Реале Дж._ Антисери Д. Западная философия от истоков до наших дней. 4 том (1184484), страница 70
Текст из файла (страница 70)
п.). Вторая фаза — так называемый арифметический анализ, в рамках которого теориядействительных чисел сведена к теории натуральных чисел. Исследования Вейерштасса, Кантора и Дедекиндапоказали, что теория действительных чисел со всеми ее конструкциями точным образом вытекает из понятия исвойств натуральных чисел.Натуральное число, показал Леопольд Кронекер, есть «изначальный материал» и основание математики.
Вматематике, говорил он, все — творение человека, за исключением натуральных чисел: «они сотвореныГосподом». Однако другие математики рассмотрели возможность углубить понятие натурального числа, привестиего к более фундаментальному. Возникли два направления поисков.Дж. Реале и Д. Антисери. Западная философия от истоков до наших дней. От романтизма до наших дней (4) —Издательство «Пневма», С-Петербург, 2003, 880 с, ил.Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru144Готлоб Фреге (1848—1895) в работе «Основания арифметики» (1884) свел арифметику к логике, а натуральноечисло — к комбинации чисто логических понятий.
«Я стремился сделать правдоподобным тот факт, чтоарифметика — ответвление логики, и нет никакой нужды выводить ее из опыта или чистого созерцания в качествеоснования доказательств». Простейшие законы исчисления раскрываются чисто логическими средствами. Такпроизошел переход от «арифметизации анализа» к «логизированной арифметике», продолженный позжеБертраном Расселом. Кантор, сведя логику к теории множеств, открыл дверь в математику с беспрецедентнойдоселе унифицирующей потенцией.Однако стараниями Эвариста Галуа (Е. Galois, 1811—1832) (гениального математика, убитого в двадцать одингод на дуэли при странных обстоятельствах), блистательно решавшего алгебраические Уравнения, ДжорджаПикока (G.
Peacock, 1791—1858), Уильяма Гамильтона (W. R. Hamilton, 1805—1865), Артура Кэли (A. Cayley,1821—1895), Германа Грассмана (H. Grassman, 1807—1877), Джорджа228 Развитие наук в XIX векеБуля (G. Boole, 1815—1864) была создана абстрактная алгебра. Традиционная логика терминов (в частности,силлогистическая) преобразована в алгебру уравнений.
Переосмыслив «универсалии» Лейбница, Буль создал«алгебру логики», получившую дальнейшую разработку в трудах Джевонса (VV. S. Jevons), Шрёдера и Пирса (см.главу «Прагматизм»). Так логика стала символической логикой в качестве раздела математики.Фреге, поставивший вопрос о строжайшем контроле над математическими доказательствами, видел вматематике не просто основание различных частных теорий, но также инструмент построения строго научногоздания математики. Что значит «строго научное», Фреге в «Основаниях арифметики» пояснил так: «Можносослаться на мнение Евклида, считавшего, что нельзя претендовать на то, чтобы все было доказано, ибо этоневозможно. Однако можно требовать, чтобы все недоказанные положения были четко объявлены какнедоказанные, чтобы не было сомнений, на чем основана вся конструкция.
Необходимо, кроме того, пытатьсясделать минимальным число исходных законов, делающих доказательным то, что можно доказать. Идя дальшеЕвклида, я требую, чтобы все применяемые дедуктивные процедуры были предварительно объяснены. Впротивном случае первое требование нельзя удовлетворить надлежащим образом... Аргументация моей концепцииимеет характер исчисления в том смысле, что общий алгоритм, т. е. комплекс правил, определяет переход отодного положения к другому так, что ни один из членов, не обоснованных ими, не принимается. Я намеренреализовать дедукцию, свободную от нестрогих моментов, с максимальной логической точностью, более того,ясную и краткую».
Логицистская программа Фреге будет продолжена Расселом и Уайтхедом. Но следует отметить,что первоначальная классическая аксиоматизация арифметики была предложена Джузеппе Пеано (1852— 1932) иДедекиндом, понимавшими логику как мощный инструмент построения строго математического знания.3. ФИЛОСОФСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИОткрытие неевклидовой геометрии Лобачевским (1826) внесло коренные изменения в представления о природепространства. Важными событиями отмечено развитие геометрии на рубеже XIX— XX веков. Начиная сшестидесятых годов прошлого столетия, открытия в области геометрии становятся общематематическимНеевклидова геометрия 229достоянием.
Это хорошо видно из известной «эрлангенской» программы, предложенной Феликсом Клейном(1849—1925) в 1872 г., согласно которой разделы геометрии (метрической, проективной) иерархично соподчиненыпо степени обобщения. Не имея возможности подробно останавливаться и даже частично осветить множествоважнейших проблем развития математики и геометрии этого периода трансформации, отметим все же некоторыемоменты философского плана. Созерцание было элиминировано из новых геометрических теорий: аксиомыперестали быть «очевидными истинами».
Их заменили простые и чистые «начала», конвенционально выбранныекак исходные моменты. Если аксиомы считаются верными, будут истинны и теоремы, корректно выведенные изних, что гарантирует истинность системы в целом.Возникает вопрос: если аксиомы суть чистые постулаты в качестве исходных моментов рассуждения, то что икак страхует систему в целом? Дедуцируя теоремы одну из другой, можем ли мы быть уверены в том, что,споткнувшись об одно противоречие, система не опрокинется вместе со всем, что в ней построено? Вопрос далеконе праздный, ведь неевклидова геометрия основывается на тезисе, что истинность теории — в еенепротиворечивости.
Это исходное положение «формалистической» программы Давида Гильберта (1862—1943),потерпевшей, как известно, крушение. Неудача постигла и теорию множеств Кантора из-за внутренних антиномий.С открытием неевклидовых геометрий идея несомненных и самоочевидных истин (аксиом) была отвергнута. Взависимости от начальных принципов доказательств и их характера, проведено разделение геометрии наматематическую и физическую.
Первая исходит из предпосылки, что отношениями с объектами внешнего мираможно пренебречь. Вторая становится разделом физики и пытается особым образом рационализироватьпространственный опыт. Так проблема истинности геометрических положений срастается с проблемойматематической истины, которая сводится к набору логических следствий из аксиом, понятых как «конвенции»,соглашения.Концепция аксиом-конвенций, вытекающая из неевклидовой геометрии, повлекла за собой массу проблем.Пока под аксиомами подразумевали принципы объективной истины, когерентность системы была гарантирована.Корректная дедукция из истинных посылок порождает только истинные следствия, а две истинные пропозиции немогут противоречить друг другу. Но когда снят вопрос об истинности и ложности исходных положений, какможно исключить (даже при максимально корректной дедукции) появление противоречий?Другая проблема, проблема полноты, состоит из двух подпроблем.
Есть полнота синтаксическая и полнотасемантическая. Можно лиДж. Реале и Д. Антисери. Западная философия от истоков до наших дней. От романтизма до наших дней (4) —Издательство «Пневма», С-Петербург, 2003, 880 с, ил.Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru145230 Развитие наук в XIX векепоручиться, что выбранные для определенного метода исчисления аксиомы обладают доказательной силой длявсех пропозиций? Это подпроблема синтаксической полноты. Что касается семантической полноты, то еслигруппу аксиом мы используем для формализации определенной теории (например, Ньютоновой механики), гдегарантии того, что не существует вполне истинных положений, которые недоказуемы в рамках данной группыаксиом?Помимо упомянутых проблем когерентности и полноты есть еще проблема независимости аксиом.
Откудаизвестно, что некая аксиома дедуктивно не получена из комплекса других аксиом той же или иной системы? Этитри проблемы когерентности, полноты и независимости были затушеваны в классической геометрии. Однако соткрытиями Лобачевского и Римана они встали со всей остротой. Особенно острой стала проблема когерентности(согласованности), ибо в формальной системе разрыв связи означает крах системы (из нее можно выводить все чтоугодно, включая отрицание аксиом). Кроме того, доказательства полноты и независимости невозможны бездоказательств когерентности. В XX веке ученые (например, Давид Гильберт) попытаются решить эти проблемы.Но Курт Гёдель похоронит позднее не одну надежду на скорое разрешение этих проблем.4.
СУДЬБА ЭВОЛЮЦИОННОЙ ТЕОРИИ4.1. Споры об эволюции во Франции: Ламарк, Кювье и Сент-ИлерСо времен Анаксимандра эволюционная идея не покидала западную научную мысль. Тем не менее только впрошлом столетии она продемонстрировала свою силу и плодотворность. Помимо креационизма, согласнокоторому природа, управляемая Творцом, порождает разные живые существа, за исключением человека, быладостаточно распространенной теория неизменяемости видов.
Растения и животные, сотворенные Богом, скореевсего, до сотворения человека, пребывают неизменно такими же, размножаясь путем самовоспроизводства. Авторэтой теории, великий Карл Линней (1707—1778), предпослал своей биномной номенклатуре (и сегодняиспользуемой в ботанике и зоологии) слова: «Species tot numeramus quot in principio creavit infinitum ens» («Мынасчитываем столько видов, сколько вначале сотворило Бесконечное Существо»).Споры об эволюции во Франции: Ламарк, Кювье и Сент-Илер 231В 1809 г.
Жан Батист Пьер Антуан Моне, более известный как шевалье де Ламарк, написал в своей «Философиизоологии»: «Природа, последовательно производя виды животных, начиная от простых и несовершенных изаканчивая самыми совершенными, постепенно усложняла свою организацию, распространяя животных во всеуголки земного шара, и каждый вид испытал влияние обстоятельств, отчего образовались известные нам привычкии модификации различных органов, о чем свидетельствуют наблюдения».«Не форма тела или его частей дает начало привычкам и образу жизни животных, — полагал Ламарк, — анаоборот, привычки, образ жизни и другие обстоятельства со временем конституируют форму тела животного иотдельных его частей. Новые формы и новые способности сформировали животных такими, какими мы их сегоднявидим».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
