Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (1184475), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Форматистское обоснование покоится на лопушении, что непротиворечивость формализма, будучи доказанной, гарантирует полную надежность содержательной теории. Успех формалистского обоснования обеспечивается, очевидно, надежностью метатеоретического доказательства. Гильберт формулирует ряд требований к метагеории, которые известны как принципы гильбертовского финитизма. Они могут быть сведены к положениям, согласно которым метатеория является: ! ) синлгаксической в том смысле, что опа имеет дело только со знакавой структурой теории и с преобразованиями, лопустимыми в этой структуре.

Строгое метатеоретическое обоснование непротиворечивости теории — это обоснование, апеллирующее только к синтаксису теории и не использующее никаких допущений о содержании се понятий и принципов; 2) содержательной, поскольку она относится к конкретному формализму как к своему единственному прелмсту и в своих внелогических предпосылках не выходи~ за пределы описания его самоочевидных свойств; 3) финилгной„ибо она не имеет дела с операциями с бесконечными множествами и с математическими принципами, связанными с допущением актуальной бесконечности; 4) конпирукглдвной в том смысле, что всякое утверждение о существовании объекта в ее рамках должно быть подтверждено процедурой его построения.

Легко видеть, что все эти требования являются необходимыми лля метатеории с точки зрения понятия строгости, сформировавшегося в начале века под влиянием лопшистского и интуиционистского анализа проблемы. Часто указывается, и в определенном смгясле это верно, что Гильберт не дал полного опрелеления метатеории, устраняюше1 о всякие колебания относительно возможного ее содержания. Методологический замысел Гильберта. однако, совершенно ясен.

Он состоит в том, чтобы ограничить метатеоретическое рассуждение таким образом, чтобы оно гарантировало его абсолютную достоверность. Метатеория должна быть способной доказывать непротиворечивость формализованных теорий, а следовательно, и непротиворечивость соответствующих им содержательных теорий, независимо от их содержания. Гильберт также считал, что метатеория лолжна включать в себя только математически определенные понятия. Речь идет здесь о требовании, кото- 54 1. Язгстособккие проблемы математики рос получило в дальнейшем название принципа отделения оснований от философии.

Это положение означает, что выделение принципов метатеории должно совершаться только на основе математических критериев. Принимая факт априорности элементарной математики, Гильберт отождествляет априорность с финитностью и формулирует требование финитности в качестве основного критерия для метатеории. Мотив этой замены ясен: требование финитности является математическим и предположительно более определенным, чем философское понятие априорности. Гильберт не допускает в рамках метатеории принципов и терминов философского характера, не имеющих адекватного математического представления. Программа Гильберта была поставлена под сомнение теоремой Геделя о непротиворечивости. Согласно этой теореме, если некоторая теория не- противоречива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории.

Иными словами, мы не можем доказать непротиворечивость арифметики, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики. Ясно, что это противоречит исходному замыслу Гильберта, который надеялся обосновать сложные математические теории некоторыми достаточно простыми средствами, включенными в метатеорию. Провал программ обоснования математики привел к устойчивому скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще. Многие современные математики и философы склонны считать, что убеждение в непротиворечивости математических теорий базируется исключительно на практике их использования, которая подтверждает их достаточную надежность в различных областях науки и техники.

В этом случае мы должны признать, что математика, как и другие науки, обосновывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности. Существуют, однако, и другие, более оптимистичные концепции обоснования, предполагающие возможность новых подходов к обоснованию непротиворечивости математических теорий, которые не связаны с трудностями классических программ'.

Один из возможных подходов состоит в гносеологической реабилитации логических средств, запрещенных в рассмотренных программах обоснования математики. В гильбертовской программе обоснования, как мы это видим, все зависит от дедуктивных возможностей метатеории, которая ограничена определенной системой требований.

Но в какой мере являются оправданными эти требования? Современные исследования все с большей определенностью приводят нас к выводу, что эти требования могут быть существенно смягчены без ущерба для строгости метатеоретического рассуждения. Одним из требований к метатеоретическому рассуждению 1 Смл Ершов /Г/ Л., Саиотватов К.Ф. О новом подходе к методологии математики// Закономерности развития современной математики. М., 1987. С. 85 — 105. 55 1.5. Фгмософии и проблема обосновании математики является требование конструктивности, которое сводится к недопущению в системе логических норм закона исключенного третьего и классического (нефинитного) истолкования квантора общности. Логические исследования, проведенные в течение последнего столетия, свидетельствуют, однако, о полной надежности классической логики.

Здесь достаточно напомнить об исследованиях А.Н. Колмогорова, которые показывают, что теории, использующие закон исключенного третьего, могут быль переведены в систему рассуждений, не опирающуюся на этот закон. Об этом же говорит и теорема Геделя, согласно которой классическая арифметика является столь же непротиворечивой, как и арифметика интуиционистская. С точки зрения этих и многих других результатов представляется правомерньгм вывод о полной надежности классической логики и о неправомерности брауэровскрой критики закона исключенного третьего.

Но если верно, что закон исключенного третьего не имеет тех дефектов, которые приписывает ему интуиционистская критика, то мы можем отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Можно настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности метаязыка, которые представляются действительно существенными. Анализ показывает, что такая либерализация метатеории, будучи теоретически оправданной, привела бы к строгому обоснованию арифметики, математического анализа и существенной части теории множеств. Аналогичная критика представляется справедливой и в отношении некоторых других требований к метатеории.

Современный анализ логики математического мышления позволяет утверждать, что семантические средства должны быть признаны в качестве законного элемента обосновательных рассуждений, несмотря на то, что они не могут быть включены в метатеорию в ее птльберговском понимании. Сторонники строгого гнльбертовского подхода ставят здесь неоправданные запреты. Э. Мендельсон пишет о непротиворечивости принятого им варианта формализованной арифметики (системы у): «Если мы признаем стандартную интерпретацию моделью теории о, тогда мы должны признать и факт непротиворечивости этой системы, однако семантические методы, включающие в себя, как правило, известную долю теоретико-множественных рассуждений, по мнению некоторых математиков, являются слишком ненадежной основой для доказательства непротиворечивостиа1.

Если философский и методологический анализ математического рассуждения позволяет обосновать надежность семантических средств, по крайней мере в известных пределах, то все доказательства непротиворечивости, опирающиеся на такого рода качественную семантику, должны быть признаны законными, обладающими абсолютной достоверностью.

Представляется, что разделение доказательств на семантические и синтаксические, безразличное для обьгчной математической ' Мендельсон Д Введение в математическую логику. М.. 1972. С. 103. 56 Ь Философские проблемы математики практики, должно быть признано безразличным и лля сферы обосновательных рассуждений. В настоя!нее время уже имеются убедительные с математической точки зрения доказательства непротиворечивости математических теорий с использованием семантических соображений.

Здесь можно указать на доказательство непротиворечивости арифметики, ланное Н.М. Нагорным, которое исходит из понятия реализуемости'. Гносеологический анализ показывает, что слишком сильным и не вполне оправданным является также общее требование Гильберта к структуре метатеории, предусматривающее полное исключение из нее определений, нс относящихся к математике. Несомненно, что метатеоретическое рассуждение может прибегать к аподиктически очевидным !интуитивно ясным) представлениям, не имеющим строгого математического определения. Мы можем, к примеру, принимать некоторые логические и общие математические принципы как априори истинные, без математического уточнения понятия априорности. Разумеется, что эта стратегия должна быль обоснована в рачках гносеологического анализа априорности.

Современный логический и гносеологический анализ свидетельствует, что мы можем отказаться не только от ограничений на логику мета- теории, но в определенной мере и от требования финитности. Этот последний шаг. будучи обоснован, обеспечил бы принятие известных доказательств непротиворечивости арифметики, проведенных с использованием принципа трансфинитной индукции. Из сказанного можно сделать слелующий вывод: проблема обоснования математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле и есть все основания полагать, что возможности се положительного решения не так ограничены, как это представляют себе скептики, опирающиеся исключительно на факт провала традиционных программ обоснования.

Характеристики

Список файлов книги