Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (1184475), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При этом сама «чистая» математика все более и более ориентируется на аксиоматико-дедуктивный метод, Последнее обстоятельство находит свое теоретическое (философское) выражение и обоснование в рамках различных форм априоризма, в конечном итоге восходящих к точке зрения на математику И. Канта. Согласно Канту, математика — точнее, один из ее разделов, составляющий своеобразное ядро этой науки, — обладает безусловной (аподиктической) достоверностью, т.е, в принципе не может подвергаться трансформациям, затрагивающим ее сущность. Отсюда с необходимостью следует, что развитие математики (или ее аподиктического ядра) не может носить революционного характера (как это свойственно физике), но сводится исключительно к накоплению результатов (кумулятивный рост) за счет внутренних причин.
Две тенденции наличествуют в таком развитии математики: она приобретает все более общий характер (см. ' «Матеммика саина. Это пояожение означает, что деление математики на чистую и приклалную не может быть строго проведено, что чистая и прикладная математика являютсяя чзстялги единого пелого, называемого математиков, что зтн часа и невозможно отдели ге олпу от другой» (зтзз. Кудрявцев. Современная математика н ее преподавание. М., ) 98Ц С. 74).
Далее автор пишет об обшей сущности чистов и прикладной математики, «заключаюшейся в изучении математических структур, в обшности лгетодов, применяеиых Лля изучения этих стр>ктур, о невозможностн нзучаП прикладные математические науки без знания понятий чистой математики...» (там же. С. )5), 38 1. Философские проблемы математики выделение трех базисных математических структур у Н. Бурбаки ') и одновременно разрастается вширь.
Причем создание все более общих, абстрактных структур идет параллельно с поиском их (сугубо математических) интерпретаций (т.е, экстенсивным расширением математики). Оправданием для введения все более абстрактных идеализаций становится возможность их истолкования в терминах идеализаций более низкого уровня.
Ряд признаков свидетельствует, однако, о том, что указанный период в развитии математики, по-видимому, исчерпал свои внутренние потенции и что мы находимся в преддверии нового этапа, контуры которого можно очертить пока лишь весьма приблизительно. Дело в том, что идея редукции всей математики к ее чисто теоретической компоненте, а последней — к аксиоматико-дедуктивной форме, объектгивно ведет к увеличению разрыва между математикой и насущными потребностями экономического развития, с одной стороны, и математикой и образованием— с другой.
Не имея возможности подробного обсуждения этой проблемы в рамках данной работы, укажем лишь на некоторые характерные явления, свидетельствующие о неблагополучном положении в развитии математики (если взглянуть на нее не изнутри, глазами активно работающего математика, а «снаружи» вЂ” с точки зрения общества). Первый факт относится к взаимоотношению математики и техники (под техникой мы будем понимать технологии вообще, в какой бы области они ни использовались). Еше в середине прошлого века, обсуждая этот вопрос, А.Н. Колмогоров писал: «Прямые... связи математики с техникой чаще (курсив мой. — Е.З.) имеют характер применения уже созданных математических теорий к техническим проблемам», подразумевая при этом.
что «примеры возникновения новых математических теорий на основе непосредственных запросов техники» редки2. Если 50 лет назад такое положение вещей еше не воспринималось как проблема (техника не развивалась столь стремительно и запас готовых математических моделей был достаточен для ее обслуживания), то в настоящее время ситуация изменилась. Стремительная смена технологий приводит к необходимости создания буквально «на ходу» новых адекватных методов анализа количественных параметров.
Наработанные за последние три столетия классические математические модели, созданные внутри самой математики, не всегда справляются с функцией математического обеспечения новых технологических процессов. В качестве примера можно привести современную теорию антикризисного управления, в которой огцущается острый недостаток адекватных математических ме- 1 Бурбаки Н. Очерки по истории математики.
М., 1963. С. 245 — 259. 252 — 253 2 Ко«мегере«А.Н. Математика (статья лля БСЭ-2) Н Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М., 1991. С. 27. КЗ. Закономерности разаития математики 39 тодов. Классические математические методы теории управления, развитые в ХХ в., в данной области чаше всего не удается применить. Другая проблема, напрямую связанная с односторонним развитием математики как теоретической науки, возникает в сфере математического образования.
Эта проблема не представляется особенно острой, когда речь идет о преподавании математики школьникам физико-математических школ и классов или о преподавании студентам-математикам. В этом случае учащийся просто обязан изучить лучшие образцы теоретической математической мысли с тем, чтобы, следуя этим образцам, быть в состоянии внести свой вклад в развитие данной дисциплины. Дело обстоит иначе, когда речь заходит о преподавании элементарной и высшей математики учащимся, для которых математика — в лучшем случае вспомогательный аппарат в основной профессии. Такие учащиеся с трудом воспринимают и осваивают математические формализмы.
Причина состоит в том, что эти формализмы в связи с вышеуказанной тенденцией к поиску все более обших„простейших структур приобрели (особенно в настоящеее время) столь абстрактный характер, что потеряли всякую связь с теми конкретными задачами, которые когда-то привели к их созданию.
Именно эту категорию учашихся, составляюших подавляющее большинство обучаюшихся математике в школе и в вузах, имеет в виду В.И. Арнольд, когда пересказывает историю, случившуюся с ЖЖ. Руссо. Последний писал в своей «Исповеди», что долго не мог поверить в доказанную нм самим формулу квадрата суммы, пока наконец не разрезал квадрат на два квадрата и два равных прямоугольника.
Мораль этого примера проста. Елинственный способ слелать осмысленным освоение математических формализмов (включая формализм арифметики) состоит в показе их предметных интерпретаций. Идея эта не нова. Еше на заре ХХ в. А. Пуанкаре предлагал обучать учащихся действиям с простыми дробями путем разрезания (хотя бы мысленно) либо круглого пирога, либо яблока.
Такой метод преподавания позволяет избежать нелепых выводов, которые сплошь и рядом лелают современные школьники, считая, например, что ~!з+~!з=з(з. Подобного рода педагогические идеи идут в разрез с тем стилем математического образования, который, следуя Бурбаки, ставит во главу угла обучение учашихся аксиоматике, на основе которой строятся эффективные, но мююпонятные для них математические формализмы. С точки зрения Бурбаки, математика представляет собой иерархию структур на множествах, начиная с простейших (например, структура группы), и заканчивается сложными, состояшими из нескольких порождающих структур. В число последних попадает, в частности, классический анализ.
Следуя этой логике, начинать обучение математике надо с простейших формализмов, а заканчивать — теориями уровня математического анализа. 40 1. Философские проблемы математики Такой подход к обучению игнорирует тот факт, что в реальной истории развития математики все обстояло с точностью до наоборот. Сначала (в значительной степени под влиянием механики, т.е. материальной предметности) появились нестрогие методы дифференциального и интегрального исчисления, и лишь затем были развиты удовлетворяющие современным критериям строгости соответствующие структуры и формализмы. Но это еще не все. В работах последних лет, написанных в рамках социокультурной философии математики, показано, что изложение математики в соответствии со строгим аксиоматическим подходом органично связано только с одним ее разделом — теоретической геометрией.
Был также раскрыт механизм возникновения самого дедуктивного метода. А именно бьгло показано, что греческая математика превратилась из науки о количественных отношениях реальных предметов в науку об идеальных объектах по существу благодаря случаю (невозможности использования египетских строительных приемов в прикладных целях)1. И последнее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
