Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 72
Текст из файла (страница 72)
е, чем с большего расстояния молекулы рассеивают друг друга) и чем больше относиельная средняя скорость молекул (т. е. чем чаще происходят столкновения люлекул). В соответствии с (1) средняя длина свободного пробега 1 равна 1-- ьт =- =' 1т лп (б) Так как движутся обе сталкивающиеся молекулы, их средняя относительная скорость 1' несколько отличается от средней скорости о отдельной молекулы, и отношение йгф не равно единице. Чтобтгй вычислить это отношение, рассмотрим две молекулы, Л и Л', с относительными скоростями» и»'. Скорость молекулы Л относительно молекулы Л' равна У =-» — »', откуда следует, что у' = — »а -';- » ' — э». »'.
(б). Прн усреднении обеих частей этого равенства следует иметь в виду, что»»'=-О, так как косинус угла между» и»' может принимать положительные и отрицательные значения с равной вероятностью. Поэтому из (6) следует О=- ча+ч' .
Пренебрегая различием между'средним квадратом скорости и квадратом средней скорости (т. е. между корнем из среднего квадрата и средним значением), мы получим приближенное равенство (7а оа -1- гг'. (7) Если все молекулы одинаковы, то и — -и' и (7) сводится к )г=) 2с, (3) после чего формула (5) принимает вид ") ! 'г' ало Уравнение состояния идеального газа позволяет нам выразить п через среднее давление р и абсолютную температуру Т газа. Так как р=лйТ, равенство (9) принимает вид ег (10) 1'Тол ' Таким образом, при заданной температуре средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению газа.
Из формулы (10) легко оценить среднюю длину свободного пробега в газе, находящемся при комнатной температуре (Т-300 К) и атмосферном давлении (р-10ч дан(слР). Взяв типичное значение радиуса молекулы а 10 "сзц мы получим о 12 10-" сма и 1 2 1О 'см. (11) Средняя скорость и молекулы при этих условиях имеет порядок 4 ! 0' см(сек (см. (6.33) или (1.30)), и для среднего времени свободного пробега мы получаем т=-= 5 !О "сек. Таким образом, молекула сталкивается около т ' !0' раз в секунду с другими молекулами; эта частота соответствует микроволновой области электромагнитного спектра. Из (11) мы получаем 1)) д, (12) где г( 10 ' см — диаметр молекулы.
Из неравенства (12) следует, *) Эта формула точнее оценки (!.30) полученной в гл. !, и явчяется точным результатом для газа из молекул в виде твердых сфер, обладающих максвелловскнм распределением скоростей. что газы при обычных условиях действительно являются достаточно разреженными, так что, прежде чем столкнуться с другой молекулой, данная молекула должна пролететь относительно большое расстояние.
8.2. Вязкость и перенос импульса Рассмотрим макроскопический объект, находящийся в жидкости пли газе. Пусть среда, в которую помещен объект, находится а покое и на нее не действуют никакие внешние силы. Если объект находится в равновесном состоянии, он также покоится. С другой стороны, если объект будет двигаться в среде, она не будет в равновесии. Молекулярные взаимодействия, ответственные за установление равновесия, проявят себя в макроскопическнх силах трения, действующих на движущийся объект и вызывающих его торможение.
В хорошем приближении эти силы пропорциональны скорости объекта; они полностью исчезают, когда дви- (, на жение объекта прекращается. Бели- ( ю чина сил трения зависит от свойства иг среды, называемого вязкостью. Е!а один и тот же объект в патоке пли ° ки. т ы, ° «. воде. Соответственно, патока обладает ""' аз и. « кости.
Нккадкжвиск ниже втов клогораздо большей вязкостью, чем вода, скости жидкости действует с си.",ои яы эанмемся теперь боден тОЧным Р ик жидкости ивд клоскоствы исследованием понятия вязкости и попытаемся объяснить микроскопическое происхождение вязкости в случае разреженного газа. Определение козффициенп>а нлзююппи Рассмотрим любую среду (жндкость нли газ) и вообразим в ней некоторую плоскость, нормаль к которой направлена вдоль оси г. Среда ниже этой плоскости (т.
е. на стороне с меньшими значениями г) испытывает некоторую среднюю силу на единицу поверхности (пли среднее наирлжение) Р, со стороны жидкости, находящейся по друтую сторону плоскости. Соответственно из третьего закона Ньютона следует, что на среду выше плоскости действует средняя сила — Р, со стороны среды, расположенной ниже плоскости. Средняя напряженность, нормальная к плоскости, т. е. г-компонента Рс, показывает среднее давление в среде, точнее, Р„=р. Если среда находится в равновесии, т. е.
покоится или движется с постоянной скоростью, то из соображений симметрии следует, что среднее значение сил, действующих параллельно плоскости, равно нулю. Таким образом, Рл„.=б. Заметим, что величина Р,„снабжена двумя индексами. Первый из них отвечает ориентации плоскости, а второй означает компоненту силы, лежащую в этой плоскости *).
*) Всянчина Рк (тде и и т означает х, у идн г) называется тиензовам давления. Рассмотрим теперь простую неравновесную ситуапию„которая заключается в том, что средняя скорость н нашей среды (т. е. макроскопическая скорость потока) неодинакова в разных ее точках. Для конкретности рассх!отрнл! случай, когда составляющая скорости и„ в направлении х не зависит от времени, но величина и„ зависит от г, т. е.
ил=-н, (г). Такое положение может возникнуть, я * если среда заключена между двумя пластинами, находящимися на Г э и -таа — лл™а расстоянии ую причем пластина, для которой г= О, покоится, а пластина с г==!' движется в направя — — — — — — — ленин к с постоянной скоростью " =д и,. С хорошим приближением можи=д а =- а но считать, что слои жидкости, непосредственно прилегающие к Рнс. 8 !. жидкость, ааклюявниая мемау двумя пластииамн Нитяная пластина П '!аСГниаМ, ИЫЕЮТ СКОРОСТЬ ПЛа.
неппдвиюва, а всрапая лвнн.ется со ско- стин. Тогда слои среды между пларастью и„в направления л, таким абрааои, в йсндкоств существует тралиснт стинами бУдрт иметь Разные скорости ил, меняющиеся от О до бии В этом случае среда будет действовать на пластину с тангенциальной силой, стремящейся замедлить ее движение и восстановить равновесную ситуацию. Очевидно, что, вообще, любой слой жидкости, расположенный в плоскости г=-сопэ1, будет испытывать со стороны лежащей выше жидкости тангенциальное напряжение Р,„, т. е.
Р„= —.= средняя сила в направлении х, приходящаяся на единицу поверхности, с которой жидкость под (13) плоскостью денствует на жидкость над плоскостью. Иы уже видели, что в состоянии равновесия, когда и,(г) не зависит от а, сила Р„==О. В нашем неравновесном случае, когда дн„!да~О, следует ожидать, что Р,л будет некоторой функцией от производной пс по г. Эта функция должна обращаться в нуль, когда и не зависит от г. Если производная ди„./дг достаточно мала, то первый член в разложении Р,л в ряд Тейлора может оказаться достаточно хорошим приближением.
Тогда мы имеем линейную зависимость следующего вида: (14) Входящая в эту формулу постоянная у) называется коэффиу)иеншох! еязкости нашей среды. Если с увеличением г величина ди,.!дг возрастает, то среда, находящаяся под слоем г, будет замедлять среду, находящуюся над этим слоем, т.
е. действовать на нее с силой, направленной по — х. Таким образом, если ди„/дг)О, то. Р,„~О. Чтобы сделать коэффициент вязкости у) положительным, в формулу (14) введен знак минус. Из (14) следует, что коэффициент т) имеет в системе СГС размерность г см ' сек ' '). Пропорциональность (14) между силой Р, и градиентом скорости ди„/дг хорошо подтверждена экспериментально для большого числа жидкостей и газов при условии, что градиент скорости не слишком велик.
3 а л| е ч а н и е. Рассмотрим силы в различных сечениях г, действующие в направлении х в простых геометрических условиях рис. 8.4. Среда, рзсположеинзя ниже плоскости г, действует с силой Р, на единицу поверхности среды выше г. Среда, расположенная между слоем г и любым другим слоем г', движется без ускорения. Поэтому жидкость, расположенная выше г', должна действоват~ с силой †Рна единицу поверхности среды, расположенной виже плоскости г'.
По третьему закону Ньютона жидкость, расположенная ниже г', действует с силой Р,„ иа единицу поверхности среды выше г'. Таким образом, в любом сечении, в том числе и на верхней пластине, денствуют равные силы. Так как Ртх является не зависящей от г постоянной, из (14) следует, что ди !да=сопку, а именно дит иа д)г Т иа Р тх = Вычисление коэффициента вязкости для разреженного газа. В простом случае разреженного газа коэффициент вязкости легко вычислить на основе молекулярного рассмотрения. Допустим, что средняя компонента скорости газа равна и„(предположим, что эта скорость мала по сравнению со средней тепловой скоростью молекул) и что их зависит от г.
Рассмотрим некоторую плоскость г=- =-сопз1. Какова молекулярная природа силы Р,„, действующей в плоскости гу Чтобы дать хотя бы качественный ответ на этот вопрос, заметим, что молекулы над плоскостью г на рис. 8.4 имеют несколько большую скорость, чем молекулы, расположенные под ней. Когда движущиеся вверх и вниз молекулы пересекают плоскость г, они переносят с собой и х-компоненту импульса. При этом газ, расположенный ниже плоскости г, получает приращение х-компоненты импульса, так как проникающие сверху молекулы приносят с собой избыток х-компоненты импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
