Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1 (1183826), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Но независимость оператора энергии от времени – этоследствие однородности времени. Таким образом в квантовой механике, так же как в классической механике, сохранение энергии связанос однородностью времени.Чуть позже в этой лекции мы исследуем связь однородности пространства с законом сохранения импульса, а также связь изотропиипространства с законом сохранения углового момента. Но сначала введем оператор сдвига во времени (оператор эволюции) и обсудим связанные с ним понятия.6912.2Представления Шредингера и Гейзенберга1. Представление Шредингераа) Сопоставляем величине A оператор Â (как правило, не зависящий от t).б) Вектор состояния |Ψ(t)i, зависящий от t, описывает изменениесостояния системы во времени.в) Зависимость вектора состояния от времени определяется уравнением Шредингера,i~∂|Ψ(t)i= Ĥ|Ψ(t)i.∂tПусть по определению|Ψ(t)i = Û (t)|Ψ(0)i,где Û (t) – оператор эволюции (сдвига во времени). Из условия нормировкиhΨ(t)|Ψ(t)i = hΨ(0)|Û + Û |Ψ(0)i = 1следует, что Û + Û = 1, то есть оператор эволюции – унитарный.Если Ĥ не зависит от t, тоÛ (t) = e−iĤt~ .−iĤtДействительно, покажем, что |Ψ(t)i = e ~ |Ψ(0)i удовлетворяетуравнению Шредингера:!Ĥt−i∂|Ψ(t)iĤ −i Ĥti~= i~ −i e ~ |Ψ(0)i = Ĥe ~ |Ψ(0)i = Ĥ|Ψ(t)i.∂t~Заметим, что если Û – унитарный оператор, то всегда существуетэрмитовый оператор R̂ такой, чтоÛ = eiR̂ .В частности, если Û – оператор эволюции, то R̂ = −Ĥt/~.Среднее значение hAi, зависящее от времени, определяется матричными элементами:hAi(t) = hΨ(t)|Â|Ψ(t)i = hΨ(0)|Û + (t)ÂÛ (t)|Ψ(0)i.70Назовем оператором физической величины A в представлении Гейзенберга оператор следующего вида:ÂГ (t) ≡ Û + (t)ÂÛ (t) = eiĤtĤt−i~ Âe~ .Вычисляя производную этого оператора, получим:dÂГ (t)i= [Ĥ, ÂГ (t)].dt~Итак, в представлении ШредингераhAi(t) = hΨ(t)|Â|Ψ(t)i.Если же зависимость среднего значения физической величины от времени вычисляется по формулеhAi(t) = hΨ(0)|ÂГ (t)|Ψ(0)i,то говорят об использовании представления Гейзенберга.2.
Представление Гейзенбергаа) Вектор состояния |Ψ(0)i системы не зависит от t.б) Сопоставляем величине A зависящий от t оператор в представлении Гейзенберга:ÂГ (t) = eв) Зависимость оператора отГейзенберга:dÂГ (t)=dt12.3iĤtĤt−i~ Âe~ .времени определяется уравнениемi[Ĥ, ÂГ (t)].~Однородность пространства и сохранениеимпульсаЕсли пространство однородно, то сдвиг физической лабораториина произвольный вектор a не меняет результаты проводимых в нейизмерений. Пусть состояние системы в исходной лаборатории описывается вектором |Ψ; 1i, а состояние системы, сдвинутой на a вместе слабораторией, описывается вектором |Ψ; 2i. Если вектор r отсчитывается от некоторого фиксированного в пространстве начала координат,то должно быть справедливым соотношениеhr|Ψ; 1i = hr + a|Ψ; 2i71илиhr − a|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2i.Если принять, что|Ψ; 2i = T̂ (a)|Ψ; 1i,то T̂ (a) – оператор сдвига на вектор a.
Ясно, что T̂ (a) – унитарныйоператор. По аналогии с оператором сдвига во времени представимT̂ (a) в форме:T̂ (a) = e−ip̂a~ ,где p̂ – некоторый векторный эрмитовый оператор, не зависящий отвремени.z 616|Ψ; 1iQ QQ2Q a+Q6QQrQQsQ:0r+a=r + |Ψ; 2iy+ xТеперь покажем, что[Ĥ, T̂ (a)] = 0.Действительно, если пространство однородно, то соотношение|Ψ; 2i = T̂ (a)|Ψ; 1i72справедливо не только в начальный момент t = 0, но также и в любойпоследующий момент t.
Поэтомуi~T̂ (a)∂|Ψ; 1i∂|Ψ; 2i= i~= T̂ (a)Ĥ|Ψ; 1i.∂t∂tС другой стороныi~∂|Ψ; 2i= Ĥ|Ψ; 2i = Ĥ T̂ (a)|Ψ; 1i.∂tТаким образом, сформулированное утверждение доказано.Далее заметим, что T̂ (a) представляет собой ряд по степеням оператора p̂. Поэтому из [Ĥ, T̂ (a)] = 0 следует, что[Ĥ, p̂] = 0.Напомним теперь, что если физической величине A сопоставляетсяэрмитовый оператор Â такой, чтоа) Â не зависит от t,б) [Ĥ, Â] = 0,то A – интеграл движения.Итак, мы показали, что из условия однородности пространства следует существование такого эрмитового оператора p̂, чтоа) p̂ не зависит от t,б) [Ĥ, p̂] = 0.Таким образом, физическая величина p, отвечающая оператору p̂,должна быть величиной, сохраняющейся вследствие однородностипространства. В классической механике такой величиной, сохраняющейся вследствие однородности пространства, является импульс.Поэтому естественно принять, что p̂ есть оператор импульса.Рассмотрим вид оператора сдвига при малом a → δa:T̂ (δa) = e−ip̂δa~≈1−iδap̂.~Оператор p̂ часто называют генератором сдвига.
Возьмем соотношениеhr − δa|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2iи подставим в него|Ψ; 2i = e−ip̂δa~ |Ψ; 1i=73δa1 − i p̂ |Ψ; 1i.~Получим:δahr − δa|Ψ; 1i = hr| 1 − i p̂ |Ψ; 1i~илиδahr|p̂|Ψ; 1i.~Сравнивая левую и правую части, находим явный вид оператора импульса в координатном представлении:hr|Ψ; 1i − δa∇hr|Ψ; 1i = hr|Ψ; 1i − ihr|p̂|Ψi = −i~∇hr|Ψi.12.4Изотропия пространства и сохранениеуглового моментаПереход от одной декартовой системы осей (системы 1) к другой,повернутой декартовой системе осей (системе 2) всегда может бытьосуществлен вращением вокруг специально подобранного единичноговектора n на специально подобранный угол χ. Пустьχ = χnесть вектор поворота.Так же как это было сделано для сдвига, связь векторов состояний,описывающих одинаковые по своим свойствам состояния системы влабораториях 1 и 2, соответственно, можно задать соотношением|Ψ; 2i = R̂(χ)|Ψ; 1i,где R̂(χ) – оператор поворота.
Ясно, что R̂(χ) – унитарный оператор.По аналогии с операторами сдвига (как во времени, так и в пространстве) запишем его в виде:R̂(χ) = e−iĴχ~ ,где Ĵ – некоторый векторный эрмитовый оператор, не зависящий отвремени.Следуя точно той же логике, что в случае сдвига в пространстве,нетрудно доказать, что[Ĥ, R̂(χ)] = 0и, соответственно,[Ĥ, Ĵ] = 0.74Таким образом, условие изотропии пространства приводит нас к сохраняющейся векторной величине J, отвечающей оператору Ĵ.
В классической механике величиной, сохраняющейся вследствие изотропиипространства, является угловой момент. Поэтому естественно принять,что Ĵ есть оператор углового момента.Найдем явный вид оператора углового момента движущейся частицы. При вращении на малый угол δχ имеем:hr − [δχ × r]|Ψ; 1i = hr|Ψ; 2i.Подставляя в это соотношение|Ψ; 2i = e−iĴδ χ~ |Ψ; 1i=1−iδχĴ |Ψ; 1i,~получимhr|Ψ; 1i − [δχ × r]∇hr|Ψ; 1i = hr|Ψ; 1i − iδχhr|Ĵ|Ψ; 1i~или−δχ[r × ∇]hr|Ψi = −iδχhr|Ĵ|Ψi.~Отсюда оператор углового момента в координатном представленииимеет вид:hr|Ĵ|Ψi = −i~[r × ∇]hr|Ψi.ОператорL̂ = −i~[r × ∇] = [r × p̂].называется оператором орбитального момента частицы.Декартовые составляющие безразмерного оператора орбитальногомоментаL̂l̂ =~связаны друг с другом коммутационными соотношениями[ˆlα , ˆlβ ] = ieαβγ ˆlγ .Напомним, что коммутационные соотношения между операторами независят от того, в каком представлении берутся эти операторы.75Лекция 1313.1Угловой момент.
СпинСвойства операторов углового моментаОператор поворота, введенный на прошлой лекции, имеет видR̂(~χ) = e−iĴχ~.Мы показали, что Ĵ – это оператор углового момента. Безразмерныйоператор углового момента вводится формулой:ĵ =Ĵ.~Оператор квадрата углового момента связан с операторами проекцийна координатные оси следующим образом:ĵ 2 = ĵx2 + ĵy2 + ĵz2 .Операторы проекций на координатные оси связаны между собой коммутационными соотношениями:[ĵα , ĵβ ] = ieαβγ ĵγ .Пользуясь этими коммутационными соотношениями, нетрудно доказать, что[ĵ 2 , ĵα ] = 0.Пусть |jmi – это собственные векторы операторов ĵ 2 и ĵz :( 2ĵ |jmi = λ(j)|jmi,jˆz |jmi = m|jmi.Эти собственные векторы ортонормированы,hjm|j 0 m0 i = δjj 0 δmm0 .По физическому смыслу m – это проекция вектора j на ось Oz, λ(j) –квадрат длины углового момента.
Попробуем разобраться, какие значения могут принимать λ(j) и m, пользуясь только коммутационнымисоотношениями. Разобьем исследование на пункты.1) Покажем, что λ(j) ≥ 0 и m2 ≤ λ(j). Имеем:λ(j) = hjm|ĵ 2 |jmi =3Xhjm|ĵα2 |jmi =α=13Xhĵα jm|ĵα jmi ≥ 0,α=176в силу того, что hΨ|Ψi ≥ 0 при любом Ψ. Аналогичным образом:λ(j)−m2 = hjm|ĵ 2 − ĵz2 |jmi =2X2Xhjm|ĵα2 |jmi =α=1hĵα jm|ĵα jmi ≥ 0.α=1Утверждения доказаны.2) Введем операторы:ĵ− = (ĵ+ )+ .ĵ± = ĵx ± iĵy ,Тогда операторы ĵx и ĵy выражаются через ĵ+ и ĵ− следующим образом:ĵ+ − ĵ−ĵ+ + ĵ−ĵx =, ĵy =.22iВычисляя, находим:ĵ+ ĵ− = (ĵx + iĵy )(ĵx − iĵy ) = ĵ 2 − ĵz2 − i[ĵx , ĵy ] = ĵ 2 − ĵz2 + ĵz ,ĵ− ĵ+ = (ĵx − iĵy )(ĵx + iĵy ) = ĵ 2 − ĵz2 + i[ĵx , ĵy ] = ĵ 2 − ĵz2 − ĵz .Поэтомуĵ+ ĵ− + ĵ− ĵ+ = 2 ĵ 2 − ĵz2 ,ĵ+ ĵ− − ĵ− ĵ+ = 2ĵz⇔[ĵ+ , ĵ− ] = 2ĵz .3) Вычислим коммутаторы [ĵz , ĵ+ ] и [ĵz , ĵ− ] :[ĵz , ĵ± ] = [ĵz , ĵx ] ± i[ĵz , ĵy ] == iĵy ± i(−iĵx ) = ±ĵx + iĵy = ±(ĵx ± iĵy ) = ±ĵ± .Таким образом,ĵz ĵ± − ĵ± ĵz = ±ĵ±илиĵz ĵ± = ĵ± (ĵz ± 1).Окончательно получим: ĵz ĵ+ = ĵ+ (ĵz + 1),ĵz ĵ− = ĵ− (ĵz − 1).77Сделаем промежуточные выводы по первым трем пунктам.а) Если m2 ≤ λ(j), то существуют mmin и mmax .
Очевидно, чтоmmin = −mmax . Пустьmmax ≡ j ,mmin = −j .б) ĵ+ и ĵ− – операторы повышения и понижения. Действительно,ĵz (ĵ± |jmi) = ĵ± (ĵz ± 1)|jmi = (m ± 1) ĵ± |jmi .Поэтомуĵ+ |j (m − 1)i = αm |jmi,ĵ− |jmi = βm |j (m − 1)i.При этом, поскольку ĵ+ |jj i = 0, то αj+1 = 0. Аналогично β−j = 0.4) Воспользовавшись оператором понижения ĵ− , запишем:ĵ− |jj i ∼ |j (j − 1)i,(ĵ− )2 |jj i ∼ |j (j − 2)i,...(ĵ− )N |jj i ∼ |j (j − N )i,N ∈ Z.Предположим, что таким образом мы осуществляем переход от состояния с максимальной проекцией |jj i к состоянию с минимальнойпроекцией |j −j i. Тогдаj − N = −j,то естьN.2Следовательно j может принимать либо целые, либо полуцелые значения.j=Замечание. Ранее было показано, что проекции m орбитальногомомента на ось z принимают только целые значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
