Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1 (1183826), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Любой физической величине F соответствует линейный эрмитовый оператор F̂ , действующий в пространстве состояний.Собственные векторы |f i и соответствующие им собственные значения f определяются уравнениемF̂ |f i = f |f i.50Измерение физической величины F приводит к одному из собственныхзначений f . Если |ψi = |f i, то измерение F в состоянии |ψi обязательнодает f .Собственные векторы могут быть выбраны так, что условия нормировки имеют вид:а) в случае дискретного спектра:hf |f 0 i = δf f 0 ,б) в случае непрерывного спектра:hf |f 0 i = δ(f − f 0 ).Если f относится к дискретному спектру, а f 0 – к непрерывному, то|f i и |f 0 i ортогональны.Совокупность всех собственных векторов |f i образует полный базис.
Разложение произвольного вектора |ψi по этому базису имеет видZX|ψi =cn |fn i + c(f )|f idf,nгдеcn = hfn |ψi ≡ hn|ψi,c(f ) = hf |ψi.Выведем условие полноты базиса. Для этого подставим cn = hn|ψiи c(f ) = hf |ψi в разложение |ψi:ZX|ψi =|nihn|ψi + |f ihf |ψidf =n=X!Z|nihn| +|f ihf |df|ψi ≡ |ψi.nТаким образом условие полноты базиса выглядит следующим образом:ZX|nihn| + |f ihf |df = 1.nДомножая слева на hψ| и справа на |ψi, получимZXhψ|nihn|ψi + hψ|f ihf |ψidf = hψ|ψi,nилиX2|cn | +Z|c(f )|2 df = hψ|ψi.n51IV постулат. Если состояние системы описывается вектором ψ,нормированным на единицу,hψ|ψi = 1,то cn и c(f ) – это амплитуды вероятности получить fn и f , соответственно, при измерении F в состоянии |ψi.Набор амплитуд hn|ψi ≡ hfn |ψi = ψ(n) и hf |ψi = ψ(f ) называетсяволновой функцией в f -представлении.Теорема. Пусть физической величине F соответствует оператор F̂(F̂ + = F̂ ), и пустьZX|ψi =cn |ni + c(f )|f idf,nгде амплитудыcn = hn|ψi,c(f ) = hf |ψiпредставляют собой волновую функцию в f -представлении.
Тогдаhf |F̂ ψi = f hf |ψi,т.е. в f -представлении результат действия оператора F̂ на произвольный вектор |ψi сводится к умножению вектора |ψi в f -представлениина f .Доказательство:hf |F̂ ψi = hψ|F̂ + f i∗ = hψ|F̂ f i∗ = f hψ|f i∗ = f hf |ψi.9.3Собственные векторы и собственные значенияоператора координатыРассмотрим задачу о собственных векторах и собственных значениях оператора координаты r̂:r̂|r0 i = r0 |r0 i,где r0 – действительный радиус-вектор, а |r0 i – собственный вектор,отвечающий собственному значению r0 . Домножая слева на hr|, получимhr|r̂|r0 i = r0 hr|r0 i.В силу только что доказанной теоремыrhr|r0 i = r0 hr|r0 i52или, иначе,rψr0 (r) = r0 ψr0 (r).Здесь r – произвольный радиус-вектор, а r0 – фиксированный радиусвектор (собственное значение).
Легко видеть, что функцияψr0 (r) = δ(r − r0 )является искомой собственной функцией оператора координаты r̂ вкоординатном представлении. Эта функция не может быть нормирована на единицу, поэтому состояние, описывающееся такой волновойфункцией, не может быть осуществлено.Условие полноты собственных векторов оператора координатыимеет вид:Z|rihr| d3 r = 1.Домножая слева на hϕ|, а справа – на |ψi, получимZhϕ|rihr|ψi d3 r = hϕ|ψi,то естьZЛекция 1010.1ϕ∗ (r)ψ(r)d3 r = hϕ|ψi.Матричные представления.Еще раз о линейномосциллятореОператоры-матрицы и векторы-столбцыВ случае, когда спектр оператора является дискретным, возникаютматричные представления.
ПустьĤ|ni = En |ni,|ni ≡ |ψn i,где n = 0, 1, 2, . . . – индекс состояний дискретного спектра. Из условияполнотыX|nihn| = 1nследует, что произвольный вектор состояния |ψi может быть разложенпо собственым векторам |ni следующим образом:X|ψi =|nihn|ψi.n53Волновая функция hn|ψi в данном n-представлении является столбцом h1|ψi hn|ψi = h2|ψi ... Операторы в n-представлении являются матрицамиXhn|Â|ψi =hn|Â|n0 ihn0 |ψi =n0=Xn0 A11Ann0 hn0 |ψi = A21 ...A12A22...
h1|ψi h2|ψi . ............Рассмотрим условие эрмитовости оператора F̂ . По определению,hn|F̂ |n0 i = hF̂ + n|n0 i = hn0 |F̂ + |ni∗ .В матричных обозначениях это переписывается так:∗Fnn0 = F + n0 n ,илиF+∗nn0= (Fn0 n ) = F T∗nn0.Таким образом, если оператор эрмитов, т.е. если F̂ = F̂ + , то∗F = F T ≡ F +.Следовательно эрмитовым операторам соответствуют эрмитовые матрицы.Найдем результат последовательного действия операторов Â и B̂:XXhn|ÂB̂|n0 i =hn|Â|n00 ihn00 |B̂|n0 i =Ann00 Bn00 n0 .n00n00Таким образом, матрица оператора, равного произведению операторов Â и B̂, равна произведению матриц, соответствующих этим операторам.10.2Унитарные преобразованияПосмотрим теперь, как изменяются матричные представления припереходе от одного дискретного базиса к другому.54Пусть спектры операторов L̂ и M̂ дискретны:M̂ |µi = µ|µi.L̂|λi = λ|λi,Вектор состояния |ψi может быть разложен как по базисным векторам |λi, так и по базисным векторам |µi, то естьXX|ψi =|λihλ|ψi =|µihµ|ψi.µλОбозначимhµ|ψi = ψµ0 .hλ|ψi = ψλ ,Тогдаψµ0 = hµ|ψi =XXhµ|λihλ|ψi =Uµλ ψλ ,λλгде Uµλ ≡ hµ|λi есть матрица перехода от волновой функции ψλ вλ-представлении к волновой функции ψµ0 в µ-представлении.
Эта жематрица связывает друг с другом базисные векторы:XXXX∗hµ| =hµ|λihλ| =Uµλ hλ|, |µi =|λihλ|µi =|λiUµλ.λλλλИз условий нормировки имеем:hµ|µ0 i = δµµ0 ,hλ|λ0 i = δλλ0 .Поэтому!0δµµ0 = hµ|µ i =X!XUµλ hλ|Uµ∗0 λ0 |λ0 i=Uµλ (U ∗ )µ0 λ =Xλ0λ=XXλUµλ Uµ∗0 λ0 hλ|λ0 i =λ0XλUµλ (U + )λµ0 .λОпределение: Оператор Û называется унитарным, если для негосправедливо: Û + = Û −1 , т.е. если Û Û + = Û + Û = 1.Почти очевидно, что унитарному оператору соответствует унитарная матрица. Действительно, если Û Û + = 1, тоXUnn0 U + n0 n00 = δnn00 ,n055таким образом U + = U −1 .Итак, мы доказали, что матрица (оператор) преобразования волновой функции из одного представления в другое представление является унитарной.
Подчеркнем, что унитарность есть следствие сохранениянормы. В самом деле, пусть hψ|ψi = 1, тогдаXhψ|λihλ|ψi = 1,λтак чтоXXhλ|ψi∗ hλ|ψi =ψλ∗ ψλ = 1,λλесть условие нормировки волновой функции в λ-представлении. Опуская индексы, мы можем записать это так:ψ + ψ = 1.Аналогичноψ 0+ ψ 0 = 1есть условие нормировки волновой функции в µ-представлении.
Подставляя в это равенство соотношенияψ 0 = U ψ,ψ 0+ = ψ + U + ,получим(ψ + U + )(U ψ) = 1.Это и означает, что U + U = 1, т.е. матрица U – унитарная.Среднее значение hAi, получаемое при измерении физической величины A, определяется матричным элементом:XXhAi = hψ|Â|ψi =hψ|λihλ|Â|λ0 ihλ0 |ψi =ψλ∗ Aλλ0 ψλ0 = ψ + Aψ,λ,λ0λ,λ0где Aλλ0 (или просто A) – матрица оператора Â в λ-представлении.АналогичноXhAi =ψµ0∗ Aµµ0 ψµ0 0 = ψ 0+ A0 ψ 0 ,µ,µ0где Aµµ0 (или просто A0 ) – матрица оператора Â в µ-представлении. Нотак как среднее значение физической величины не зависит от выборабазисных векторов, тоhAi = ψ + Aψ = ψ 0+ A0 ψ 0 .56Посколькуψ 0+ = ψ + U + ,ψ 0 = U ψ,тоhAi = ψ + Aψ = ψ + U + A0 U ψ.Следовательно матрицы A и A0 одного и того же оператора Â в λ- иµ-представлениях связаны друг с другом следующим образом:A = U + A0 U,A0 = U AU + .Исследуем свойства коммутатора при унитарном преобразованиивходящих в него операторов.
Пусть [Â, B̂] = Ĉ или в некотором матричном представлении:[A, B] = C⇒AB − BA = C.Тогда, домножая слева на U и справа на U + , а также используя равенство U + U = 1, получим:(U AU + )(U BU + ) − (U BU + )(U AU + ) = U CU + .Но это есть не что иное, как запись коммутатора для операторов вновом базисе:A0 B 0 − B 0 A0 = C 0⇒[A0 , B 0 ] = C 0 .Таким образом, унитарные преобразования сохраняют коммутаторынеизменными.Возьмем теперь задачу на собственные векторы и собственные значения некоторого оператора F̂ :F̂ |f i = f |f i.В некотором матричном n-представлении эта задача приобретает следующий вид:XFnn0 hn0 |f i = f hn|f i.n0Условие разрешимости этой системы линейных алгебраических уравнений выглядит так:det kFnn0 − δnn0 f k = 0.Это есть не что иное, как алгебраическое уравнение на собственныезначения f .5710.3Одновременная измеримость величинВернемся к «обратной теореме об одновременной измеримости величин» (лекция 4).Теорема.
Если [F̂ , Ĝ] = 0, то F и G одновременно измеримы, т.е.существует общая система собственных векторов операторов F̂ и Ĝ:F̂ |ni = fn |ni,Ĝ|ni = gn |ni.Доказательство. Пусть |ni – собственные векторы оператора F̂ ,отвечающие собственным значениям fn , то естьF̂ |ni = fn |ni.Условие коммутативности операторов F̂ и Ĝ, F̂ Ĝ = ĜF̂ , в n-представлении примет вид:fn Gnn0 = Gnn0 fn0⇔(fn − fn0 )Gnn0 = 0.Если спектр оператора F̂ невырожден, то fn 6= fn0 при n 6= n0 , т.е.Gnn0 = 0 при n 6= n0 и, следовательно,Gnn0 = gn δnn0⇔Ĝ|ni = gn |niв соответствии с утверждением теоремы. Именно этот случай невырожденности спектра оператора F̂ и был рассмотрен ранее.Пусть спектр оператора F̂ вырожден, т.е.
среди собственных значений имеются k совпадающих:fn1 = fn2 = . . . = fnk ≡ f,отвечающих различным векторам |n1 i, |n2 i, . . . |nk i. Но тогда любаялинейная комбинация векторов |n1 i, |n2 i, . . . |nk i также является собственным вектором оператора F̂ , отвечающим собственному значению f .Пусть унитарная матрица U есть матрица перехода от одного ортонормированного набора векторов |n1 i, |n2 i, . .
. |nk i к другому |n01 i,|n02 i, . . . |n0k i, т.е.XX∗hn0i | =Uij hnj |, |n0i i =Uij|nj i.jjТогда в представлении векторов |n0i i оператор Ĝ имеет видG0 = U GU + .58Но любая эрмитовая матрица может быть приведена к диагональному виду таким преобразованием (с помощью правильно подобраннойунитарной матрицы). После такого приведения имеем:G0ij = gi δij⇔Ĝ|n0i i = gi |n0i i.Таким образом, векторы |n01 i, |n02 i, . . .
|n0k i являются искомыми собственными векторами как для оператора F̂ , так и для оператора Ĝ.Теорема доказана.10.4Линейный осцилляторСтационарное уравнение Шредингера для линейного осцилляторавыглядит следующим образом: 2mω 2 x̂ 2p̂+|ni = En |ni, [p̂, x̂] = −i~.2m2Собственные векторы нормированы на единицу:hn|ni = 1.Обезразмерим уравнение, домножая его левую и правую части на2величину:~ω 2p̂mωx̂22En+|ni =|ni.m~ω~~ωВыполним замену переменных:rmωp̂ˆx̂ , p̂ξ = √,ξ=~m~ωпри этомˆ = −i.[p̂ξ , ξ]εn =Стационарное уравнение Шредингера примет видp̂2ξ + ξˆ2 |ni = 2εn |ni.Введем новые операторыξˆ + ip̂ξ√ ,â=2ˆξ − ip̂ â+ = √ ξ .259En,~ωОбезразмеренные операторы координаты ξˆ и импульса p̂ξ выражаютсячерез эти новые операторы следующим образомâ+ˆ = â +√ξ,2â − â+ p̂ξ = √ .i 2Вычислим коммутатор операторов â и â+ :[â, â+ ] =11 ˆ[ξ + ip̂ξ , ξˆ − ip̂ξ ] = (i(−i) − i(i)) = 1,22то естьââ+ − â+ â = 1 или ââ+ = â+ â + 1.Перепишем теперь стационарное уравнение Шредингера через операторы â и â+ :1(−(â − â+ )2 + (â + â+ )2 )|ni = 2εn |ni,2(ââ+ + â+ â)|ni = 2εn |ni,(â+ â + 1 + â+ â)|ni = 2εn |ni,1(â+ â + )|ni = εn |ni,2ĥ|ni = εn |ni,1где оператор ĥ = â+ â+ есть, по существу, обезразмеренный оператор2Гамильтона.Вычислим коммутаторы операторов â+ и â с оператором ĥ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
