Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (1184475), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

У нас нет абсолютных запретов на появление других более успешных программ, которые булут исходить из более адекватных представлений о природе математического мышления и об условиях его строгости. Мы должны хорошо осознавать то обстоятельство, что наше продвижение к строгому обоснованию математики зависит от нашего понимания природы математического мышления, которое находится в процессе постоянного совершенствования.

! Пм. Нагорный 0 М. К вопросу о непротиворечивости классической Формальной арифметики. Вычислительный центр РАН. М., !995. ч .и~-м юи»эп а.в.ис ни орич~ ысир 1.6. Философско-методологические и исторические проблемы математизации знания Логическая автономность математики не означает автономности функциональной: математика развивается не для самой себя, а в ориентации на запросы научного знания. Особенности развития математического знания могут быть в полной мере поняты только с учетом этой внешней связи. Развитие математики в Новое время, конечно, не было автономным, оно было продиктовано развитием техники, промышленности и теоретического естествознания.

Развитие математического анализа, как известно, самым тесным образом связано с проблемами механики и теоретической физики в целом, Расширяющееся приложение математики к нематематическим наукам составляет суть процесса, который мы называем математизацией знания. Обгцая схема математизации знания предельно проста и сводится в конечном итоге к интерпретации математической теории через понятия теориии содержательной или, если идти со стороны содержания, к выявлению математических связей и отношений, отражающих определенные аспекты реачьности, зафиксированные в содержательной теории.

Классическим примером эффективной математизации является применение математики к проблемам механики. Это применение основано на структурном тождестве математических и содержательных законов. Мы замечаем, что если дана формула, выражающая зависимость пройденного пути от времени, то производная от этого выражения по времени будет соответствовать величине скорости лвижения, а вторая производная — величине ускорения. Это замечательное соответствие математических и физических понятий позволяет все понятия и связи механики записать в виде математических функций и установить между этими функциями четкие, чисто математические связи.

Проблемы механики переводятся таким образом в чисто математическую плоскость, точно таким же образом, как проблемы геометрии были в свое время преобразованы декартом в проблемы алгебры благоларя выявлению соответствия между геометрическими и алгебраическими понятиями. В процессе магематизации, однако, математическая теория интерпретируется не в понятиях другой математической теории, а в понятиях теории содержательной. Важно заметить, что процесс математизации зависит как от развития математики, так и от зрелости содержательной науки.

Математизация механики не состоялась бы, если бы не была разработана в достаточной мере теория дифференциального исчисления, по, с другой стороны, она не состоялась бы без ясного определения таких понятий, как масса, ускорение, количество движения и т.д.

Без этих понятий мы не сформулировали бы в ясной форме законов механики и не смогли бы выявить их 58 К Философские проблемы математики собственно формальную или математическую структуру. Математика применяется к тем областям знания, которые достигли достаточно высокой степени структуризации своего объекта. Практика показывает, что далеко не все науки способны к ясной структуризации предмета, обеспечивающей использование математического метода. Пример механики позволяет нам ввести важное понятие классической или полной математизации.

Мы будем называть математизацию теории полной, если: качественные характеристики объектов теории допускают адекватную меру; все основные понятия и принципы теории поддаются выражению в математических понятиях; математическая теория позволяет осуществить достаточно точные предсказания в области действия (приложения) этой теории. Очевидно, что классическая механика уже в ХЪЧ11 в. достигла степени полной математизации. Не только исходные понятия теории, какими являются сила, масса и ускорение, определены через строгие формальные отношения к другим понятиям, но и все производные понятия выведены на основе исходных.

То же самое относится и к единицам измерения. Исходные величины, а именно величины массы, длины и времени определены через общезначимые эталоны, производные же величины — через исходные на основе теоретических связей межлу ними. Полная математизация имеет место также и в других физических теориях, таких, как термодинамика, электродннамика, квантовая механика и теория поля, Принципы этих теорий имеют адекватное математическое прелставление, все их внутренние величины определены через исходные, и эти теории обладают высокой адекватностью отражения реальности в том смысле, что они способны давать точные предсказания и описания процессов, протекающих в природе и в различного рода технических устройствах. Для математизации научной теории принципиально важным является допустимый в ней способ измерения величин. Мы должны различать адекватные и неадекватные меры.

Меру величины можно назвать адекватной, если мы убеждены, что большей величине соответствует большая мера, равным величинам — равные меры и при увеличении величины в некоторое число раз ее мера увеличивается в то же самое число раз. Адекватная мера предполагает наличие способа измерения, прежде всего, единиц измерения, зафиксированных в виде устойчивых эталонов. Все физические величины обладают в этом смысле адекватной мерой, поскольку они выражаются в конечном итоге через меры длины, массы и времени, которые фиксируются с предельной определенностью. Основной недостаток теорий за пределами физики заключается в отсутствии адекватных мер, и поэтому приходится прибегать, как правило, к условным мерам, которые мало при~одны для точного выражения функ- 1.6.

Философско-метолологическгге и исторические проблемы... циональных связей. У нас нет адекватной меры для определения величины грамотности общества, и мы вынуждены пользоваться для выражения ее такими условными характеристиками, как среднее число лет, которое затрачивается в данной стране на обучение ребенка, уровень финансирования системы образования и тд. Конечно, мы имеем качественные признаки, позволяющие отличить развитую экономику от менее развитой, но не существует единого показателя, позволяющего дать точное количественное выражение качества экономической системы.

Условность измерения ведет к условности устанавливаемых функциональных связей и к ограничению теоретического анализа в смысле точности предсказаний. Существенное отличие современной математизации от классической состоит в том, что она не является полной. Она фрагментарна в том смысле, что математическому моделированию поддаются лишь некоторые частные процессы, исследуемые теорией, но не теория в целом. Мы строим здесь модель для некоторого процесса, не имея математического представления об основных понятиях и принципах теории. Примером такой частичной математизацни является математическая модель сосуществования хищников и жертв в биоценозе, предложенная В.

Вольтерра. Интуитивно ясно, что увеличение числа зайцев в лесу как потенциальных жертв ведет к увеличению числа волков как особей, потребляющих зайцев в пищу, и что слишком бурное размножение волков должно привести к уменьшению числа зайцев и, в конце концов, к сокрашению числа волков. Намечается, таким образом, некоторое взаимодействие двух линий развития во времени. Эта ситуация может быть записана в следующих уравнениях: = — гуУ вЂ” аСЖ; сИ' Нг = АСЬ' — «С, гг'С Н1 где Ж вЂ” число жертв, С вЂ” число хищников, а, «, к, я — коэффициенты, характеризующие взаимодействие хищников и жертв, устанавливаемые на основе опыта.

Эти уравнения допускают уточнение и в принципе могут служить для предсказания тенденций увеличения или уменьшения основных видов в биоценозе. Известно, что математическое моделирование процессов в биоцснозс дает неплохие результаты в прогнозах вылова различных пород рыб по сезонам в замкнутых водных бассейнах'. Этот пример показывает особенности неклассической (фрагментарной) математизации. Такая математизация не захватывает принципов на- 1 Детальный анализ уравнений Вольтерра смз Гушубаеин В Н., Барабашевв Ю.г1Г., Грвгоряв АА., Левяткова ГН., Угер Е Г.

Математическое молелированне в зкологии. Историко-метолологический анализ. М., 1999. 60 ! ерилософские проблемы математики уки в целом, она относится исключительно к некоторым выделенным, изолированным фрагментам. Важно также то, что такого рода математизация не опирается на адекватные меры н не обеспечивает точного предсказания. Математизация знания за пределами физики является фрагментарной и неточной нз-за отсутствия адекватно измеряемых величин. Имеются серьезные доводы в пользу того, что математизация за пределами физики не имеет шансов стать полной и адекватной математизацией в определенном выше смысле.

Характеристики

Список файлов книги