Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1 (1183826), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Согласно постулату III измерение энергии в состоянии с волновой функцией ψ(q) с вероятностью, равной единице, дает величину E.Таким образом, в стационарном случае уравнение Шредингераимеет частные решенияΨE (q, t) = ψE (q)e−iEt~ ,ĤψE (q) = EψE (q).Каждое такое решение ΨE – это волновая функция состояния с определенной энергией E. УравнениеĤψ(q) = Eψ(q)31называется стационарным уравнением Шредингера. В данном случаеплотность вероятностиρ(q, t) = |ΨE (q, t)|2 = |ψE (q)|2не зависит от t. Поэтому ΨE (q, t) называют волновой функцией стационарного состояния.6.2Общее решение уравнения ШредингераВ общем случае спектр Ĥ имеет дискретную и непрерывную части,Ĥψn = En ψn ,ĤψE = EψE .Тогда в стационарном случае общее решение уравнения Шредингераможет быть представлено в виде суперпозиции по всем стационарнымсостояниям,ZEtE tX−i−i nΨ(q, t) =cn ψn (q)e ~ + c(E)ψE (q)e ~ dE.nДокажем это (Ψ(q, t) описывает, конечно, нестационарное состояние).Пусть начальное условие имеет видΨ(q, 0) = Ψ0 (q).Разложим Ψ0 (q) по полному базису, составленному из собственныхфункций оператора Гамильтона,ZXΨ0 (q) =cn ψn (q) + c(E)ψE (q)dE,nгдеcn = hψn |Ψ0 i,c(E) = hψE |Ψ0 i.Воспользовавшись этими амплитудами и линейностью уравненияШредингера, построим решение уравнения Шредингера в виде линейной комбинации волновых функций стационарных состояний,ZEtE tX−i−i nΨ(q, t) =cn ψn (q)e ~ + c(E)ψE (q)e ~ dE.nЭто и есть искомое решение, так какΨ(q, 0) = Ψ0 (q).32Замечание.

Если спектр гамильтониана Ĥ вырожден, то следуетпозаботиться о построении полного набора операторов (включающегов себя Ĥ) данной физической системы. Собственные функции этогонабора операторов формируют полный базис. Общее решение уравнения Шредингера, записанное выше, представляет собой разложение поэтому базису. То есть индексы n и E, по которым ведется суммирование и интегрирование, нужно понимать как наборы квантовых чисел(включающих в себя энергию), однозначно определяющих квантовыесостояния системы.Пример: одномерное свободное движение. В данном случаеdp̂ 2, p̂ = −i~ .2mdxУравнение Шредингера с начальным условием имеет следующий вид:∂Ψ(x, t)i~= ĤΨ(x, t),∂tΨ(x, 0) = Ψ0 (x).Ĥ =Ищем решения стационарного уравнения ШредингераĤψ(x) = Eψ(x).Поскольку Ĥ и p̂ коммутируют ([ Ĥ, p̂ ] = 0), то операторы Ĥ и p̂имеют общую систему собственных функций. Легко проверить, чтособственные функции оператора p̂,ψp (x) = √pxi1e ~ ,2π~являются собственными функциями оператора Ĥ и соответствуютp2энергиям E =.

Тогда частные решения уравнения Шредингера –2mэто волновые функции стационарных состоянийΨp (x, t) = ψp (x) e−iEt~=√px−Eti1e ~ .2π~Это и есть волны де Бройля.Общее решение – суперпозиция частных решений:ZΨ(x, t) = C(p)Ψp (x, t)dp.Таким образом, в общем случае волновая функция свободной частицыесть не что иное, как волновой пакет.336.3Линейный осцилляторГамильтониан линейного осциллятора имеет видmω 2 x2~2 d2mω 2 x2p̂ 2+=−+.2m22m dx22Решим стационарное уравнение ШредингераĤ =~2 00 mω 2 x2ψ +ψ = Eψ.2m2В качестве первого шага обезразмерим уравнение, домножив левую иправую части на 2/~ω,Ĥψ(x) = Eψ(x)⇒−~ 00mω 22Eψ (x) +x ψ(x) =ψ(x).mω~~ωВведем безразмерную координату и безразмерную энергию:rEmωx, ε =.ξ=~~ω−В новых переменных стационарное уравнение Шредингера принимаетвид−ψ 00 (ξ) + ξ 2 ψ(ξ) = 2εψ(ξ).В качестве второго шага исследуем асимптотику решений на бесконечности, т.е.

при ξ → ±∞. Пренебрегая слагаемым 2εψ(ξ), малымпо сравнению с ξ 2 ψ при больших |ξ|, получим упрощенное уравнениеψ 00 (ξ) ' ξ 2 ψ(ξ).Решениями этого асимптотического уравнения являются следующиефункции2ψ(ξ) = Cξ n e−αξ ,где α > 0, чтобы выполнялось условие ψ(ξ) → 0 при |ξ| → ∞.Действительно, ограничиваясь учетом слагаемых, доминирующих при|ξ| → ∞, находим:2ψ 0 (ξ) ' −2αCξ n+1 e−αξ ,2ψ 00 (ξ) ' 4α2 Cξ n+2 e−αξ = 4α2 ξ 2 ψ.1Подстановка ψ 00 в асимптотическое уравнение дает: 4α2 = 1, т.е. α = .2Следовательно в асимптотике волновая функция выглядит так:ψ(ξ) = Cξ n e−ξ342/2,где n – произвольное число.Теперь вернемся к обезразмеренному уравнению. Ищем его решение в виде2ψ(ξ) = f (ξ)e−ξ /2 .Тогдаψ 0 = f 0 e−ξ2/2ψ 00 = f 00 e−ξ2− ξf e−ξ/22/2,− 2ξf 0 e−ξ2/2− f e−ξ2/2+ ξ 2 f e−ξПодставляя эти функции в уравнение и сокращая e−ξ22/2/2., получим−f 00 + 2ξf 0 + f − ξ 2 f + ξ 2 f = 2εf,f 00 (ξ) − 2ξf 0 (ξ) + (2ε − 1)f (ξ) = 0.Предположим, что f (ξ) представляет собой ряд: f (ξ) =Xak ξ k .k=0,1,...Тогдаf0 =Xak kξ k−1 ,k=0,1,...Xf 00 =Xξf 0 =ak kξ k ,k=0,1,...Xak (k − 1)k ξ k−2 =k=0,1,...ak+2 (k + 1)(k + 2)ξ k .k=0,1,...Подстановка этих производных в уравнение дает:XXXak+2 (k + 1)(k + 2)ξ k − 2ak kξ k + (2ε − 1)ak ξ k = 0,k=0,1,...k=0,1,...k=0,1,...илиX( (k + 1)(k + 2)ak+2 − 2kak + (2ε − 1)ak ) ξ k = 0.k=0,1,...Следовательно в левой части коэффициент при каждой степени ξ естьнуль.

Отсюда находим рекурентные соотношения для коэффициентов ak :2k − (2ε − 1).ak+2 = ak(k + 1)(k + 2)Задавая a0 и a1 , из рекурентных соотношений однозначно определим все остальные члены ряда. Но этот ряд должен обрываться, так35как функция f (ξ) – это полином конечной степени (степени n). Тогдапри |ξ| → ∞ выживает только старшая степень полинома и ψ(ξ) принимает асимптотическую форму. Обрыв возникает, если выполняетсяодно из следующих условий:11) a0 6= 0, a1 = 0 и ε = n + , n = 0, 2, 4 .

. . ;2nXak ξ k представляет собой четный полиномв этом случае fn (ξ) =k=0,2,...n-й степени;12) a0 = 0, a1 6= 0 и ε = n + , n = 1, 3, 5 . . . ;2nXak ξ k представляет собой нечетный полив этом случае fn (ξ) =k=1,3,...ном n-й степени.Замечание. Функции fn (ξ) пропорциональны полиномам Эрмита Hn (ξ).Окончательно, в случае линейного осциллятора стационарное уравнение Шредингера имеет следующие решения, описывающие стационарные состояния:1−ξ 2 /2ψn (x) = Cn Hn (ξ) e, En = ~ω n +, n = 0, 1, 2, .

. . ,2rmωгде ξ =x. В то же время общее решение уравнения Шредингера~представляет собой суперпозицию по всем стационарным состояниям,Ψ(x, t) =Xcn ψn (x)e−iEn t~=n=e−iXcn ψn (x)e−i~ω(n+1/2)t~=nωt2Xcn ψn (x)e−iωnt .nЗамечание. Из вида общего решения следует, что|Ψ(x, t)| = |Ψ(x, t + T )|,2πгде T =. Таким образом, каким бы ни было начальное условие, волωновая функция линейного осциллятора возвращается к своему перво2πначальному виду через промежуток времени T =, равный периодуωколебаний классического осциллятора.36Лекция 77.1Частица в центральном полеОператоры орбитального моментаВ центральном поле потенциальная энергия частицы зависит только от ее расстояния от центра, т.е.U (r) = U (|r|) ≡ U (r),|r| ≡ r.Сила, действующая на частицу в центральном поле, разумеется, является центральной, посколькуrF = −∇U = −U 0 (r) .rПример: электрон в поле ядра.

Потенциальная энергия электронаZe2.U (r) = −rРассмотрим потенциал центрального поля общего вида U (r). Оператор Гамильтона имеет видĤ =p̂2+ U (r).2mИщем решения стационарного уравнения Шредингера,Ĥψn = En ψn ,ψn = ψn (r).Введем оператор орбитального (углового) моментаL̂ = [r̂ × p̂] = −i~[r × ∇].По определению exL̂ xl̂ = = −i[r × ∇] = −i ∂~∂xeyy∂∂yez z ∂ ∂zесть безразмерный оператор орбитального момента.Оператор l̂ коммутирует с оператором Ĥ, то есть[Ĥ, ˆlα ] = 0,α = 1, 2, 3,37гдеˆl1 ≡ ˆlx = −i y ∂ − z ∂ ,∂z∂yˆl2 ≡ ˆly = −i z ∂ − x ∂ ,∂x∂zˆl3 ≡ ˆlz = −i x ∂ − y ∂ ,∂y∂xилиˆlα = −i eαβγ rβ ∇γ = 1 eαβγ rβ p̂γ .~Действительно, воспользовавшись тем, чтоĤ =p̂λ p̂λ+ U (r)2mи[p̂α , rβ ] = −i~δαβ ,нетрудно показать, что[p̂λ p̂λ , ˆlα ] = 0,и[U (r), ˆlα ] = 0.Далее, вычисляя коммутаторы операторов ˆlα , находимhihihiˆlx , ˆly = iˆlz ,ˆly , ˆlz = iˆlx ,ˆlz , ˆlx = iˆly ,или[ˆlα , ˆlβ ] = ieαβγ ˆlγ .Так как операторы проекций вектора орбитального момента на оси декартовой системы координат не коммутируют друг с другом, то только одна компонента вектора l может быть точно определена.

Введемоператор квадрата орбитального момента:l̂2 ≡ ˆlx2 + ˆly2 + ˆlz2 .Нетрудно показать, что он коммутирует с операторами проекций орбитального момента, т.е.[l̂2 , ˆlα ] = 0.Следовательно квадрат длины и одна из компонент вектора l одновременно измеримы. То есть операторы Ĥ, l̂2 и ˆlα коммутируют друг38с другом. А это означает, что они имеют общую систему собственныхфункций.Перейдем от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, ϕ):x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.В сферических координатах операторы ˆl± ≡ ˆlx ± i ˆly и ˆlz имеют видˆl± = e±iϕ i cos θ ∂ ± ∂ ,sin θ ∂ϕ ∂θˆlz = −i ∂ ,∂ϕпри этом l̂2 = ˆl− ˆl+ + ˆlz + ˆlz2 .

Для оператора квадрата орбитальногомомента получим:1 ∂∂1 ∂2l̂2 = −sin θ−≡ −∆θ, ϕ .sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2Легко видеть, что наиболее просто выглядит тройка коммутирующихоператоров Ĥ, l̂2 и ˆlz .Рассмотрим вид оператора Гамильтона в сферических координатах:p̂2~2Ĥ =+ U (r) = −∆r, θ, ϕ + U (r).2m2mЛапласиан в сферических координатах выглядит следующим образом∂∆θ, ϕ1 ∂r2+ 2 ,∆r, θ, ϕ = 2r ∂r∂rrпоэтому оператор Гамильтона можно записать так:!1 ∂l̂2~22 ∂r− 2 + U (r).Ĥ = −2m r2 ∂r∂rr7.2Сферические гармоникиСобственными функциями операторов l̂2 и ˆlz являются сферические гармоники Ylm (θ, ϕ):(l̂2 Ylm (θ, ϕ) = λ(l)Ylm (θ, ϕ),ˆlz Ylm (θ, ϕ) = mYlm (θ, ϕ).39Подставим в эти уравнения явные выражения для операторов в сферических координатах: 1 ∂∂1 ∂2−sinθ−Ylm (θ, ϕ) = λ(l)Ylm (θ, ϕ),sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2 −i ∂ Ylm (θ, ϕ) = mYlm (θ, ϕ).∂ϕРешим эту систему дифференциальных уравнений методом разделения переменных:Ylm (θ, ϕ) = A(θ)B(ϕ).Из второго уравнения найдем−idB(ϕ)= mB(ϕ)dϕ⇒B(ϕ) = eimϕ .При изменении угла ϕ на 2π мы возвращаемся в исходную точку пространства.

Характеристики

Список файлов книги