Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Моль такого газа расширяется квазнстатически, переходя сначала нз состоя- Й ьс ння а в состояние Ь, а затем из Ь в с, как это показано на рис. 7.14. а) Чему равна малярная теплоемкость этого газа при постоянном объеме? б) Чему ранна работа, совершаемая газон на участках а-~Ь'-т? в) Чему равно тепло, поглощенное газом в этих процессах? г) "!ему равно изменение энтропии в этих процессах? 7.6. Изменение энтропии в необратимом лро~(гсвг. Рассмотрим газ задачи 5.8.
Вычислите его навечную энтропию и выразите ее через начальную энтропию, существовавшую до освобождения поршня. Покажите, что изменение энтропии як-5 — З„положительно. 7.7. Условия разновес~и д и системы с постоянным объемом, находящейся в какпикте с тепловым резервуаром. Рассмотрим систему А, внешним параметром которой является ее объем Р, сохраняющийся неизменным.
Система находится в контакте с тепловым резервуаром А', температура которого постоянна н раааа Т . а) Воспользовавшись соображениями, аналогичными высказанным в п, 7.5, покажите, что если система А находится в равновесии, то функция Г == Š— Т'Б Л6=-Р,ЛЛ', ' р ЛЛ'„ где д6 дд)7 ' (П) Величина рт называется химическим яоямнциалаи первой фазы. б) Когда фазы находятся в равновесии, 6 должно иметь минимальное значение.
Прн этом Л6 )юлжно быть равно нулю, если молекула переходит нз одной фазы в другук!. Покажите, что из формулы (1) вытекает следующее условие равновесна: Рч =Ва. (! П) 7.0. Кривая плавления гелия вблизи абсолюглнага нуля. При атмосферном давлении гелий остается жидкостью вплоть до абсолютного нуля температуры, но при достаточна высоком давлении он затвердевает.
Как'обычно, плотность твердого гелия больше плотности жидкого. Рассмотрите кривую равновесия жидл кой и твердой фаз. Каков наклон этой кривой (положительный, отрицательный, нулевой) в пределе Т Ир (У к а з а н н е. Воспользуйтесь поведением энтропии при Т О.) 7.10. Интенсивность аталгнаго лучка, созЭаннаго испарением. При испарении жидкого натрия (Ма), находящегося прн высокой температуре Т, образуется пучок атомов натрия. Жидкий натрий находится в сосуде с узкой щелью, и атомы. выходящие из щели, благодаря эффузии образуют пучок с интенсивностью I.
(Интенсивность 1 равна числу атомов пучка, проходящих через единицу поверхности за единицу времени,) Скрытая теплота испарения моля жидкого Ыа равна !.. Цтобы оценить чувствительность интенсивности пучка к флуктуации температуры сосуда, вычислите относительное изменение интсисинности! 'Я,'АТ) и выразите эту неличину через 5 и Т. 7.11. Лалучгниг низких температур откачкой гиидкагти. Жидкий гелий кипит при температуре Тч(4,2 'К), когда давление его паров равно рг= ! атчасфера, нли 750 мм рт.
ст. При этих условиях скрытая теплота испарения одного моля жидкого гелия рвана Е 85 дж(моль и почти ие зависит от температ)ры. Жидкость помещена в дьюар, который изолирует ее от окружающей среды, находящейся при комнатной температуре. Из.за несовершенства изоляции каждугэ секунду в дьюар проникает некоторое количество тепла Я, что принодит к испарению части гелия. (Мы считаем, что приток тепла (г постоянен и не зависит от колебаний температуры жидкости около значения Т,). 7(ля достижения меньших температур можно уменьшать давление паров Не над жидкостью, откачивая пары с почощью насоса, находящегося прн комнатной температуре Тч.
(;!остигзя насоса, пары Не нагреваются до комнатной техшературьь) Максимальная скорость откачки равна Д'эобъемов газа в секунду н не зависит от давления газа (Это— особенность обычного механического насоса с вращающимся ротором: за каждый оборот он удаляет определенную часть газового обьема.) а) Вычислите минимагшнос давление газа рм, которое мохсно поддерживать с помощью такого насоса над поверхностью жидкости, если приток тепла равен 6.
б) Вычислите температуру жидкости Т, если при давлении рм она находится в равновесии со своим паром. в) Оцените, сколь низкой температуры Тм и давления рн можно достичь па практике, если вы располагаете большим насосом со скоростью откачки 70л!сгл, э приток тепла таков, что производит испарение 50 см' жидкого гелия в чзс (плотность гелия равна 0,145 г!сект). 7.12. Услагиг раинаеггич мгхгду бюзалггь гыражгннаг через химические патгщпиалы. Рассмотрим систему из двух фаз, ! и 2, находящуюся благодаря контакту с соответствующим тепловым резервуаром прн постоянной температуре Т и давлении р.
Полная гиббсовская свободная энергия 6 такой системы при заданных температуре и давлении зависит от числа ЛГ, молекул первой фазы н числа Ь'г молекул второй фазы; таким образом, 6= 6(Л'м ЛГг). а) Покажите с помощью несложнои математики, что изменение Л6 свободной энергии, происходящее из-за небольших изменений ЛИ, и ЛЛ'е числа молекул н обеих фазах, равно в) Воспользовавшись формулой (йб), покажите, что рг=йаг, т. е. равно приходящейся на одну молекулу гиббсовской свободной энергии фазы !.
Результат (П!) совпадает с (й7). 7.13. Условие хиничбского равновесия. Рассмотрим какую-нибудь химическую реакцию, например, 2СОа — '" 2СО+ О,. л!ля унрощеиня записи обозначим молекулу СОа через А,, СΠ— через А, н Оа— через Аа. В этих обозначениях имеем 2Аг — 2Аа+Аа (!) Предположим, шо система, состоящая из молекул А,, А, и А, находится при постоянных температуре н давлении. Пусть Л'г — число молек.л типа г; тогда гнббсовская свободная энергия системы будет занисеть от трех чисел: 6= 6 (Л',, Л',, Л'а). В равновесии С должно иметь минимум, а Лб должно обращаться в нуль, если в соответствии с реакцией П) две молекулы А, превращаются в две молекулы А, н одну молекулу Аа.
С помощью тех же рассуждений, что и в задаче 7.!2, покажите, что условие равновесия имеет вид 2р, =-2ра+ р„, (П) темпсратурон Т, а А' — другов резервуар при температуре Т'. а) Покажите, что если Т'> Т, то переход тепла а! от А к А' сопровождается уменьшением полной энтропии составной системы и что такой переход не может быть, следовательно, резлизован без какой-то А Те дополнительной системы. а б) Если мы отбираем от системы А тепло д и тем самым уменьшаем ее энтропию, нам придется скомпенсировать это уменьшение энтропии, передав ( ) ул системе А тепло д', ббльшее, чем д. Это можно осу- ) / (Ш ществить, заставив некоторую систему совершить работу ш иад механизмом холодильника, работающим в цикле. Этот процесс показан на рис.
7.!б, нз которого становится понятным, почему кухонный холодильник нуждается во внешнем источнике энер гии. Воспользуйтесь понятием энтропии, чтобы по казать, что 7.15. Тепловой насос. Холодильные циклы используются для накопления тепла. Процесс заключается в создании устройства, которое поглощает тепло из окружающей почвы или воздуха вне дача, а затем передает тепло прз более высокой температуре внутренним частям здания.
(Такое устройство называется пмпловмм насосов.) а) Пусть наружная температура равна То, а внутренняя Тп Чему равно максимальное число киловатт-часов тепла, переданное внутрь здания, прихо. Рве. 7ЛЗ. Схема работы ао лоаалышма. 10а называется химическим ложенциалоаь приходнщнмся иа одну молекулу типа 1, 7.14. Холодильник. Холодильником называется устройство, отбирающее тепло у системы А и передающее его другой системе А' при более нысокой абсолютной температуре. Предположим, что А является тепловым резервуаром с дящиеся на ~каждый киловатт.час электрической энергии, затрачиваемой на работу устройства? (У к а з а н и е.
Используйте понятие энтропии.) б) Получите численный ответ для случая, когда наружная температура равна 0 'С, а внутренняя 25 'С. в) Сравните стоимость энергии, необходимой для работы рассматриваемого тепловога насоса, со стоимостью энергии, затрачиваемой на создание того же количества тепла внутри здания с помощью электричссяого обогревателя па сопротивлении. 7.16. Макси.налипая робота, получаечая от двух одинаковых сиппвя. Рассмотрим два идентичных тела, А, и Ах Их теплоечкость С не зависит от температуры. Вначале тела находятся йри температуре Т, и Т, соответственно, прячем Т,> Тз. Мы хотим включить некоторую машину, которая действовала бы между телами А, и А, превращая часть нх внутренней энергии в работу.
В предельном случае долгого действия машины температуры обоих тел выравниваются н стаут Т. а) Чему равно поляое количество й? работы, произведенной машиной? Выразите ответ через С, Т,, Тх и Тр б) Воспользовавшись понятием энтропии, пол) чите неравенство, связывающее Т? с начальными гемпературамн Т, и Тм в) Чечу равна максимальное количество работы, когор)то может совершить машина при данных начальных температурах Т, н Тл? 7.17. Машггпа Карно с идаглькьш саэюг. Мы хотим рассмотреть один из способов осуществления идеальной машвны, которая может за цикл своей работы отнять у некоторого резервуара, находящегося прн температуре Т, тепло у, передать другому резервуару А' при меньшей температуре Т' тепло уЧ и совершить полезную работу ш=-у — 4'.
Простейшен из таких машин является магпнна (впервые рассмотренная Сади Карно в !824 г,), работающая квазистатическн. Ее цикл состоит из четырех этапов, которые переводят машину из начального состояния а в состояние Ь, с, д и обратно в а. Р Машана состоит из ч молви идеального газа, заключенного в цилиндр, закрытый поршнем.
Объем газа обозначим через У, среднее давление через р. Рассмотрим последовательно четыре этапа работы машины. С Этап ! (а о). Машина термически изоли— — Т рована и находится при температуре Т'. Ее объем медленно уменьшается от начального значения У до конечного значения 1'ь, прн И котором температура машины равна Т. Згап 2 (О с).
Машина находится в теп- ловом контакте с резерв>аром А прн темпеонс. т.ш. счнмн нннлн Карно н Ратуре Т. Ее объем медленно изменяется от ув ье емннньк ннннн лннлгнне и 'то )гг Оставаясь прн постоянной температуре нгн,нм г ' Т,машина забирает от резервуара А неко~орое количество тепла а. Этап 3 (с кй. Машина снова термически изолирована. Ее объем продолжает медленно возрастать от Рв до Ув. При объеме (гв температура машины равна ! Этап 4 (д а). Машина приводится в тепловой контакт с резервуаром А' при температуре Т'.
Ее объем медленно уменьшается от Ул до начального значения У ; прн этом машина остается при температуре Т' н передает резервуару А' тепло у'. Ответьте на следующие вопросы. а) Чему равно тепло у, поглощенное на этапе 2? Выразите у через Уь, У, и Т. б) Чему равно тепло у', отданное на этапе 4? Выразите у' через(гв, У и Т'.
в) Вычислите отношения Уь(У на этапе! и Ув((г,на этапе 3 и найдите, как эти отношения связаны друг с другою? г) Воспользуйтесь ответом на предыдущий вопрос, чтобы выразить отношение 4?д' через Т и Т'. 292 д) Вычислите коэффициент полсзкого действия 11 машины и покажите, что он находится в согласии с общим результатом (109), пригодным для любой квазистатической машины. 7.18. Коэффициент полезного дайсшлня бензинового двигателя.
Рабочая смесь бензинового двигателя состоит из воздуха, к которому добавлено небольшое количество бензина. Смесь находится в цилиндре, закрытом поршнем. Рабочий цикл такого двигателя схематически показан на рис. ?.17, где (7 обозначает объем, а р — среднее давление рабочей смеси. Участок а Ь соответствует адпабатпческому сжатию смеси, Ь с — возрастанию давлеипя нз-за взрыва рабочей смеси, Рне. 7 !7. Упрошепнан съема рвбаам бела~ ноево яшилела в перешннмл: ерелнее давление р, объем происходящего при постоянном объеме (взрыв происходит очень быстро и порпгеиь не успевает сместиться), с-ае( — адиабатическому расширению газа, в течение которого производится работа смещения поршня, н Ы- а — конечному охлаждению газа при постоянном объеме на заключительном этапе цикла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
