Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (1184475), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Ссылки на реальную практику геометрических построений здесь не помогают, да и та, даже если отвлечься от различий между «физическими» и «математическими» объектами, не гаранти- Г. Ь Философские проблемм возникновения и исторической эволюции математики...

31 рует всеобщности выполнения перечисленных операций. Выполнимость данных операций может быть только послтулироваяа, причем лишь принятие этих допущений дает пропуск в царские врата геометрии. Замене физических линий линиями математическими соответствует переход от реальной предметной деятельности к ее идеализированному аналогу — деятельности, осуществляющейся только в воображении. Геометрия не является в этом смысле чем-то исключительным среди математических наук. В арифметике цифровые знаки играют ту же роль, что и чертежи в геометрии: замещая фактические действия с пересчитываемыми или измеряемыми предметами, они способствуют переносу соответствующей деятельности в план представления и воображения.

При известном навыке бумага и карандаш становятся при действиях с небольшими числами излишними, и счет в уме становится более быстрым способом достижения требуемого результата. Имеются, однако, и различия. Самым важным с точки зрения рассматриваемой проблемы является то, что в арифметике действия с числами в уме, на бумаге или на счетах различаются между собой лишь по форме.

Содержание всех этих действий одно и то же, что и позволяет, в конечном счете, производить независимую от всякой аксиоматики проверку арифметических утверждений. В геометрии, в отличие от арифметики, нарисованный на бумаге чертеж играет по отношению к мыслимому с его помощью содержанию роль сугубо вспомогательную, способствуя удержанию в голове сложного хода логической мысли.

Различие между идеализированными и фактически проводимыми линиями приводит к тому, что мысленная деятельность с иаеальнымн геометрическими объектами оказывается намного «богаче» ее реального прообраза, как зто имеет место в случае теоремы о смежных прямолинейных углах. В случае возникновения сомнений в истинности утверждений, касающихся свойств идеальных геометрических объектов, обращение к практике реальных построений ничего не даст в отношении прямых и окружностей без ширины. Единственный способ удостовериться в правильности геометрических предложений заключается в оценке приемлемости принятых постулатов и проверке корректности сделанных на их основе, а также при помощи общих аксиом заключений. Отсутствие возможности «внешней» проверки геометрических теорем и превращает аксиоматический метод в естественный способ построения науки о свойствах фигур и тел. Актуальным доказательство теоретического предложения может стать только тогда, когда предмет утверждения будет удерживаться перед умственным взором силой воображения независимо от способа фактического его конструирования, который воссоздается уже позднее, в ходе реально проводимого доказательства.

Предположение о равенстве суммы углов 32 Ь Философские проблемы математики треугольника двум прямым может быть выдвинуто на основе частного случая равносторонних треугольников, например при замещении ими плоскости, и это будет достаточно весомым аргументом в пользу поиска локазательства для общего случая. Здесь важно то, что вылвинугый в качестве гипотезы факт удерживается нашим воображением как легко распознаваемое целое на всем протяжении рассуждений, направляя и организовывая их в качестве пели всех действий вплоть до завершения дедуктивного доказательства. Выдвигая предположение, мы мыслим фигуру расположенной в «обыденном» пространстве, но, проводя доказательство, переносим ее (подчас не отдавая себе в том полного отчета) в «идеализованное»„математическое пространство, «отделенное» от своего чувственного прообраза определениями и постулатами, относящимися не к видимым, но лишь к мыслил«ылт точкам, линиям и поверхностям.

Особая роль геометрии в историческом становлении идей аксиоматического метода как раз и объясняется парадоксальным сочетанием указанных противоположных обстоятельств; хотя свойства геометрических объектов в силу их особой на~ладности и очевидности могут быть открыты и разъяснены независимо от какой бы то ни было аксиоматики и дедукции, доказательство их истинности в большинстве случаев невозможно без опоры на предварительно сформулированные аксиомы и постулаты.

Существует ли еше хотя бы одна предметная область, утверждения об объектах которой удовлетворяли бы указанным выше свойствам геометрических предложений и теорем" .Если бы никакая другая наука не могла обладать названными свойствами, это и означало бы, что геометрия является единственной теорстичсской дисциплиной, в лоне которой способен зародиться аксиоматический метод. Двойственный характер объектов «первой дедуктивной науки», становящихся «идеальными» при окончательном изложении ее результатов, но в процессе их обоснования не противополагаемых чувственной действительности и потому целиком принадлежащих ей, накладывает весьма жесткие ограничения на их возможную природу В самом деле, они не могут существовать независимо от целесообразной человеческой деятельности (как это имеет место в отношении объектов оптики или астрономии), ибо в противном случае для утверждений теории нашелся бы внешний по отношению к дедуктивному выводу способ проверки.

По той же причине объектами первой дедуктивной науки не могут быть и преобразованные трудом человека предметы природы. Только тогда, когда чувственно воспринимаемые объекты, будучи материальными предметами, существуют в таковом качестве как продукт целенаправленной деятельности, представляя собой формы деятельности, зафиксированные как вещь (или, иными словами, апредмеченные представления), только в этом случае при аксиоматическом изложении их «материальная оболочка» способна испариться без следа, сохранив в своем составе лишь те мыслительные действия, кото- Г.Ь Фютосотбские проблемы воэникновенив и исторической эволюции математики... 33 рые при соединении с веществом природы и приводят к созданию зримо осязаемых обьектов, характерных для рассматриваемой науки на стадии открытия и поиска обоснования ее результатов.

Природный субстрат, в котором воплощены объекты данной дедуктивной науки, не играет существенной роли, так как помимо пригодности к выполнению указанной функции к нему не предъявляется никаких иных требований. По этой причине единственными свойствами рассматриваемых объектов, не зависящими от особенностей образующего их вещества, являются их простпранственно-временные закономерности (если бы в будущем и удалось обнаружить отличные от пространственно- временных универсальные характеристики телесных объектов некоторой науки, то для э~ого было бы недостаточно одного только чувственного созерцания и пришлось бы оказывать какое-то воздействие на них как на материальные тела; но тогда для проверки правильности найденных закономерностей существовал бы способ, опирающийся на это самое воздействие и отличающийся от чисто мысленной процедуры дедуктивного вывода). Так как своим существованием эти «чувственные образы» идеальных объектов дедуктивной науки обязаны только усилиям конструирующего ума, то преходягцие свойства использованного при этом природного материала (бумаги или физических носителей магнитной «памяти» электронных дискет) являются тем.

отчего необходимо полностью абстрагироваться. Поэтому при построении теории данные изменяющиеся природные предметы лолжны рассматриваться как «вечныев, вследствие чего упомянутые выше их пространственно-временные характеристики не могут быть связаны со временем и должны быть их неизменными пространственными свойствами. При отвлечении от формы пространственно расположенных тел единственной содержательной характеристикой остается их количество, однако, как указывалось ранее, арифметика ни в коем случае не смогла бы стать первой аксиоматической теорией. Если же в расчет принимается пространственная 4орма объектов теории, то тогда такой теорией и оказывается геометрия — наука, изучающая свойства плоских фигур и трехмерных тел. Круг замкнулся: никакой иной подходящей предметной области для возникновения дедуктивного способа рассуждений, кроме геометрии, «в природе» не существует.

Только теоретическая геометрия, как исторически это и произошло в Древней Греции тг! — 1У вв. до н.э., могла дать толчок становлению аксиоматического метода. Какой же раздел теоретической геометрии с необходимостью требует для своего представления аксиоматического изложения? До тех пор, пока объектом рассмотрения остаются чертежи, занимающие ограниченную часть плоскости, нет особой надобности в умении неограниченно прололжать прямые линии, а слеловательно, вполне допустимо оставаться в рамках геометрии, в которой все построении могут быть произведены с 34 1 Философские проблемы математики помощью циркуля и линейки. Углы как неограниченные части плоскости с необходимостью появляются в процессе обоснования теоремы о сумме углов треугольника.

Именно в процессе ее обоснования приходится формулировать сначала Ч и (Ч постулаты Евклида, а затем уже и первые три, поскольку требованиям!Ч и Ч постулатов могут удовлетворять только идеальные линии без ширины. Для окончательно~о разрешения вопроса о причинах возникновения дедуктивного способа математических рассуждений в одной только Греции необходимо обратиться к конкретным сведениям исторического характера, что опять-таки органично лишь для нефундаменталистской философии математики. Раздел геометрии, изучающий свойства углов, мог появиться в Древней Греции только в результате заимствования эллинами геометрических сведений у египтян.

Характеристики

Список файлов книги