Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (1184475), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Гильберта, где этот метод на примере геометрии получил, по сушеству, исчерпывающую разработку. Формальные аксиоматики разработаны для теорий, относящихся преимущественно к фундаменту теоретической математики. Они естественным образом получаются из полуформальных аксиоматик при по- моши формализации традиционной логики, содержательным образом используемой в первых двух видах аксиоматик. 20 1.
Философские проблемы математики Теоретико-множественная концепция не только предоставила основной в настоящее время стандарт математической строгости, но и позволила в значительной мере разобраться в разнообразии возможных математических теорий и их систематизировать'. Так, чистая алгебра определяется как наука о системах объектов, в которых задано конечное число операций, применимых (каждая) к определенному конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект системы (например, в случае алгебраического поля — две операции (сложение и умножение) над двумя элементами каждая).
Этим чистая алгебра отделяется от анализа и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем известную «непрерывность» изучаемых пространств), которые сугцественно требуют введения «предельных» отношений, связывающих бесконечное число объектов.
Аксиоматическое изложение какой-либо специальной математической теории (например, теории вероятностей) не начинают на пустом месте, а пользуются ранее построенными теориями (например, понятиями натурального или действительного числа). Теоретико-множественная переработка всех отделов математики при помощи идеи полуформальной аксиоматики позволила устранить неясности и разногласия относительно корректности определений и убедительности доказательств отдельных теорем. Обнаружившиеся в начале ХХ в. в самой теории множеств неясности и противоречия оказались связанными главным образом с теми ее областями, где понятию бесконечного множества была придана общность, излишняя для каких-то приложений и потому не могушая нанести существенного вреда основным разделам «работающей> математики.
Однако следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математических теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чисел, требует обращения именно к теории бесконечных множеств, а последняя сама нуждается в логическом обосновании. В начале ХХ в. в теории бесконечных множеств был обнаружен ряд парадоксов, поставивших под сомнение возможность ее непротиворечивого обоснования. Самый известный из них — парадокс Рассела — формулируется следующим образом. Пусть М вЂ” совокупность есех нормальных множеств, т.е, множеств, не включающих себя в качестве собственного элемента.
Допустим, что М вЂ” само нормальное множество, тогда оно пе содержит самого себя в качестве элемента и тем самым не может быть нормальным. Если, напротив, предположить, что М вЂ” ненормальное множество, то тогда оно должно входить в М, т.е. быль нормальным множеством. С прагматической точки зрения этот парадокс, как отмечсно выше, не представляет особой опасности. С философской же точки зрения он ' Смз Калиогоро«А.77. Математика // Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии/Под ред.
В.А. Успенского. М., 1991. С. 67 — 6К 21 !.!. Природа математического чышлеиив весьма неприятен. Распространенные в математике доказательства от противного неявно опираются на предположение о непротиворечивости математики. После того как теория множеств в конце Х1Х в. стала фундаментом всего математического знания, обнаружение противоречий в самых простых с логической точки зрения теоретико-множественных рассуждениях воспринимается довольно болезненно. Устранение парадоксов из математики составило важную задачу об!ценаучного характера.
Попытки ее разрешения и ознаменовали рождение новой научной дисциплины — философии математики. В настоящее время в философии математики имеются два основных направления — фундаменталистское и нефундаменталистское!. Фундаменталистская философия математики подчиняет исследование математики одной целевой установке — выяснению проблемы сущности математики, нс зависящей от ее конкретных исторических состояний.
Именно эта цель преследуется при различных попытках редукции одних теоретических разделов математики к другим разделам и нахождения фундаментальных математических структур. Именно таким образом исследуется природа математических объектов и их соотнесенность с миром природных объектов и объектов теоретического естествознания. Именно так осуществляется поиск единой сущности и непреходящих стандартов математического доказательства — стандартов, с которыми сравниваются реальные доказательства различных эпох. Работы нефундаменталистского направления претендуют на постановку и решение проблем выявления концепций развития математики, поиска схем этого развития. Если дия фундаменталистского направления в философии математики основными являются проблемы ее сущности, а не функционирования (исследование математики в «статике», а не в «динамике»), то нефундаменталистское направление считает возможным разобраться в законах регцчьного функционирования лревнейщей из наук без окончательного решения проблем установления ее сущности.
Пионерской работой нефундаменгалистской ориентации стала серия статей И. Лакатоса «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы», в которой он предпринял попытку вскрыть общую схему развития математики на г!римере истории доказательства важного результата топологии — теоремы Эйлера о многогранниках. Важной вехой в развитии нефундаменталистского направления является работа Р Уайлдера кМатематика как культурная система»2, в которой математика рассматривается как по!!разделение культуры в целом.
Указанное представление опираетси на понятие «культурного элсмен- ' С»с: Бирабамев А.Г. Будугдее математики методологические аспекты прогиозироваиия. М., !991. С. 79 — 9б. 7 Г»7!гГег К Масиспгас!са аа а Са!Гига! Ьуа!сгп. Октоггг, 1981 22 1. гвиласофские пробяемы математики та», под которым автор понимает набор убеждений, инструментов, ритуалов (в широком смысле слова) и т п.
„принадлежащих некоторым образом объединенной группе людей. На этой основе он строит типологию исторического взаимодействия различных частей математики, которая существенно отличается от привычного ее разделения на специальные теоретические дисциплины. Значительным явлением в развитии нефундаменталистского направления стала также книга Ф. Китчера «Природа математического знания» 1, в которой делается попытка построения целостной и развернутой эмпирической концепции сущности и развития математического знания как представленного в деятельности коллективного субъекта — научного сообщества математиков.
В настоящее время можно выделить три различные ветви нефундаменталистского направления; ° историческая ветвь, полагающая развитие науки некумулятивным. Она восходит к концепции научных революций Т. Куна и применяет данную концепцию к математике. Идея исторического отбрасывания устаревших математических теорий развивается в большом числе публикаций и, в частности, в известной книге «Революции в математике»2; ° ветвь социальной детерминации, утверждающая зависимость содержания науки от социальных взаимоотношений, от региональных и национальных особенностей. В философии математики так появились взгляды об «арийской математике» (Л. Бибербах), о «китайской математике», о «буржуазной математике» в ее противопоставлении «пролетарской математике», о «европейской математике» и т.д.
Наиболее основательно это течение развивается С. Рестиво и его последователямиз; ° ветвь культурной детерминации, распадающаяся на течение когнитивно-культурной детерминации, когда формальные структуры, трансформируюшиеся в исходные математические структуры конкретной исторической эпохи, считаются обусловленными формирующимися в данной культуре познавательными установками4, и течение деятельностно-культурной детерминации, согласно которому сущность культуры составляют социальные эстафеты действия, обеспечивающие облик математики, приемлемые способы действия с математическими объектами и само понимание таких объектов как ролей соотношения 1 КтгсьегРД ТЬе Ха!пге оГМагьетаггсзг Кпои1ебае.
!ЧХ, 1983. 2 ксчо1мгопз! и магьегпапсз / еб. ьу Рх с 1!!ез. Охгогб, 199ь 3 Смс Магд 'чтгог!бз. РГЦ1озорЬ|са! апб Зос!а! Зшшез оГ Магвегпаисз апб Магьсгпапса! Ебпсапоп / Ед Ьу 3. Кезбчо, 1.Р чап Вепбедепь К. Ргзьег. А!Ьапу, 1993. 4 Смз Барабаыеа ДЕ О прогнозировании развития математики посредством анализа формальных структур познавательных установок // Стили в математике: сопиокулыурная философия математики / Под ред. А.Г Барабашева.
СПб., 1999. 23 1Л. Природа математического ммшдеиии обозначений, воспроизводящих себя в соответствии с принципами нормативных систем!. Отличительные черты нефундаменталнстского (социокультурного) направления в философии математики в его отношении к фундаментализму сводятся в основном к следуюшим: главной является группа проблем функционирования математики (математики в ее динамике). Если при изучении сущности математики фундаментализмом вопросы ее функционирования оказываются оттесненными на задний план, то в данном случае на задний план отодвигается выявление неизменной сущности математики, независимой от ее развития; нефундаментал истекая философия математики смотрит на математику с более широких позиций, н поэтому она способна лучше адаптироваться к тем бурным изменениям, которые претерпевает сегодня математика, ее отношения с другими науками, а также ее место и значение в культуре; нефундаменталистская философия математики ближе к современным исследованиям в математике и истории математики, что способствует ее плодотворному применению в обеих этих сферах.
Занимаясь мировоззренческими проблемами математики, философия математики, естественно, представляет собой специальный раздел философского знания. Внутренняя проблематика философии математики (причем первоначально именно в ее фундаменталистском варианте) была порождена философией, которая, исследуя вопросы сущности и существования абстрактных и идеальных объектов, достоверность логических умозаключений, не могла не отметить такой важный частный случай, как математические объекты (пифагорейская школа, Платон), и столь важный и эффективно разрабатываемый поколениями исследователей способ рассуждений, как математическое доказательство (доказательство от противного, часто связываемое с философией элеатов; доказательство по индукции и тд.). Но специализация, неизбежно прогрессирующая во всех областях знания по мере их развития, не обошла стороной и философию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
