Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Точно так же газ, расположенный над г, теряет свой импульс из-за того, что проникающие снизу молекулы приносят уменьшенную х-составляющую импульса. По второму закову Ньютона сила, действующая на систему, равна скорости изменения импульса системы. Поэтому сила, с которой газ под плоскостью действует на газ над плоскостью, равна изменению за единицу времени импульса газа над плоскостью, вызванному газом под плоскостью. Таким образом, сила Р, из (13) равна Р,х--=среднему возрастанию за единицу времени и на единицу поверхности площади х-компоненты импульса газа над плоскостью, вызванному перено- (15) сом импульса молекулами, пересекающими эту плоскость.
') Эта комбинация единиц носит название луизи в честь физика Пукзейля. 801 П о я с н я ю щ е е з а м е ч а н и е. Чтобы пояснить механизм вязкости переносом импульса, приведем следующую аналогию. Пусть два железнодорожнык вагона движутся рядом по параллельным путям, причем скорость одного вагона больше скорости другого.
Представим себе, .что грузчики из каждого вагона занимаются тем, что перебрасывают ящяки с пескам на соседний вагоя. Это перебрасывание вызывает перенос импульса, при котором более медленный вагон будет испытывать ускорение, а более быстрый — замедление. Средняя компонента импульса, пере-ч носимая в единицу времени через ! единицу поверхности плоскости г ~ б '"('и"а( )1 в направлении снизу вверх, (! 5) Точно так же, рассл~атривая молекулы, перссскаюгцие плоскосп сверху, где координата их последнего столкновения была (1-, 'а), лгы лкажем написать; | Средняя х-компонента импульса, пе-- реносимая в единицу времени че- ! рез единицу поверхности в направ- = б поь1шп.(з+М.
ленни сверху вниз, (17) Вычитая (17) из (16), мы получаем окончательное среднее значение х-компоненты импульса, перенесенной молекулами через единицу поверхности плоскости г за единицу времени, т. е. напряжение ') Чтобы избежать путаницы, запомним, что символы и„(г — 1) не означает произведение; это среднее значение скорости и„ в плоскости (г — 1). пой Чтобы оценить величину коэффициента вязкости, допустим, что все молекулы газа движутся с одинаковой скоростью, равной их средней скорости и. Одна треть из всех находяигихся в единице объема и молекул имеют составляющие скорости, направленные вдоль оси г; у половины этих молекул ~1 „- скорости направлены вдоль -!-г.
а у другой половины вдоль — з. ! Я-пй Рассмотрим плоскость, обозначеп— †-- — — — — — ную буквой г. За единицу времена(х 111 ни единицу поверхности этой плоо . ьл мп аул . псг, »щс скости пересечет (!16) лп молекул пласй ость, псумсссалюпт пспсьос пппульса. снизу и (116) пп молекул сверху. Из определения среднего свободного пробега 1 следует„что молекулы, пришедшие снизу, испытали последнее столкновение на расстоянии 1 под плоскостью, а молекулы, пришедшие сверху,— на таком же расстоянии 1 над плоскостью.
Так как средняя скорость пз = -. из(г) зависит от координаты г, то молекулы в плоскости (г — 1) будут иметь среднюю х-компоненту скорости ис(г — 1). Каждая такая молекула с массой и переносит через плоскость среднюю а- компоненту импульса ши„(г — 1). Мы приходим к следующему н.зводу *): Р„, определяемое в (15) или (13). Итак, ! ! Р„= — по тии (г — !) — — „по ти, (г+ !), пли Р,„=- —, пот (и„(г — !) — и„(г+ !)].
(18) Так как средняя длина свободного пробега ! весьма мала (по сравне- нию с расстояниями, на которых градиент скорости ди„(дг меняется заметным образом), мы можем с хорошим приближением записать так: дии и (г — , '!) = и„. (г) + —" 1, дии ! дг и (г — !) ---и„(г)— Таким образом, ! — ! ди„.) Р =- -; !!ит — 2 —" () 6 ( дг ди„ дг (19) !.де Г ! !! ---- иитц (20) 1(з формулы (!9) следуе!, по Р,„действительно пропорпиоиально ! радиенту скорости ди„(дг, что согласуется с (14). Кроме того, формула (20) выражает коэффициент вязкости и через молекулярные параметры, характеризующие свойства газовых молекул. Наши вычисления имели весьма упрощенный характер.
Мы не пытались вычислять средние значения различных величин. Поэтому множителю '(„в формуле (20) не следует придавать большого значения. Коэффициент пропорциональности, полученный при более т!цазеи!ьных расчетах, может иметь несколько другое значение. Заметим, однако, что полученная нами зависимость коэффициента вязкости.от молекулярных параметров п, т, и и ! должна быть верной. Обсуждение.
Из формулы (20) следует ряд интересных предсказаний. Найдя п из выражения (9), (21) )'2 ии и подставив его в (20), мы получим следующее выражение для тп (22) з )'г которое уже не содержит п. Приближенное значение и можно получить из теоремы о равномерном распределении: 2 — йТ вЂ” то' = — пТ', или и„'. = — . з х— Но — — — — — зьт о' =- о -1- сд + о,' = — Зо*„:=— так как о,'=с~=о,' из соображений симметрии. В приближенных вычислениях этой главы мы можем не делать различия между средней скоростью и и корнем из среднего квадрата скорости (о') и.
Поэтому с достаточной степенью точности можно положить о- )/ —. (23) (24) где величина й оч* характеризует диаметр молекулы. 2) С другой стороны, мы предполагали, что газ достаточно плотен, так что молекулы гораздо чаще сталкиваются друг с другом, чем со стенками сосуда. Зто предположение означает, что и настолько велико, что 1<~ 1., (25) Независимо от точного значения коэффициента пропорциональности в (23), средняя скорость молекулы зависит только от температуры Т, но не от и — числа молекул в единице объема.
Таким образом, коэффициент вязкости (22) оказывается не зависящим от и. При данной температуре Т он не зависит также и от давления газа р=-пйТ. Мы получили замечательный результат, показывающий, что в ситуации, изображенной на рис.
8.4, тормозящая сила, с которой газ действует на движущуюся верхнюю пластину, будет одной и той же, независимо оттого, равно ли давление газа между пластинами ! лм нли, например, 1000 мм рт. ст. На первый взгляд этот вывод кажется странным, так как интуипия подсказывает нам, что тангенциальная сила торможения в газе должна быть пропорциональна числу газовых молекул, переносящих импульс с одной пластины на другую. Следует, однако, иметь в виду, что прн этом средняя длина свободного пробега уменьшается и молекулы переносят импульс с расстояния, составляю~пего только часть первоначального.
Поэтому конечное значение перенесенного импульса остается неизменным. Независимость вязкости ц газа от плотности (при постоянной температуре) была предсказана Максвеллом в 1860 г. и экспериментально подтверждена им же. Очевидно, что этот результат не может оставаться справедливым для произвольно большого интервала изменения плотности газа. Действительно, при выводе формулы (20) мы сделали два допущения: 1) мы предполагали, что газ достаточно разрежен для того, чтобы можно было полностью пренебречь одновременным столкновением трех или большего числа молекул.
Мы ограничились рассмотрением двух молекул. Зто ограничение допустимо, если плотность молекул достаточно мала, т. е. гдето — наименьший линейный размер сосуда. (Например, на рис. 8.4- ь — расстояние между пластинами.) В предельном случае полного вакуума н 0 тангенциальная сила, действующая на движущуюся пластину (рис. 8.4), должна исчезнуть, так как в этом случае нет газа, который переносил бы импульс.
Если и настолько малб, что условие (25) не выполняется, вязкость должна уменьшиться и стремиться к нулю по мере дальнейшего уменьшения и. Действительно, если средняя длина свободного пробега (21), связанная со столкновением с другими молекулами, становится больше размера сосуда й, молекула будет преимущественно сталкиваться со стенками сосуда, а не с другими молекулами.
Эффективное значение средней длины свободного пробега молекулы в этих условиях становится приблизительно равным й (велнчяна ( больше не зависит от числа молекул газа в сосуде) и коэффициент вязкости т) в (22) оказывается пропорпиональным плотности и. Заметим, однако, что область плотностей, где условия (24) и (25) удовлетворяются одновременно, весьма велика. Действительно, в обычных макроскопических опытах й)~ и'. Таким образом, коэффициент вязкости газа ~) не зависит от давления в весьма значительном интервале давлений.
Обсудим теперь зависимость коэффициента вязкости г) от температуры. Если молекулы похожи на твердые шары, то поперечное сечение о, определяемое равенством (2), будет числом, не зависящим от Т. В этом случае из (22) следует, что ч зависит от температуры так же, как и щ т. е. (26) чх тп2 В общем случае оказывается, что о зависит от средней относительной скорости Р молекул. Так как РиТ"*, то о оказывается зависящим от температуры. В результате зависимость Ч от температуры оказывается более сильной, чем в (26): т) приблизительно пропорционально Т"", Качественное объяснение такой зависимости заключается в том, что, кроме больших и короткодейсгвующих сил отталкивания, между молекулами действуют проявляющиеся на относительно больших расстояниях слабые силы притяжения. Эти силы увеличивают вероятность рассеяния молекулы, но с увеличением температуры эффективность действия этих сил уменьшается, так как средняя скорость молекул возрастает и те же силы вызывают меньшее отклонение.
Поэтому поперечное сечение рассеяния несколько уменыипется с увеличением температуры н, соответственно, вязкость г), которая в модели твердых шаров и Тч*(а, в действительности возрастает с температурой быстрее, чем Т'~*. Обратим внимание на то, что с увеличением температуры вязкость газа растет, в отличие от вязкости жидкости, уменьшающейся с увеличением температуры. Причиной такого различия является близость молекул жидкости: передача импульса через данную плоскость в жидкости происходит не только из-за перехода молекул, мо и благодаря непосредственному взаимодействию молекул, находящихся по обе стороны плоскости.
В заключение оценим порядок величины т) для обычного газа при комнатной температуре. Для азота (Хт) т=28/(6 10'")= =-4,7.10 "г, и средний импульс молекулы азота при комнатной температуре Тв 300' К равен ти т'йт'ЪпИТ == 2,4 10 '" г слй сек '. Диаметр молекулы азота близок кд-2.10 " слт, откуда о пбгаж -1,2.!О " сч". Из (22) получаем следующую оценку для т1: 1 пао — 5 1О ' г см-'сей '. ау'2 и У влйг 1 )Уб и (27) 8.3.
Теплопроводность и перенос энергии Определение коэффий(цента теплттрсеодности. Рассмотрим вещество, в котором распределение температуры не является однородным. Допустим, иапримсо, что температура зависит от координаты г, так что Т=Т(г), Наше вещество не р' гну',~~у «,Я2 находится, таким образом, в равновес~~~г иом состоянии, и стремление к,достижению равновесия проявится в суще- в †††---4-- †--- ствовании потока тепла, направлен)ие ного от участков вещества, обладаю- 1 щих высокой температурой, к участкам с низкой температурой. Рассмот- ®',,.~~ рим плоскость г=сопз1, гдс Т=-Т(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
