Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики (1185114), страница 100

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 100)

А. Фоккер в работе «О средней энергии вращающегося электрического диполя в поле излучения» решает задачу, аналогичную задаче Эйнштейна в теории броуновского движения. Он ищет закон распределения диполей, находящихся в поле излучения и совершающих хаотическое движение. При этом положение диполя также характеризуется некоторым параметром д. Фоккер показывает, что функция распределения Ж(д) удовлетворяет дифференциальному уравнению 366 )р ( ) ! ( ) т — у ( ) р+ — ' —" ()у ( ) у) =О. 2 дч Здесь т — малый интервал времени, в течение которого параметр д будет принимать значения, лежащие в некотором интервале (о, о+до), Относительно этого уравнения Фоккер пишет, что оно «является обобщением одной формулы Эйнштейна, примененной для другого случая...

где Я=О и Р не зависит от д». Ссылка Фоккера относится к рассмотренной выше работе Эйнштейна. Следует также отметить, что работа Фоккера была связана с исследованиями Эйкена, Штарка и Эренфеста, в которых находилась та часть удельной теплоемкости водорода, которая определялась вращательными степенями свободы. М. Планк пошел дальше Фоккера и рассмотрел нестационарный случай распределения диполей в поле излучения в связи с разработкой им квантовой теории ротационных спектров. В первой половине )9!7 г. Планк выступил с тремя сообщениями в Немецком физическом обществе на тему «Теория ротационных спектров» !78), где, в частности, указал, что его рассмотрение вопрос са будет целиком основываться на методике Фоккера.

Таким образом, неожиданное переплетение получили проблемы из различных областей физики — теорик броуновского движения и теории излучения. Общая статистическая природа явлений привела к тому, что их можно было описывать аналогичными дифференциальными уравнениями. Было получено дифференциальное уравнение, определяющее вероятность разлячных состояний физической системы, рассматриваемых как непрерывная цепь Маркова. Позже была показана тесная связь уравнений Эйнштейна — Фоккера — Планка с уравнением диффузии.

Именно уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка является основой теории броуновского движения, а также позволяет решать многие задачи статистической физики. Некоторые частные случаи решения уравнения Эйнштейна — Фоккера — Планка были найдены Э. Шредингером и Орнштейном. Интерес к этому уравнению особенно возрос, когда стала ясна его методологическая сущность, а именно что оно выражает необратимую природу приближения системы к неравновесному состоянию. В полном объеме общая теория стохастических дифференциальных уравнений была развита начиная с 30-х годов советскими математиками, прежде всего А. Н.

Колмогоровым и А. Я. Хинчиным, исследования которых получили мировое признание. Некоторые методологические замечания развитие общей теории марковских процессов не прошло бесследно для такого важного в иетодологическом и философском плане вопроса, как вопрос о причинности. Вопрос этот глубоко и всесторонне изучался философами разных направлений и в разные эпохи (6).

В физике ХЧ(П вЂ” Х!Х вв. принцип причинности 367 понимался в лапласовском смысле — как однозначная связь последующих состояний мира с предыдущими его состояниями. Наиболее поЛное математическое выражение лапласовскнй детерминизм получил в дифференциальных уравнениях движения. Согласно точке зрения механистического материализма, такая схема описания явлений природы, когда заданы дифференциальные уравнения и соответствующие начальные условия, является наиболее точным и прямым выражением физического принципа причинности.

Наиболее яркое выражение эта схема получила у Лапласа. По его идее, состояние мира в данный момент времени определяется бесконечным числом параметров и бесконечным числом дифференциальных уравнений. Если бы некий «всеобъемлющий ум» мог записать все эти уравнения и их проинтегрировать, то он мог бы с полной точностью предвидеть всю эволюцию мира на протяжении бесконечного времени.

Однако детерминизм в лапласовском понимании исключал случайность, которая рассматривалась как результат незнания всех начальных условий. Между тем в действительности причинность сочетает в себе необходимость и случайность, поскольку всегда неучтенные случайные факторы оказывают определенное влияние на протекание явления. Марков и его последователи, развивая теорию случайных процессов, обобщили, по сути дела, детерминистическую схему классической физики, включив в нее вероятностные представления. Действительно, общими во всех детерминированных математических схемах реальных процессов являются следующие условия: 1) состояние системы считается определенным, если задано дифференциальное уравнение (или какой-либо иной математический объект, который условно обозначим й); 2) последующие значения для моментов времени г)г, однозначно определяются по значению йм заданному в начальный момент времени 1о. Таким образом, эта схема может быть записана в виде "=16~» ~~ ~») В случае процессов, заданных дифференциальными уравнениями, искомая функция ) находится путем интегрирования этих уравнений при известных начальных условиях: Й=й, при г-г,, В теории же марковских процессов вместо функции г, однозначно определяющей состояние Й в момент времени 1>г, по состоянию й в момент 1„вводится вероятность (Г„РВ Г, Й») йолучения состояния й„в момент времени Г при условии, что в момент времени г„ имело место состояние П;.

Таким образом, мы видим, что развитие теории броуновского движения существенно обогатило принцип причинности и привело к появлению новых идей как в математике, так и в общих вопросах теории познания. Проблема обоснования неравновесной термодинамики Основная задача статистической механики состоит в обосновании и выводе законов термодинамики и в вычислении термодина- 368 мических функций для данных молекулярных моделей.

Естественно, что применение статистических методов для этой цели требует исследования и флуктуаций, что должно привести к обоснованию фундаментальных принципов неравновесной термодинамики. Однако дело здесь осложняется тем, что для необратимых процессов не существует микроскопической теории столь общего характера„ как для случая равновесных состояний систем. Тем не менее микроскопические законы механики вместе .с принципами статистической механики в какой-то мере позволяют обосновать один.

из важнейших принципов неравновесной термодинамики, а именно соотношения взаимности Онзагера. Уже сам Онзагер показал, что эти соотношения, так же как и само свойство необратимости, должны непосредственно следовать из микроскопических законов движения и принципов статистической механики. Свойство микроскопической обратимости или детального равновесия, которым обладают переменные, описывающие макроскопические свойства системы (при этом достаточно малые области должны иметь такие размеры, чтобы в них содержалось большое число частиц, составляющих систему), является следствием инвариантности микроскопических уравнений движения относительно операции обращения знака времени.

Отсюда вытекают соотношения взаимности, если постулировать, что средние от указанных выше переменных удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Критические замечания относительно обоснованности идей Онзагера были сделаны Казимиром (1945) и Калленом (1948), которые отметили, что, строго говоря, условия взаимности относятся прежде всего к состоянию термодинамического равновесия, к которому применимы как принцип микроскопической обратимости, так и статистическая теория флуктуаций.

Весьма существенно и то предположение, что скорость затухания флуктуаций подчиняется тем же термодинамическим законам движения, что и макроскопический процесс. Поскольку зависимость от времени усредненных псременных не является полностью определенной в том смысле, что эти переменные являются случайными, при рассмотрении этих переменных наиболее удобен формализм теории марковских процессов. Однако можно пойти и дальше, сделав более специфическое предположение о том, что усредненные переменные описывают процессы, которые обладают свойствами так называемых га у с со вых м арк о в с к ихх п р о ц е с с о в.

Тогда открывается возможность обсуждать свойства и поведение энтропии, что составляет важнейшее содержание термодинамической теории необратимых процессов. (Процесс называется марковским гауссовым процессом, если он удовлетворяет условиям марковского процесса и, кроме того, при определенных допущениях плотность вероятности подчиняется закону распределения Гаусса.) Вопросами обоснования неравновесной термодинамики занимались многие физики: Мюнстер, де Гроот, Мазур, Кирквуд и др. 24 я. и. гельфер 36Я ГЛ А В А ХНЕ СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ф 35. Больцман, Гиббс, Эйнштейн Общие замечания. Идеи Больцмана Исследования по статистическому обоснованию термодинамики, рассмотренные в предыдуших главах, явились важнейшей вехой на пути к созданию общей статистической теории физических процессов — статистической физики, основной задачей которой стало объяснение феноменологических закономерностей на основе атомистики.

Исследования Максвелла и Больцмана подготовили почву для создания общей статистической теории равновесных процессов— статистической термодинамики, или, как ее называли в ранних трудах, статистической механики. В основе статистического метода, развитого Максвеллом и Больцманом применительно к газообразному состоянию вещества, лежала гипотеза молекулярного беспорядка, основное содержание которой, согласно Больцману, заключалось в том, что положение и скорость каждой молекулы не должны зависеть от положения и скоростей всех остальных молекул. Эта гипотеза, справедливая для случая стационарных распределений состояний, применительно к идеальному газу позволила Больцману разбить все взаимодействия между молекулами на отдельные парные столкновения и получить кинетическое уравнение для Н-функции.

Характеристики

Список файлов книги