Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Будем считать, что соударение происходит мгновенно. Пргг этом координаты х, у и г сталкивающихся молекул остаются неизменными, поскольку смещения молекул отсутствуют, а скорости скачком принимают новые значения. В соответствии с этим в фазовом пространстве происходит скачкообразный переходдвух изображающих точек из одних элементарных объемов в другие (рис.
43). Очевидно, что вся описанная картина столкновения опирается на представление молекул в виде твердых шариков пренебрежимо малых размеров. Для вывода уравнения для функции г применим метод математической аналогии. Для этого вспомним некоторые трехмерные соотношения для явлений, происходящих в реальном физическом пространстве. Если плотность газа равна р (», !), то число частиц, находящихся в данный момент в пределах объема )г, равно М, где У = ) рг(т. (33.3) Движение частиц можно описать плот. постыл потока ) (г, г).
Эта величина определяет число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади плоской поверхности, перпендикулярной вектору г'. Направление вектора ) совпадает с направлением движения частиц. Имеет место соотношение (33.4) ! =Рп где и — скорость молекул в данной точке. Число частиц, ежесекундно покида- Рис. 43 а~з ющих выделенный объем, равно (по определению потока и правилу выбора внешней нормали) ф„Ю, ) Ыт. У аФ Поэтому действительное значение производной — оказывается равным Й вЂ” = — ~/„Ж+ ~ аг(т.
(33.6) Преобразуем уравнение баланса для числа частиц (33.6), используя теорему Гаусса и соотношения (33.3) и (33.4). Получаем: — ~ рот = ~ — г(т = — ~ й!ч(ро)дт+ ~опт. Ж д! Ввиду произвольности выбранного объема должно выполняться равенство — '+ бпг(ро) = и. (33,7) д~ Найденное дифференциальное соотношение описывает изменение плотности вследствие движения частиц и действия источников. По аналогии с формулой (33.7) нетрудно написать уравнение, которое описывало бы изменение плотности изображающих точек в шести- мерном фазовом пространстве: — "'+ Š— '(~й)=Е д1 дд~ (33.8) Производные д, есть компоненты скорости перемещения фазовой точки в фазовом пространстве.
Произведения ~~, дают проекции вектора плот- ности потока изображающих точек. Операция вида 219 3 гдето — поверхность, ограничивающая объем. Вели молекулы выходят за пределы объема, то изменяется число частиц М. Очевидно, — = — ф !„г(3. (33.5) Ж з Но если в пределах объема имеются источники частиц, то формула (33.5) не определяет всего изменения числа молекул. Будем описывать исчезновение и появление частиц с помощью величины и — плотности источников, которая определяет число частиц, испускаемых (или поглощаемых) источниками за единицу времени в единице объема.
Число частиц, появившихся в объеме в результате действия источников за 1 с, равно в ~. — (//;) двл представляет собой шестимерную дивергенцию вектора с проекциями /4/4. Через г. обозначена плотность источников фазовых точек. Перейделг в уравнении (33.8) к трехмерным обозначениям: — + — / (х) + — (/у) + - (/2) + — (/о») + д/ д д д д дг дх ду дг дв„ + — (/о,)+ — (Ф,) = ~ д д ди У дв» д Любая производная — берется при условии постоянства всех друдвг д гих координат 4/„,„и Это означает, что при вычислении — (/4/л) = дв, д = — (/х) величина 4/4 — — х должна считаться постоянной.
Поэтому дх д д/ д дг д д/ — (/Х) = Х вЂ” ~ — (/У) = У вЂ ; — (/2) = 2 дх дх ду ду ' дг дг Кроме того, ускорение и представляет собой функциютолькоот коор динат х, у, г и времени / и не зависит от проекций скорости п„, о и и,. Поэтому (/и») о» . ° (/оу) = оу (/о») о» д д/ д д/ д ° ° д/ дв» ' дв» дв д»у д"» д»» Подставим в (33.8) найденные выражения для производных, Получаем: д/ д/ д/ д/ д/ д/ д/ — +о„— +о,— +о, — +и,— + о,— + о, — = ~, д/ "дх Уду *дг ди» Удву 'дв или в сокращенной записи — + и вагаб/+и — = Е.
д/ ° д/ дг дв (33.9) 2»0 Выясним физический смысл отдельных членов в уравнении (33.9). Величина г. определяет число фазовых точек, возникающих или исчезающих в каком-либо месте фазового пространства. Это происходит вследствие скачкообразных изменений положения изображающих точек при столкновении молекул. Следовательно, Х в уравнении (33.9) описывает изменения в распределении частиц по скоростям, возникающие в результате соударений молекул.
Между столкновениями частицы идеального газа движутся по инерции. Ускорения возникают только за счет действия внешних снл. Отсюда следует, что третье слагаемое в левой части уравнения (33.9) учитывает воздействие на газовую систему внешних силовых полей. Второе слагаемое в левой части этого уравнения отлично от нуля только тогда, когда плотность газа неодинакова в различных точках пространства. 33.2. Интеграл столкновений Для вычисления величины Х необходимо выделить какой-нибудь элементарный объем фазового пространства и подсчитать, какое число фазовых точек появляется в пределах этого объема в результате столкновений за единицу времени.
С этой целью рассмотрим соударения, при которыхдве частицы со скоростями, значения которых лежат в интервалах (о„ о, + Но,) и (о„о, + йо,), приобретают скорости, значения которых заключены соответственно в интервалах (оо о~ +сЬ1) и (о~, о~ -)- й~~). Полное число таких столкновений, происходящих в объеме йт физического пространства за время й, обозначим через дт. Выясним, отчего и как зависит йт. При анализе предположим, что газ достаточно разрежен, так что за время й каждая частица испытывает не более одного столкновения.
В этих условиях можно на время отвлечься от существования всех других молекул и рассматривать только два пересекающихся потока частиц: (о,)-молекул и (о,)-молекул. Перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью о,. В этой системе (о,)-молекулы неподвижны. Мимо них движется поток частиц, имеющих скорость и = о,— — о,. Число молекул-мишеней согласно (33.1) равно ((о„г, ~) доит. Рассмотрим теперь рассеяние на одной из них.
Обратимся к рисунку 44. Допустим, что если направление движения (до столкновения) набегающей частицы пересекает заштрихованную площадку, то произойдет такое изменение состояния движения обеих частиц, что в результате они приобретут требуемые скорости о~ и о, (в лабораторной системе отсчета). Размеры этой площадки зависят от конкретного закона взаимодействия молекул и значений начальных и конечных скоростей. При прочих равных условиях допустимо полагатгь что площадка йз будет тем больше, чем больше ширина интервалов ~Ь~ и Йъ~, Поэтому далее примем, что дз = А (о„оз ( ом ои) ~(о1 ась не уточняя коэффициент пропорциональности.
Рис. 44 22! Через площадку з(з за время Ш пройдут все частицы, содержащиеся в объеме цилиндра из(Ыз (и = Ьа — и,)). Согласно (33.1) число таких молекул равно 1 (Оз г, 1) сЬз~ЫЯз. Если умножить это выражение на число мишеней 1(пм г, 1) Йо,Йт, то получим искомое значение числа столкновений з(т, Исходя нз указанных соображений, запишем: з(т = Р (ом оа ~ пм оа ) ~ (пм г, 1) ~ (па, г, 1) ~(пзгЬзз(Ь гЬз зЫ(, (33.! 0) где Р(пз па!им па) = '1 (оа оа)по оа ) !оа — п4 ° Величина Р(пм оз(п1, па) зависит от вида взаимодействия частиц.
Этот параметр определяет вероятность соударения двух частиц с переходом из состояния движения со скоростями о, и оа в состояние движения со скоростями п~ и о,. Число столкновений исследуемого типа за единицу времени равно произведению указанной вероятности на число всевозможных пар, составленных из одной (о,)-молекулы и одной (аз)-молекулы. Таких пар в объеме з(т содержится 1 (оа г 1) 1 (пз г ") ~~пагЬа' т"(т" Поэтому число столкновений за время з(1 оказывается равным пт = з(% (о,, о,~п~, па) 1(о,, г, 1)1(о„г, 1) ипзйоаг1'п(т. Из сравнения с (33.11) имеем: ~"1~~2 ~()" (пз па(оа ~из) — Р (пм оа ~ оп оа) —. (33 11) Нт Для сокращения записей введем обозначения: 6=~(па ° 1) ~ =~( 1) Р"'=Р(" оа(п па) ~,=~(Ъ, 1); 1,,=~(', 1); 3а,=й,(' Теперь соотношение (33.10) примет вид «т = Р1а'ЫагЬа з(о1 зла ФФ.
При каждом соударении в фазовом объеме Щ исчезает одна молекула. Она скачком переходит в элемент фазового объема дда = з(пзз(т. Уменьшение числа частиц за время Л определяется интегрированием по всем возможным значениям п„иь з(из. Если ввести обозначение з(ч для этого числа частиц, то г(т = ЦР!з )!~Ао гЬ! !Ьз ) !(я!Й (33.12) Наряду с процессами переходов типа (о„о,)- (о„о,), разумеется, происходят и обратные им процессы переходов типа (о,, о,)-+- -+ (о„ оз), которые приводят к увеличению числа молекул со скоростью о, в элементе фазового пространства !(д,. Приращение числа частиц мы обозначим через а!т'. Оно выражается формулой гЬ' = (~р !!~,,~! ~~ г)изгЫ, сЬ; ) !(й; г(1, составленной по аналогии с (33Л2).
Увеличение числа (о,)-молекул за время !1! в объеме !(т равно разности !(т' и !(т . Если эту величину (!1т' — !(т ) отнести к произведению фазового объема г(д, на время сй, то получится искомая плотность источников Х. Таким образом, Х =)(р,'з,, ~!,),,— р„'')!(,) Ь.,Ь, Ь,. (33.13) Это выражение называют интегралом столкновений. Следует заметить, что при выводе соотношения (33.!3) учитывались только парные соударения, когда одновременно взаимодействуют не более чем две частицы. Это приближение законно для разреженного газа. 33.3.
Использование принципа детального равновесия В квантовой механике доказывается положение, которое называется принципом детального равновесия (см. задачу 9,1). В одной из своих наиболее простых формулировок этот принцип гласит: вероятность любых прямых переходов системы из состояния а в состояние Ь должна быть равна вероятности обратных переходов — из состояния Ь в состояние а. Данное утверждение следует из принципиальной обратимости микроскопических явлений. На основании принципа детального равновесия должно выполняться равенство (оз, оз ~ о!ю в2 ) ~(( (ц!! оз ~ вг о2) или ! ча Й>, !!! ° ! 2 ~Ь!!!О! [см, (33.! 1) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
