Новая философская энциклопедия В 4 томах. Том 1 (1184478), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Здесь сомнения поповоду принятия аксиом бессмысленны;67АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ2) некоторая эмпирическая гипотеза, если под дальнейшими рассуждениями понимается, к примеру, систематически развиваемый на ее основе раздел физики. В этом случае причина принятия аксиомы — вера в закономерностьприроды, выражаемую данной гипотезой. Здесь сомненияпо поводу принятия аксиомы не только осмысленны, но ижелательны;3) соглашение понимать термины, участвующие в формулировке некоторого суждения, как угодно, но все-такитаким образом, чтобы при этом понимании рассматриваемая формулировка выражала истинное суждение. Это готслучай, когда под дальнейшими рассуждениями понимается вывод заведомо истинных следствий из неоднозначнопонимаемого исходного суждения.
Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы бессмысленны. Когда такого родааксиому используют в рамках научной теории, ее часто называют постулатом значения;4) утверждение, оцениваемое как необходимо истинное(аподиктическое), если под дальнейшими рассуждениямипонимается какая-либо систематически развиваемая доктрина, претендующая на совершенство в эпистемологическом отношении (геометрия Евклида, метафизика Декарта,этика Спинозы, наукоучение Фихте, математика Гильберта и т. д.). В этом случае причина принятия аксиомы —свидетельство специальной познавательной способности(интуиции) к непосредственному усмотрению некоторых(называемых часто самоочевидными) истин.
В рамках указанной претензии сомневаться в аксиомах абсурдно, новопрос об оправданности самой этой претензии — однаиз самых глубоких и открытых проблем философии.К. Ф. СамохваловАКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ - см. Множеств теория.АКСИОМА ВЫБОРА — см. Множеств теория.АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ - теория, организованная (построенная) согласно аксиоматическому методу.Первой такой теорией была эллинская геометрия («Начала» Евклида), заложившая традиции, которым следовалипо существу два тысячелетия. Аксиологическая теорияЕвклида была содержательной — пространственная интуиция и логика выступали в ней на равных правах. Лишьв конце 19 в.
эта традиция была нарушена (М. Пасш и Д.Гильберт). Хотя содержательной аксиоматике до сих порстараются следовать в неформализованных теориях (напр.,общая систематика А. А. Любищева), в математике перешли от содержательной аксиоматики к модельной и далее к формальной.
В модельной аксиоматической теориисвойства описываемых объектов выражаются на математическом языке с использованием некоторых стандартныхматематических понятий, напр. Понятия числа. Таковы, вчастности, современные аксиоматические изложения механики, электродинамики (законы Максвелла) и теорииотносительности.
В формальной аксиоматической системеточно определены и язык, и правила вывода, и аксиомы.В принципе такая система не содержит никаких внешнихссылок (в том числе на смысл изучаемых в ней объектов)и является исчислением, с которым можно оперироватьчисто механически. Но необходимо помнить, что в математических науках принципиальная возможность всегдаозначает практическую невозможность либо нецелесообразность. Поэтому с формальной аксиоматикой всегдаманипулируют на основе некоторой интерпретации, обращаясь с формальной системой как с модельной.
В данномслучае преимуществом формальной системы является возможность в любой момент опуститься на уровень формального манипулирования для перепроверки результатов. Ещеодним преимуществом формальных аксиоматик являетсявозможность нескольких разнородных классов моделей,позволяющих взаимно перепроверять полученные выводы,не опускаясь до чисто формального манипулирования. Таким свойством обладает, напр., интуиционистская логика.Н.
Н. НепейводаАКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - метод построения теорий, в соответствии с которым разрешается пользоваться вдоказательствах лишь аксиомами и ранее выведенными изних утверждениями. Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит кразличению аксиом не только по их формулировкам, но и поих методологическим (прагматическим) статусам. Например,аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов.
Иногда это различие в статусахотражается в названиях аксиом (в современных аксиоматикахдля эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют частот. н. Постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а древние греки делили геометрические аксиомына общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Вообще говоря, учет статусов аксиомобязателен, так как можно, например, изменить содержаниеаксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус,объявив, скажем, одну из них новым постулатом значения.Аксиоматический метод был впервые продемонстрированЕвклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы, постулата и определения рассматривались уже Аристотелем.
В частности, к нему восходит толкование аксиом как необходимыхобщих начал доказательства. Понимание аксиом как истинсамоочевидных сложилось позднее, став основным с появлением школьной логики Пор-Рояля, для авторов которойочевидность означает особую способность души осознаватьнекоторые истины непосредственно (в чистом созерцании,или интуиции). Между прочим, убеждение Канта в априорном синтетическом характере геометрии Евклида зависит отэтой традиции не считать аксиомы лингвистическими соглашениями или предположениями. Открытие неевклидовойгеометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причем сразу целых ихсемейств (напр.,р-адические числа); появление переменныхструктур вроде групп; наконец, обсуждение вопросов типа«какая геометрия истинна?» — все это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумоврассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений.
Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Это развитие аксиоматического метода становится особенно наглядным присопоставлении «Начал» Евклида с «Основаниями геометрии»Д. Гильберта — новой аксиоматики геометрии, базирующейся на высших достижениях математики 19 в.68АКТ И П О Т Е Н Ц И ЯК концу того же века Док. Пеано дал аксиоматику натуральных чисел.
Далее аксиоматический метод был использовандля спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщени на логику. Гильберт сформулировал аксиомы и правилавывода классической логики высказываний, а П. Бернайс —логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик иновых алгебраических понятий. В последние десятилетияпо мере развития моделей теории аксиоматический методстал в почти обязательном порядке дополняться теоретикомодельным.Н.
Н. НепейводаАКТ И ПОТЕНЦИЯ (лат. actus et potentia, перевод греч.ενέργεια και δύναμις — действительность и возможность) —понятия философии Аристотеля, используемые им для разрешения противоречия между гераклитовским принципомабсолютного становления и учением Парменида, согласнокоторому бытие не может возникнуть ни из бытия, так какуже существовало бы до самого себя, ни из небытия, таккак ничто не может возникнуть из ничего; согласно Аристотелю, становление есть переход из сущего потенциально(т.
о. не-сущего актуально) в актуально сущее. Понятия актаи потенции можно прояснить прежде всего через примерыс движением (Met. 1048a). Однако движение дает толькопервое представление об акте, поскольку оно является незавершенным и прекращающимся при достижении цели процессом; от акта-движения отличается акт-энтелехия, завершенная деятельность (напр., видеть — значит уже увидеть;Met. 1048b).
Т. о., понятия акта и потенции употребляютсяна различных уровнях анализа не в одинаковом смысле(1048Ь5), и потенция в соотношении с актом-движением отличается от потенции в соотношении с актом-сущностью.Аристотель различает потенцию: (1) деятельную, (2) страдательную, (3) перехода в иное и (4) пребывания (Met. 1019а32 —1019Ь5). Потенцию в метафизическом смысле следует отличать от логической потенции (называемой в схоластикеpossibilitas) (Met.
1019b22—33). Понятия акта и потенциисоотносятся понятиями формы и материи (см. Форма иматерия). Однако потенцией обладает не любая материя, атолько та, что содержит возможность возникновения в себесамой: так, не земля является потенцией человека, а семя(Met. 1048Ь39 — 1049а18).
Акт является первичным по отношению к потенции и по определению, и по субстанции, ив строгом смысле по времени (Met. 1049b — 1050а). Различное соотношение акта и потенции в вещах определяет ихонтологическую иерархию. Действительное сущее являетсяпричиной актуализации сущего в возможности; вечное движение небесных тел представляет собой чистый акт, хотяоно обладает потенцией к акцидентальным изменениямотносительно места (Met.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
