Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Как следует из теоремы Лиувилля (см. З 6.1), сЬ,!(о, = !2 !са = !ЫыЬг. Поэтому р!, = р!з, или в подробной записи: Р(о! оа~ "! оз) = р(о!~ оз~ омги) (33.14) (в свое время справедливость этого равенства была доказана Больц- 223 маном на основании классической механики для упругих столкнове- ний молекул, представляемых в виде маленьких твердых и гладких шариков). Учитывая соотношенке (33.14), получаем для плотности источников: 1'2' В = д! Р!2 (1! 12 — 1112) 1(оФо111ог. Подставим выражение для 2.
в формулу (33.10). Для согласования обозначений положим ог = о. д1 д!' 1'2' —,, +" Ягао1+ о — =(.)Р!2 (1, 12 — 111~) 2(о~2(о~ 2(ог~„". (33.15) до В результате мы пришли к ннтегродифференциальному уравнению относительно неизвестной функции 1(о, г, 1). Его называют кинетическим уравненпем Больцмана. Хотя вывод сделан для идеального газа, опыт показывает, что уравнение пригодно и для не слишком плотных реальных газов.
Рассмотрим несколько важных следствий, вытекающих из уравнения (33.15). Для простоты предположим, что распределение молекул пространственно однородно и что внешние силы отсутствуют. Следовательно, функция распределения 1 зависит только отскоростей частиц и времени, а ускорения равны нулю: 1(о, , 1) = 1(', 1); о = †' Р = 0. 22 В этом случае уравнение Больцмана принимает вид = ~(Р!~ (1! 12 1112) 2 о1 ~) о д! !'2' (зз.10) Если выполняется условие 11 12 (33.17) то интеграл в правой части уравнения (33.16) равен нулю. Мы получаем стационарную функцию распределения молекул по скоростям, для которой — = О.
Очевидно, в этом случае состояние газа явд) д! ляется равновесным. Равенство (33.17) позволяет найти явный вид равновесного распределения по скоростям: 1 (о1)1 (ог) = 1 (о!)1 (ог). (33.18) Значения скоростей о„ог, о, и ог нельзя брать произвольно, так как при столкновениях должны выполняться законы сохранения энергии 224 33.4. Следствия из уравнения Больцмаиа. Равновесное распределение молекул по скоростям и импульса. Из этих законов следуют формулы связи между указанными четырьмя скоростями: 2 ,Я ,2 ! + о2 о! + о2 о1 + 02 о! + 02 (ЗЗ. 19) При записи учтено равенство масс всех молекул.
Соотношения (33.19) накладывают ограничения на значения коэффициента р,, в уравне- !'2' нии Больцмана. Легко проверить, что решением системы уравнений (33.18) и (33.19) является функция ) (о) = сопз1 е где р и у — произвольная постоянная и произвольный постоянный вектор. В условиях равновесия нет выделенных направлений в пространстве. При полной изотропии следует положить у = О, н мы приходим к распределению Максвелла. 33.5«.
Н-теорема Больцмана Кинетическое уравнение Больцмана (33.16) приводит к выводу, что для изолированной газовой системы существует макроскопическая характеристика, монотонно возрастающая по мере приближения к равновесию. Для доказательства вычислим производную по времени от функции Н = — ) ) (о„() 1п ) (о„() !1о1. (33.20) (Индекс «1» у скорости необходим для согласования обозначений с уравнением (33.16).) д!'-! д Г д дй " — = — — ~ !11п !'1«(о1 = — ) — (~1!пЯ сЬ1 = — 3! (1+1п(1) — 'сЬ1.
д! д! 3д д! Заметим, что так как интеграл от функции распределения по всем возможным значениям скорости частицы равен постоянной — полному числу частиц и системе. Поэтому до !" дй — = — д! 1п 11 — ' сЬ1. д1,) д! Используя выражение (33.16), получаем: — = — ') р! 2 (!1, !2,— )1!2)1п!1!1о1«Ь«!Ь! сЬ2. (33.21) ш Произведем в интеграле (33.21) замену переменных. Вместо о, будем писать о». Вместо о2 везде поставим о„заменим о! иа о, и о2 па о!. з заказ 3! Нетрудно видеть, что при таком преобразовании скобка ф — Я»~2) не изменяется, так как У2 ! (о»)! (п») гп!2' ! (п1')г (1'2').
Все частицы равноправны и одинаковы по свойствам, поэтому плот- 1'2' ность вероятности р12 тоже должна сохранить свое значение. Единственное изменение в интеграле (33.2!), которое произойдет при указанной выше аамене переменных, состоит в том, что вместо 1п ~1 следует теперь писать !п Г», так как !п 1 (и,) перейдет в !п ~ (и,). В результате получаем соотношение ЙН Р 12 — = — 1 р12 (~и Г2, — Я») !п 12«!и»~Ь» «Ь, «(о».
Запишем еще два подобных выражения, которые получаются из (33.21) заменой переменных. Совершим подстановку о1 ! п1 о« ~п2 о! !'о11 п2 ! п2. В силу принципа детального равновесия множитель р1, ие изменит 1'2' своего значения, перед выражением ф 12 — Щ) ставится знак « — », вместо !п ~1 следует записать !и !'! . В результате преобразования имеем: — — Ч! 12 — Я»)1п11 п1(о Ь бп Сделаем также подстановку П» ~ П2, '02 ~01, О! ~П»', П2 «П! Это преобразование является комбинацией двух первых. Учитывая их свойства, приходим к выражению 12Н !' 1'2' — = 1 р12 Ц1, ~2, — Я»)1п !".2 гЬ1!!о»«Ь! !Ь2.
пн Теперь сложим все найденные выражения для производной — . й Получаем: — = — ~ р!2 (~1, Г2, — Ц») !п ' ' «Ь»«(п»«(о! !(о2 (33.22) Как н всякая плотность вероятности, коэффициент р! 2 есть положигг тельно определенная величина. Всегда положительным является 11 12 также произведение (~,,~„— Я») !п, так как оба сомножителя (скобка и логарифм) одновременно принимают как положительные, так и отрицательные значения. Отсюда следует, что подынтегральная функция в (33.22) при любых значениях переменных интегрирования больше или равна нулю. В результате получаем: 226 — ~0. ЫН Ф (33,23) 33.6.
Приближение времени релаксации Кинетическое уравнение (33.!5) находит широкое применение в практических задачах. Оно используется, в частности, при исследовании процессов диффузии, теплопроводности и т. д. Обычно уравнение Больцмана не решается точно, и поэтому приходится прибегать к различным приближениям. Многие трудности при решении связаны с интегралом, стоящим в правой части уравнения (33.15). При малых отклонениях от равновесия ~з1 ) 11 — 1»! где )» — функция распределения для равновесного состояния, т— время релаксации.
Это позволяет вместо интеграла в правой части кинетического уравнения Больцмана записать приближенное выражение — —. Уравнение в целом принимает вид 1 7» — +о дгаб1+о — =— п( - а! 1 — /, д» ы где т — характерный параметр, не зависящий от времени. Рассмотрим частный случай: пусть внешние силы отсутствуют и достигнуто однородное распределение частиц в пространстве.
Система все еще неравновесна, так как не установилось равновесное распределение частиц по скоростям. Предоставленная самой себе 8» 227 Итак, мы показали, что с течением времени параметр газовой системы Н, определенный соотношением (33.20), не убывает. Как правило, он непрерывно возрастает, достигая максимума, когда интеграл в правой части (33.22) обращается в нуль. Это происходит при ~,,1, = = Ц„ т. е. в положении равновесия. Естественно отождествлять величину Н с энтропией системы.
Можно показать, что формула (33.20) согласуется со статистическим определением энтропии (6.10) (см. задачу 9,6). Доказательство справедливости неравенства (33.23) было дано впервые Больцманом в 1872 г. Этот результат сыграл весьма существенную роль в развитии статистической физики. На его основе было выработано представление об энтропии как мере вероятности макроскопического состояния системы. Н-теорема Больцмана не является следствием законов механики системы частиц. При ее выводе существенным образом используются статистические понятия, например среднее число столкновений и др.
Н-теорема поэтому имеет вероятностный характер. Она представляет собой количественную формулировку закона возрастания энтропии для некоторых процессов, происходящих в идеальном газе. газовая система стремится к равновесию. Микроскопически переход к равновесию реализуется через многочисленные столкновения молекул друг с другом: д1 (33.24) д1 т Учитывая, что — ' = О, перепишем уравнение (33.24) в виде д)о й д (1 —.)о) ) — (о дЕ т Его решением является функция ) — )о = д (о) е (33.25) Неизвестная функция д (и) находится из начальных условий. Формула (33.25) подтверждает истолкование величины т как времени релаксации.
Численные оценки и эксперимент показывают, что скорости молекул выравниваются быстро, после нескольких соударений. Поэтому по порядку величины т в несколько раз больше времени свободного пробега. Часто можно пренебречь зависимостью параметра т от скорости и для грубой оценки приравнять т среднему времени свободного пробега. $ 34.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА 34Л. Уравнение баланса для переносимой физической величины Как уже неоднократно указывалось, равновесная система характеризуется полной однородностью во всех возможных отношениях. Напротив, неравновесным термодинамическим системам свойственно наличие разностей температур, давлений, концентраций вещества между различными точками системы.
Подобные неоднородности вызывают передачу' какой-либо характеристики: теплоты, импульса, числа частиц и т. д. от одной части системы к другой. Интенсивность процессов переноса принято определять вектором плотности потока. Мы будем обозначать его через )а, если речь идет о потоке аддитивной физической величины 2. Направление вектора в каждой точке совпадает с направлением переноса величины 2. Длина вектора численно равна количеству 2, переносимому в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной вектору плотности потока. Выделим внутри системы постоянный объем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
