Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по термодинамике (1185092), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ц,(р, т) = пу(р, т). (1) Уравнение кривой фазового равновесия можно записать в дифференциальной форме (уравнение Клапейрона — Клаузиуса): ~р г (р, — р,) (2) 46 Второй закон термодинамики для нестатических процсссов дает возможность установить достаточные условия равновесия макроскопических систем. В зависимости от характера взаимодействия системы с внешней средой эти условия выражаются экстремумом той или иной термодинамической функции состояния.
Удобно записать обшие условия равновесия в виде таблицы: 1пп — (т"т — т'1) = О д т-оо от (6) или 1ип (Яо — 3,) =О. (7) т-оо Теорему Нернста иногда записывают также через максимальную работу А* и тепловой эффект Я реакции: во . лА" Ещ — =! ип — = О. т-оо "т т-оо "т Здесь 1.
— удельная теплота превращения второй фазы в первую; е, и оо — удельные объемы соответственно первой и второй фазы. Условие равновесия физически однородной много- компонентной системы сводится к равенству нулю суммы из произведений химических потенциалов на стехиометрнческие коэффициенты тч для всех веществ, участвующих в химической реакции, т. е.
2'тд; =О. (3) 8 Из равенства (3) можно получить закон действующих масс, согласно которому Нр =)г,, (7), (4) где Кр(Т) — постоянная равновесия. Для гетерогенной (неоднородной) системы, состоящей из л фаз и г компонент, условия равновесия сводятся к равенству химических потенциалов каждой компоненты во всех фазах. С помощью полученных уравнений можно подсчитать число степеней свободы ) равновесной системы. Оно определяется правилом фаз Гиббса: 1=г+2 — и.
(6) Дополнением к первому и второму законам термодинамики является тепловая теорема Нернста, согласно которой Е 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 226. Найдите свободную энергию г', термодинамический потенциал Ф и энтальпню 1 для одного кило- моля идеального газа, считая С» = сопз1. 47 227. Вычислите свободную энергию Р и термолинамический потенциал Ф для идеального газа, у которого теплоемкость Сг = а+ ЬТ (а и Ь вЂ” некоторые постоянные) . 228. Найдите свооодную энергию одного киломоля газа Ван-дер-Ваальса и покажите, что убыль ее при пзотермических процессах равна работе изотермического расширения газа.
229. Найдите термодинамический потенциал Ф и энтальппю ! в переменных Т и Р для одного киломоля газа Ван-дер-Ваальса. Считать, что теплоемкость Ск не зависит от температурьь 230. Запишите энтропию 5 и внутреннюю энергию с' для одного киломоля газа Ван-дер-Ваальса в виде функции от характеристических переменных. Считать, что теплоемкость Сч не зависит от температуры. 231. Найдите свободную энергию Р, внутреннюю энергию У, энтропшо 5 и химический потенциал идеального газа, для которого существует следующая температурная зависимость теплоемкости при постоянном объеме: Ст = гч((Т) (У вЂ” число молекул). 232. Найдите энтропию 5, термодинамический потенциал Ф и свободную энерги|о Е идеального газа, для которого существует следующая температурная зависимость теплоемкости при постоянном давлении: Ср —— т)(Т) (т — число молей).
233. Определите характеристические параметры для эптальпии / и энтропии 5 однородной изотропной системы. 234. Выразите термодинамический потенциал Ф и энтальпию Т одного киломоля одноатомного идеального газа в виде функций характеристических параметров. Считать, что теплоемкость Ск не зависит от температуры. 233. Найдите термическое и калорическое уравнения состояния газа, если известно выражение эптальпии в виде функции характеристических параметров 5 и йч и з зв 1=С роге сл +До где Ср, 5, и Ув — постоянные величины. Получите уравнение адиабаты. 236. Найдите уравнение состояния газа, если для него известна свободная энергия в виде функции характеристических параметров: Р = СгТ (1 — ! и Т) — — — КТ!п ($г — Ь), Т1г где Сю а, Ь вЂ” постоянные величины.
Вычислите внутреннюю энергию газа. 237. Найдите термическое уравнение состояния вешества и внутреннюю энергию, если его свободная энергия известна в виде характеристической функции; Г =(С, — 5,) Т вЂ” С,Т!пт — КТ(п~У вЂ” Ь) — — '+и„ У где Сг, 5м а, Ь, Ув — постоянные величины. 238. Выразите внутреннюю энергию одного кило- моля идеального газа в виде функции характеристических параметров. Считать, что теплоемкость Ст не зависит от температуры. 239. Найдите термическое и калорическое уравнения состояния газа, если его энтропия выражается в виде функции от внутренней энергии и объема: 5 = С 1п (У вЂ” У,) + Я! и $' + (50 — С ! и С ), где С~, Ум 5а — постоянные величины.
240. Определите характеристические функции, если независимыми переменными системы являются: !) давление р и энтальпия 7; 2) температура Т и свободная энергия Р, 241. Определите, какая функция является характеристической, если в качестве независимых переменных системы выбраны температура Т, объем Р и химический потенциал т1. 242. Получите уравнение адиабаты для газа, у которого внутренняя энергия известна как функция характеристических параметров: М Я-~о У=С ~/ сгв сг +~ м где Сю 5м Ув — постоянные величины.
243. Докажите, что для простой системы справедл и во с о отно шеи не: 244. Покажите, что для идеального газа теплоемкость С„не зависит от давления, а теплоемкость С~ не зависит от объема. 245. Докажите, что молярные (или удельные) внутренняя энергия и энтальпия идеального газа являются функциями только температуры.
246. Докажите, что для однородной изотропной системы теплоемкость при постоянном давлении равна С, Т1(д2') Г где 1 — энтальпия. 247. Найдите формулы для вычисления термодинамического потенциала Ф, энтальпии 1 и энтропии Я по экспериментальным значениям коэффициентов Л(Т), В(Т), С(Т), ...
разложения уравнения состояния: р'г'=Л(Т)+В(Т) р+С(Т) р'+ .... 248. Докажите, что для любой однородной изотропной системы справедливо равенство; С,— Сг=Т(агак) ~(~~„.) ~ 249. Пользуясь выражением свободной энергии в характеристических переменных, вычислите разность теплоемкостей С„ — Сг. 1) для идеального газа и 2) для газа Ван-дер-Ваальса. 250. Найдите для равновесного излучения следующие характеристические функции: внутреннюю энергию У, свободную энергию Р, термодинамический потенциал Ф, эптальпию 1. 251.
Для высокотемпературной разреженной плазмы, состоящей из )у электронов и у однозарядных ионов, найдите свободную энергию Е, термодинамический потенциал Ф и энтальпию ! в зависимости от температуры Т и объема Р (см. задачу 215), 252. Вычислите химические потенциалы т! идеаль- ного газа и равновесного излучения. 253. Найдите изменение температуры при адиаба- тическом расширении и сжатии тел, пользуясь харак- теристической функцией в переменных 5 и р'. 254. Вычислите энтропию 5 простой однородной системы, предполагая заданными термодинамическнй потенциал, выраженный в функции р' и Т, и термическая 1 ский коэффициент давления ! — ) . ~ дг), /дФ Х 255.
Выразите производную ~ — ) через энтро- ~ д! )з пию 5, теплоемкость Ср н коэффициент объемного расширения а. 256. Пользуясь методом характеристических функТд! ~ ций, выразите производную энтальпин ~ — ) через р', Ь~), /д!Р ~ /дСр Т и ~ — ) . Затем найдите ~ — ') . ~,дт)р' ~ др )г' 257. Из опыта известно, что резиновый жгут удли- няется при охлаждении, если егв натяжение 7 остает- ся постоянным, т.
е. (дг) <О. Докажите, что жгут нагреется, если его аднабатически удлинить. 258. Стержень длиной ! растягивается под дей- ствием силы !. Считая давление н объем стержня не- изменными, напишите полные дифференциалы свобод- ной энергии Е и термодинамического потенциала Ф, вводя параметры состояния применительно к данной системе. Найдите частные производные Р и Ф, 259. Для упругой пружины, у которой удлинение х при постоянной температуре пропорционально напря- жению г и упругая постоянная А является функцией температуры, найдите свободную энергию Р, энтропию 5 и внутреннюю энергию У как функцию х.
Тепловым расширением пренебречь. 260. Получите зависимость поверхностного натя- жения о от температуры Т для жидких пленок мето- дом характеристических функций. 261. Магнетик помещен в магнитное поле напря- женностью Н и находится под внешним давлением р. б! М=А —. УХ Г (А = сопз(). Вычислите относительное изменение длины стержня при «линейной» магнитострикции. 264. Объясните, почему диэлектрик, вводимый между пластинами плоского заряженного конденсатора, втягивается в конденсатор. 265. Термодинамическая система находится в контакте с тепловым резервуаром, имеющим температуру Тм) равную однородной температуре Т внутри системы.
Докажите, что изменение свободной энергии Х Р системы равно изменению суммы внутренних П энергий системы и теплового резервуара, если тепловой резервуар обменивается теплом только с рассматриваемой системой и над резервуаром не производят внешнюю работу. 266.
Одномерная цепочка состоит из п элементов Рис. 9. (п))1) длиной а каждый (рис. 9), свободно повора. Выведите зависимость между объемной магннтострикг д$'т гдмт цией ~ ) и «пьезомагнитным» эффектом ~ — ) ~дН рр ~др ри для обратимого изотермического намагничивания. Вычислите относительное изменение объема при магнито. стрикции в слабом поле, возрастающем от нуля до Н, считая, что плотность намагниченности постоянна по объему тела. 262. Найдите свободную энергию и энтропию как функции намагниченности М и температуры Т для парамагнетика с магнитной восприимчивостью к. 263. Стержень длиной (, растягиваемый силой (, расположен вдоль магнитного поля напряженностью Н. Из опыта известно для никеля и многих других магнетиков, что при достаточно сильных натяжениях и слабых полях намагниченность стержня дается формулой: чивающихся в соединениях (простейшая модель резины).
Зная энтропию системы 5 как функцию расстояния х между концами цепочки 3 (х) = пй ( !п 2 — — (1 + — ) 1п (1 + — )— 2 ( иа) ( иа)~' покажите, что температурная зависимость натяжения У, которое необходимо для удержания концов на расстоянии х, удовлетворяет уравнению: х !+— 'г' = — — !п ьг ча 2а х ! —— аа Получите отсюда закон Гука для х « па. 6 2. УСЛОВИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 267.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
