Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (1184475), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вторая, более широкая задача состояла в том, чтобы сформулировать общие требования к математической теории, гарантирующие ее непротиворечивость. Первую задачу можно считать решенной. Уже в самом начале обсуждения проблемы Б. Рассел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы. Метод, предложенный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области определения логических функций'.
Но являются ли эти ограничения достаточными для устранения любых парадоксов, в том числе и тех, которые могут появиться в будущем? Проведенные исследования пока не позволяют утвердительно ответить на этот вопрос, и есть основания считать, что при такой обшей постановке проблема является неразрешимой.
В начале ХХ в. были намечены трн программы обоснования математики: логипизм, интуиционизм и формализм. Программа логицизма была сформулирована немецким математиком н философом Г Фреге е1це до появления парадоксов. Суть этой программы состояла в том, чтобы свести понятия математики к понятиям логики и представить принципы математических теорий в качестве общезначимых логических истин. Поскольку классическая логика базируется на простой и предельно ясной системе понятий, то. согласно Фреге, мы имеем основания предполагать ее абсолютную непротиворечивость. При принятии этого допущения редукция математической теории к логике может рассматриваться как строгое доказательство ее абсолютной непротиворечивости, гарантированности ее от противоречий любого вида.
А. Уайтхед и Б. Рассел в своем фундаментальном труде вРппс1р1а Майещайсаа (Уо). 1 — 3. 1910 — 1913) предприняли попытку систематического анализа основных математических теорий в плане их редукции к логике. Общий вывод состоял в том, что при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности такая редукция может быть осуществлена лля всех основных математических теорий.
Однако К. Гедель в своей знаменитой статье вО неразрешимых предложениях "Рплс)рга Майетапса" и родственных систем» (1931) показал, что почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической ' Смл Россет Д. Введение в математическую ФилосоФию Новосибирск, 1998. Гл. 7. 1 5. Философия и проблема обоснования математики 51 теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории. Отсюда следует, что использованные Уайтхедом и Расселом элементарные логические исчисления, поскольку они удовлетворяют требованию семантической полноты, в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий как систем, не обладающих свойством полноты.
В настоящее время признано, что исследования Геделя показали бесперспективность логицизма как программы обоснования математики. Бесперспективность логицистской программы следует также и из более общих рассмотрений, касающихся природы логических принципов. Программа интуиционизма, родоначальником которой является Л. Брауэр, ставила задачу редукции математики к исходным представлениям арифметики, рассматривая последние в качестве необходимых и далее неразложимых интуиций сознания. При этом Брауэр существенно ограничил обычную логику математического рассуждения, изъяв из нее закон исключенного третьего н ряд других употребимых схем вывода. В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения, которые связывали любое утвердительное суждение об объекте с его предъявлением в качестве конструкции.
Понятие актуального бесконечного множества полностью исключалось из математики как противоречивое по своей сущности. Все допустимые математические объекты, по мысли Брауэра, должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними. В пределах возможностей такого рода конструктивной перестройки математики она, считал Брауэр, является абсолютно гарантированной от противоречий. Многие математики были согласны с Брауэром в том, что конструктивная математика сама по себе не может содержать противоречий и что если бы Брауэру удалось свести к арифметике достаточно широкую область математики, то вопрос о ее обосновании был бы решен положительно.
Этого, однако, не удалось сделать. Сам Брауэр вскоре увидел, что основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры нс поддаются такого рода конструктивному представлению. Последователи Брауэра построили интуиционистский анализ и интуиционистскую теорию множеств, но эта деятельность, будучи интересной и продуктивной в математическом плане, очевидно, не решала проблемы обоснования классической математики, которая является наиболее значимой для приложений. Интунционистская программа обоснования математики оказалась, таким образом, несостоятельной вследствие своей узости.
Наиболее обоснованной теоретически была формадистская программа, предложенная Д. Гильбертом. Мы можем понять сущность программы Гильберта из его отношения к исследованиям Рассела и Брауэра. Гильберт считал, что обоснование математики, предложенное Расселом, 1 ФилосоФские проблемы математики не является строгим, поскольку оно опирается на утверждения типа аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности, ко~орые могут быть поняты только как некоторого рода гипотезы.
Он был категорически не согласен с подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики. Вместе с тем он соглашался с Фреге и Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута только через уточнение ее языка и через прояснение логической структуры теории. Гильберт, как это признано, взял у логицистов понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории. Отрицая интуиционизм как способ обоснования математики, он соглашался с Брауэром в том, что закон исключенного третьего неприменим к математическим утвержлениям, связанным с бесконечностью. Как и Брауэр, он счи~ал, что истинность математического суждения относительно бесконечного множества предметов не может быть проверена и вследствие этого строгая альтернатива, выражаемая законом исключенного третьего, не может быль применена к нему в качестве безусловной истины.
Исходя из этого положения, Гильберт сформулируе~ принцип финитизма, согласно которому оперирование с бесконечны и может быть сделано надежным только через конечное'. Финитизм Гильберта, однако, не столь радикален, как финитизм Брауэра; если Брауэр хотел устрани~ь актуальную бесконечность из математики вообще как понятие. не имеющее смысла, то Гильберт считал возможным сохранить его в тех пределах, в которых оно допускает финитнос обоснование. Процедура обоснования математики, согласованная с этими общими установками„предполагает полную формализацию теории, заключающуюся в представлении ее аксиом в виде не имеющих содержания строчек символов.
Математическая теория тем самым превращается в объект, подчиненный чисто внешним 1формальным) манипуляциям, основанным исключительно на структуре се формул. В плане классификации очевидностей можно сказать, что формализация представляет собой редукцию всех типов математической очевидности к предметной и логической очевидности. Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования (принцип индукции и т.п.), допустимые для действий в рамках формализованной теории. Метатеория, по замыслу Гильберта, должна быть безусловно истинной и достаточной лля строгого обоснования непротиворечивости формализма, которое должно состоять в доказательстве того факта, что в его рамках в соответствии с правилами логики и правилами введения произволных объектов не может быть получено выражение, имеющее вид «О =! а, ' Смл Гилаберт Д.
Избр. труды. М., 1999. С. 448. Ь5. Философия и проблема обоснования математики Целью формалистского анализа, как и всякого другого обосновательного рассуждения, являются, конечно, реальные математические теории, различающиеся по своему содержанию и методу Специфика формалист- ского полхода состоит в том, что заключение о непротиворечивости реальной математической теории предполагается вывести из непротиворечивости ее формализованного аналога.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
