Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (1184475), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Научное определение таково; "Натуральные числа — это мощности конечных множеств". А какое из конечных множеств — самос главное? Разумеется, пустое! Значит, его мощность, то есть нуль, — натуральное число!»' Сам Арнольд, дабы избежать упреков со стороны нематематиков в том, что математика искусственно отгораживается от других наук, имеющих дело с реальным, окружающим нас миром, предлагает рассматривать ее как часть теоретической физики: «...локазательства всегда играли в математике совершенно подчиненную роль, примерно такую, как орфография или даже каллиграфия в поэзии. Математика, как и физика,— экспериментальная наука, и сознательное сложение дробей !!2 и !(3— стандартный элемент общечеловеческой культуры»2.
Общество судит о степени важности той или иной области знания прежде всего по тому вкладу, который она реально вносит в его функционирование. И если, как в приводимых Арнольдом примерах, оно видит стремление специалистов данной области знания сосредоточиться прежде всего на внутренней проблематике, вне связи с другими сферами знания и жизнедеятельности общества, отчуждение оказывается взаимным. С этой точки зрения проводимое выдающимся математиком ' Арнольд дИ. Математическая вуаль вокруг Бурбаки ц' Вестник РАН. 2002. Т.
72. !9» 3. С. 245 — 24б. 2 Арвольд В.Н. Математика и физика: ролитеть и дитя или сестры? О Успехи физических наук. !999. Т. г69. Хт !2. С. !323. 16 1. ФилосоФские проблемы математики сближение математики н физики выглядит привлекательным и заслуживает серьезного внимания. Предлагаемый Арнольдом подход, как и всякая новая точка зрения, не свободен от трудностей теоретического характера. Если следовать ему буквально, т.е. заменять принятую в математике схему «определение — теорема — доказательство» на привычную для физики схему «наблюдение — модель — исследование модели — выводы — проверка наблюдениями», то трудности возникнут даже при изложении элементарной математики. Например, хотя формула объема пирамиды и может быть сформулирована в рамках наглядных физических представлений, ее доказательство предполагает возможность деления отрезка на сколь угодно большое число равных частей, что невозможно строго обосновать без геометрических аксиом.
Математические абстракции имеют свою исторически сложившуюся специфику, и прямой разрыв с этой традицией в преподавании математики неизбежно порождает массу методических и методологических проблем, преодолеть которые за короткое время едва ли возможно. В философии науки принято различать три аспекта используемого в познавательной деятельности ученого языка науки; синтаксический, семантический и прагматический'. Синтаксический аспект предполагает рассмотрение языка как некоторой совокупности знаков, которые преобразуются по определенным правилам и формируют в своих связях определенную систему. В процессе применения этих правил исследователь отвлекается от смысла терминов языка и рассматривает термины только как знаки, образующие в своих связях формулы, из которых выводятся другие формулы по правилам данной языковой системы.
Именно этот аспект математического знания оказался на первом плане в приведенном выше определении математики как цепочки импликаций. Семантический аспект языка требует обращения к содержанию языковых значений. Он предполагает нахождение идеальных объектов и их связей, которые образуют непосредственный смысл терминов н высказываний языка. Так, в аксиоматическн построенной геометрии под пирамидой понимается не мысленный образ расположенной в пространстве пирамиды, а идеальный математический объект, вершины которого не имеют частей, ребра — ширины, а грани — толщиньь Наконец, прагматический аспект языка предполагает рассмотрение языковых выражений в отношении к практической деятельности и специфике социального общения, характерных для определенной исторической эпохи.
Это означает, что идеальные объекты и их корреляции, образующие область смыслов языковых выражений, берутся в их отношении к социокультурной среде, породившей ту или иную популяцию» научных знаний. Когда Арнольд критикует господствующую в дедуктивно-аксиоматичес- 1 Смл Стелил ДС Теоретическое знание. М.. 2003. С 102 — 104. 1.1. Прирола математическою мышлении кой математике схему аопределение — теорема — доказательствоа как способную принести лишь вред и преподаванию, и практической деятельности ', он ставит во главу угла именно прагматический аспект в истолковании предмета математики. Сам факт подобной критики указывает на то, что рассматриваемые аспекты математического знания могут входить в противоречие на определенных стадиях исторического развития. Критическую оценку аксиоматической формы изложения математики разделяет другой крупнейший российский математик — С.~.
Новиковз. Но даже эти авторитетныс мнения ведущих современных ученых не в состоянии поколебать многовековой традиции, в соответствии с которой именно дедуктивное доказательство рассматривается как специфическая особенность математики, выделяющая ее среди других областей знания. Яркую и образную характеристику специфики математического метода рассуждений дала С.А.
Яновская: «Математик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в определении и не вытекающими из него. В последнем случае он должен уметь доказать (используя опять-таки только то, что ему дано, и применяя только заранее перечисленнь>е, как позволенные ему, операции), что свойство, которым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредственно содержащихся в определении. В атом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кеглей руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарами, те.
строго соблюдая все правила игрыаз. Главная особенность приведенной характеристики способа математических рассуждений состоит в том, что в соответствии с ней математик должен «добровольно' ограничивать свою связь с внешним опытом только формулировкой исходных положений и не требовать впоследствии дополнительного подтверждения собственных предложений сравнением с действительностью. Именно это отличает аксиоматический метод математики от принятого в физике и других науках гипотетикодедуктивного способа рассуждений, обязательно завершающегося проверкой теоретических выводов зкснериментом.
Существующий ныне стандарт требований к логической строгости сложился только к концу Х!Х в. Этот стандарт основан на теоретико- 1 Арнольд ВН 0 преподавании математики // Успехи математических наук. 199К Т 53. Вып. 1. С. 232. 2 Новиков С П. Вторая половина ХХ века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе // Историко-математические исследования. Вторая серия.
М., 2002. Вып. 7 142) С. 320 — 356. 1 Яновская СД Содержательная истинность и формально-логическая доказуемость в математике // Практика и познание. М.,1973. С. 247 18 1. философские проблемы математики множественной концепции строения математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанными между собой некоторыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируизтся в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория может применяться к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом.
В становлении аксиоматического метода В.Н. Молодший вьщеляет три основных периода: 1) период содержательной аксиоматизации; 2) период полуфорл«альной аксиоматизации; 3) период формальной аксиоматизации'. Принципы содержательной аксиоматики господствовали до середины Х1Х в. Полуформальный аксиоматический метод получил распространение в последней четверти Х1Х в. Датой рождения формализованного аксиоматического метода принято считать 1904 г., когда Д. Гильберт выдвинул основные принципы формализации математики.
В содержательной аксиоматике аксиомы описывают основные свойства, отношения и связи объектов из одной области объектов. Последние получают непосредственное определение до того, как задан список аксиом рассматриваемой теории, а используемые при доказательствах средства логики не получают какого-либо описания или уточнения (предполагается использование традиционной формальной логики). Наиболее совершенное для своего времени содержательно-аксиоматическое построение геометрии как основы и методологии всей математики разработал Евклид в «Началах». Фундамент «Начал» составляют определения, постулаты и аксиомы. Постулаты Евклида представляют собой требования возможности осуществления построений с идеальными геометрическими объектами.
Вот их формулировка: «Допустим: ! . Что от всякой точки до всякой точки «можно > провести прямую линию. 2. И что ограниченную прямую «можно> непрерывно продолжить по прямой. 3. И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг.
4. И что все прямые углы равны между собой. 5. И если прямая, палаюшая на лве прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные зти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше лвук прямых», Аксиомы (дословно — «общие мысли») содержат описания свойств любых величин и формулируются следующим образом: 1 Смс Молодший ДН. Очерки по философским вопросам математики.
М., 19б9. С. 245 — 285. 1.1. природа математического ммшясния «!. Равные одному и тому же равны и между собой. 2. И если к равным прибавтяются равные, то и целые будут равны. 3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. 4. И если к неравным прибавляются равные. то целые будут ие равиьг, 5. И удвоенные одного и того же равны между собой. 6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмешаюшиеся друг с другом равны между собой. 8. И мелос больше части. 9. И две прямые не содержат пространстваа. Вместе с формальной логикой аксиомы представляют логический компонент теории доказательства «Начал». В полуформальной аксиоматизации математической теории ее объекты не получают непосредственных определений.
Их заменяют аксиомы, описываюшие отношения и связи между основными объектами. Как и в случае содержательной аксиоматизации, при доказательствах теорем используются средства традиционной логики. При полуформальной аксиоматизации математической теории ее аксиомы и теоремы справедливы для различных множеств объектов, с одинаковой, описанной в аксиомах, структурой отношений и связей между объектами. Каждую такую область называют моделью или интерпретацией аксиоматизированной теории. Содержательный характер геометрической аксиоматики был поставлен под сомнение в первой половине Х1Х в, в связи с построением Лобачевским, Бойяи и Гауссом неевклидовых геометрий. Аксиомы оказались не абсолютными истинами, отрицание которых недопустимо, а гипотезами, истинность которых надо проверять опытным путем либо путем сведения к ранее установленным математическим истинам.
Трактовка цели и средств аксиоматизации математической теории существенно изменилась во второй половине Х1Х в., когда стало ясно, что каждая математическая теория допускает различные интерПретации. В этой связи была осознана целесообразность такого аксиоматического построения математических теорий, при котором любая из них выступала бы как общая теория, заключения которой верны для объектов любых ее интерпретаций. Зарождение аксиоматического метода как самостоятельной теории датируется 1899 г, — временем выхода классических «Оснований геометрии» Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
