, найденным из уравнения Клаузиуса. Отсюда Больцман приходит к выводу, что между энтропией и «мерой распределения» может быть установлена не только линейная, ио и пропорциональная зависимость.
В свою очередь, поскольку «мера распределяемости» ь! и вообще вероятность состояния системы имеют статистическую природу, то из соотношения между энтропией 5 и й следует, что и сама энтропия также имеет статистическую природу. Таким образом, говорит Больцмаи, мы должны совсем по-иному подойти к трактовке второго начала термодинамики.
Если система находится в состоянии термодинамического равновесия, то ее мера распределяемости имеет максимальное значение. Для изолированной системы это максимальное значение остается не- 3!8 изменным, поскольку само равновесное состояние сохраняется сколь угодно долго. Таким образом, аг не может уменьшаться, з только возрастать. Согласно расчету, «мера распределяемости» есть также и мера вероятности состояния системы. Всякая же система, состоящая из очень большого числа частиц, согласно законам теории вероятностей, стремится перейти от менее вероятного состояния к более вероятному. Обратные же переходы весьма маловероятны. Поскольку, кроме того, мера распределяемостн изменяется точно так же, как и энтропия, то отсюда естественно следует, говорит Больцман, что «мера распределяемости системы является мерой вероятности ее состояния» !86, Вб.
11, 8. 128] и что «мера распределяемости системы в состоянии теплового равновесия находится в линейной зависилгости от ее энтропии и, следовательно, может заменить ее с тем преимуществом, что амера распределяемости» имеет определенное значение для всякого состояния системы, а не только для состояния равновесияг- [88, Вй 11, 3. 1301. Все это приводит Больцмана к совершенно новой формулировке второго начала термодинамики, формулировке, в которой статистическая природа этого закона подчеркивается с уверенностью и определенностью: «Во всех случаях, где применим закон больших чисел, т. е. в большей части явлений природы...
как явлений, обнимающих огромное число материальных точек, всякое изменение, которое может произойти само собой (т. е. бвз компенсации), есть переход от менее вероятного состояния к более вероятному состоянию» 186, Вс1. 11, 8. 132!. Оба варианта «теоремы-минимум» (механический и статистический) в дальнейшем в Литературе стали известны под названием «Н-теоремы». Скажем несколько слов по поводу этого наименования. В рассмотренных работах, как мы видели, обозначения Н для среднего логарифма функции распределения у Больцмана еще нет. Вместо этого обозначения применяются Е и й.
Последующие годы своей научной деятельности Больцман посвятил более глубокой разработке статистической теории и борьбе против многочисленных оппонентов, стремившихся доказать несостоятельность и порочность его идей. В связи с одним возражением против статистической концепции, выдвинутым Э. Цермело, Больцман сделал попытку более наглядно и популярно изложить сущность своей теории. Он опубликовал почти одну за другой две работы: «О некоторых вопросах теории газов» ач и «К работе Цермело «О механическом объяснении необратимых процессов» ". В первой из указанных работ Больцман дает ответ на два вопроса: «!. Является ли теория газов такой же точной теорией, как и другие физические теории?» " Смз Ха!иге, 1895, т.
51, 5. 413. 'г Смл Апп. д. Рьуай, 1895, Вй. 59, 5. 793. м См.: Рьуайаизсве Ее11аскг!11, !907,.ВЙ. 8, 5. 311. См, также: Шефер К. Теория теплоты. М., ГТТИ, ч. 11, 1933, с. 118. 319 «2, Какие вооби1е пред»являются требования к физической теории2» 1Ва, Вд. П!, $. 1201. Объясняя здесь статистический характер теории газов, Больцман говорит, что поведение энтропии можно наглядно описать с помощью графического представления величины Н.
График этой кривой (рис. 24), согласно Больцману, «характеризует меру вероятности или неупорядоченности состояния». Указанный график приводится нм в приложении ко второй из упомянутых работ. В 1898 г. Больцман написал специальную математическую работу «О так называемой Н-кривой» 186, Вд. 1П„Б. 629), в которой он рассмотрел «свойства кривой, введенной мною для пояснения известных законов теории газов».
Позже, в 1967 г., Пауль и Татьяна Эренфест описали простую модель Н-кривой, весьма наглядно иллюстрирующую статистическую природу Н-теоремы 'в. "( Рнс. 24. Н-крпзвя по Больпмзну В дальнейшем обозначение Н стали применять и для среднего логарифма функции распределения, иллюстрацией которого и являлась Н-кривая. Итоги своей работы в области молекулярно-кинетической теории газов Больцман подвел в своих «Лекциях по теории газов», изданных в период 1896 †18 гг. В той части «Лекций», где речь идет о статистическом обосновании второго начала, Больцман пользуется обозначением «Н».
Он уточняет и совершенствует свое доказательство Н-теоремы, которую теперь записывает в виде бН вЂ” <О 41 и формулирует следующим образом: «Эта теорема об уменьшении Н в результате столкновений гласит... не зто иное, как то, что в результате столкновений распределение скоростей между молекулами газа все более и более приближается к наиболее вероятному, если состояние является молекулярно-неулорядоченнь»м и к нему, следовательно, применимо исчисление вероятностей» 121, зып.
1, с, 671. Здесь связь между энтропией и вероятностью состояния тв фигурирует в виде 5-ЯЛ4!п тв+сопз1, 320 где М вЂ” масса молекулы водорода, )с — универсальная газовая постоянная. Именно в такой форме и появилась впервые знаменитая «формула Больцмана», связывающая энтропию с логарифмом вероятности состояния системы. Говоря здесь о физическом смысле второго начала, Больцман подчеркивает его статистический характер: «То, что в природе энтропия стремится к максимуму, доказывает, что при. всяком взаимодействии реальнвт газов (диффузия, теплопроводность и т.д.) отдельные молекулы вступают во взаимодействие в согласии с законами вероятности... Второе начало оказывается, таким образо,н, вероятностным законом,.
Даже если теория газов является только механической картиной, я полагаю все же, что то понимание принципа энтропии, к которому она привела, сало по себе правильно отражает сущность дела» [21, вып. 1, с, 87 — 88). Считал ли сам автор Н-теоремы универсальной статистическую траитовку второго начала? Больцман провел вычисление Н-функции для многих случаев газообразного состояния вещества (одноатомный и многоатомный газы, смеси газов и т. д.) и во всех случаях убеждался в справедливости Н-теоремы. В своих работах он не касался энтропии конденсированных сред. Однако, заканчивая «Лекции по теории газов», он высказал свои соображения и на этот счет: «Мы здесь уделяли внимание главныл~ образом процессам в газах и для этого слу~ая вычисляли функцию Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
