Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1 (1183826), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Поскольку волновая функция должна быть однозначной,тоB(ϕ + 2π) = B(ϕ),то естьei 2πm = 1.Следовательно m ∈ Z.ПодставляяYlm (θ, ϕ) = A(θ) eimϕв первое уравнение системы и сокращая eimϕ , получим уравнение нафункцию A(θ):1 ddm2−sin θ+A(θ) = λ(l)A(θ).sin θ dθdθsin2 θВыполним замену переменной:ξ = cos θ,−1 ≤ ξ ≤ 1,dd cos θ dd== − sin θ .dθdθ dξdξТогда1 d−sin θ dθdddd2d2sin θ=(ξ − 1)= (ξ 2 − 1) 2 + 2ξ ,dθdξdξdξdξ40и уравнение для A(ξ) примет вид:d2dm22(ξ − 1) 2 + 2ξ+A(ξ) = λ(l)A(ξ).dξdξ1 − ξ2Замечание.
В общем случае решение A(ξ) расходится в точкахξ = ±1, то есть при θ = ±π или на оси Oz в декартовых координатах.С физической точки зрения расходимостей быть не должно. Крометого, выбор оси (в нашем случае – оси Oz) не должен отражаться нарешении уравнения Шредингера.Из теории уравнений математической физики следует, что расходимостей (особенностей) при ξ = ±1 нет, только еслиλ(l) = l(l + 1),где l = |m|, |m| + 1, . . . (l ≥ |m|).
То есть при любом l = 0, 1, 2, . . .имеем уравнениеdm2d22+− l(l + 1) A(ξ) = 0,(ξ − 1) 2 + 2ξdξdξ1 − ξ2где m = 0, ±1, ±2 . . . ± l. В таком случае Alm (ξ) – это функция безособенностей при −1 ≤ ξ ≤ 1. Поскольку уравнение содержит m2 , тофункции Alm (ξ) и Al −m (ξ) отличаются только постоянным (фазовым)множителем.Рассмотрим два случая:а) если m = 0, тоd2d(ξ 2 − 1) 2 + 2ξ− l(l + 1) A(ξ) = 0.dξdξРешением этого уравнения является A(ξ) = Pl (ξ) – полином Лежандрастепени l. Его явный вид задается формулой Родрига:Pl (ξ) =1 dl 2(ξ − 1)l .2l l! dξ lб) если m > 0, то A(ξ) = Plm (ξ) – присоединенный полином Лежандра. Для него имеем:Plm (ξ) = (1 − ξ 2 )m/241dmPl (ξ).dξ mПолиномы Лежандра обладают следующим свойством ортогональности:Z1Plm (ξ)Plm0 (ξ)dξ ∼ δll0 .−1Итак, для неотрицательных m сферические гармоники имеют вид:Ylm (θ, ϕ) = Clm Plm (θ)eimϕ ,l = 0, 1, 2, . .
. ,m = 0, 1, 2, . . . l.Константы Clm находятся из условия нормировкиI2|Ylm (θ, ϕ)| dΩ = 1, dΩ = sin θ dθ dϕ .Фазы сферических гармоник удобно выбрать так, чтоClm = (−1)m2l + 1 (l − m)!4π (l + m)!1/2.Сферические гармоники с отрицательными m = −1, −2 · · · − l по определению принимают равнымиYlm (θ, ϕ) = (−1)m Yl∗−m (θ, ϕ).Сферические гармоники образуют полный ортонормированный базисна сфере (0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π):I∗Ylm(θ, ϕ)Yl0 m0 (θ, ϕ)dΩ = δll0 δmm0 .7.3Радиальное уравнение ШредингераВернемся теперь к задаче о нахождении волновой функции частицы в центральном поле.
Ищем решение стационарного уравнения Шредингера в видеψ(r) = R(r)Ylm (θ, ϕ).Стационарное уравнение Шредингера принимает вид!21 ∂∂l̂~2r2− 2 R(r)Ylm (θ, ϕ) +−2m r2 ∂r∂rr+ U (r)R(r)Ylm (θ, ϕ) = ER(r)Ylm (θ, ϕ).42Посколькуlˆ2 Ylm (θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm (θ, ϕ),то, приравнивая радиальные функции при одинаковых Ylm (θ, ϕ), находим уравнение для функции R(r):~21 dl(l + 1)2 d−r−R(r) + U (r)R(r) = ER(r).2m r2 drdrr2Небольшая перегруппировка дает:~2 1 d2 d−rR(r) + Uэфф (r)R(r) = ER(r),2m r2 drdrгде Uэфф (r) – эффективный потенциал:Uэфф (r) = U (r) +h2 l(l + 1).2mr2u(r), и, пользуясь тем, чтоr1 du(r)1 d 2 u0 (r) u(r)2 dr= 2 r− 2=r2 drdrrr drrrДалее примем R(r) ==1 du00(ru0 (r) − u(r)) =,2r drrполучим~2 u00 (r)u(r)u(r)+ Uэфф (r)=E.2m rrrДомножая на r, приходим к окончательному виду уравнения на радиальную функцию u(r):−−~2 d2 u(r)+ Uэфф (r)u(r) = Eu(r).2m dr2Этот результат называют радиальным уравнением Шредингера.Условие нормировкиZ|ψ(r)|2 d3 r = 1,d3 r = r2 drdΩс учетом подстановкиψ(r, θ, ϕ) =u(r)Ylm (θ, ϕ)r43и нормировки функций Ylm (θ, ϕ) переходит в условие нормировкифункций u(r):∞I Z∞Z2|u(r)|2 2r dr|Ylm (θ, ϕ)| dΩ = |u(r)|2 dr = 1.r20Лекция 88.10Водородоподобный атомУравнение для радиальных функцийРассмотрим подробнее одну из важнейших задач, связанных с центральным полем, а именно – кулоновское поле водородоподобного атома.
Потенциальная энергия электрона в этом поле имеет вид:U (r) = −Ze2.rНа прошлой лекции было показано, что волновая функция частицы втаком поле представима в видеψ(r) =u(r)Ylm (θ, ϕ).rПри этом u(r) – это решение радиального уравнения Шредингера,~2 00Ze2~2 l(l + 1)−u (r) + −+u(r) = Eu(r),2mer2me r2нормированное условиемZ∞|u(r)|2 dr = 1.02~2,me e4~42Z~2~4 l(l + 1)2E~200− 2 4 u (r) + −+u(r)=u(r),me eme e2 rm2e e4 r2me e4Домножая обе части уравнения наи вводя величиныa0 =~2' 0, 5 · 10−8 см,me e2Ea =e2me e4=' 27 эВ,a0~244находимa2 l(l + 1)2E2Za0−a20 u00 (r) + −+ 0 2u(r) =u(r).rrEaВ новых безразмерных переменныхρ=r,a0ε=E,Eaполучим уравнение−u00 (ρ) −8.22Zl(l + 1)(ρ) +u(ρ) = 2εu(ρ).ρρ2Явный вид радиальных функцийБудем рассматривать только связанные состояния, такие чтоE < 0,ε < 0,−ε ≡α2> 0.2Тогда2Zl(l + 1)u(ρ) +u(ρ) + α2 u(ρ) = 0.ρρ2Искать решение, как в задаче о линейном осцилляторе, будем поэтапно.Для начала найдем асимптотику решения при ρ → ∞.
Пренебрегаяубывающими слагаемыми, находим−u00 (ρ) −u00 (ρ) − α2 u(ρ) ' 0.Решением, как легко показать, является функцияu(ρ) = Cρn e−αρ .Действительно, удерживая только ведущие при ρ → ∞ слагаемые,получимu0 (ρ) ' −αCρn e−αρ ,u00 (ρ) ' α2 Cρn e−αρ = α2 u(ρ).Найдем также асимптотику u(ρ) при ρ → 0. В этом пределе уравнение принимает формуu00 (ρ) −l(l + 1)u(ρ) ' 0.ρ245Решением является степенная функцияu(ρ) = Cρk ,причем k определяется условиемk(k − 1) = l(l + 1),так что k = l + 1 или k = −l. При отрицательном k функция u(ρ) неопределена в нуле, а нормировочный интеграл расходится. Следовательно в пределе ρ → 0 имеем u(ρ) ∼ ρ l+1 .Подытоживая результаты, получимu(ρ) ∼ ρn e−αρприρ → ∞,u(ρ) ∼ ρ l+1приρ → 0.Решение u(ρ) ищем в видеu(ρ) = F (ρ)e−αρ ,тогдаu0 = F 0 e−αρ − αF e−αρ ,u00 = F 00 e−αρ − 2αF 0 e−αρ + α2 F e−αρ .Подставляя эти выражения в обезразмеренное уравнение и сокращая e−αρ , найдем−F 00 + 2αF 0 − α2 F −или−F 00 + 2αF 0 −l(l + 1)2ZF+F + α2 F = 0ρρ22Zl(l + 1)F+F = 0.ρρ2Ищем теперь F (ρ) в виде рядаXF (ρ) = ρ l+1βν ρ ν =ν=0,1,...Xβν ρ ν+l+1 ,β0 6= 0.ν=0,1,...Тогда, почленно дифференцируя, находимXF 0 (ρ) =(ν + l + 1)βν ρ ν+l ,ν=0,1,...F 00 (ρ) =X(ν + l)(ν + l + 1)βν ρ ν+l−1 .ν=0,1,...46Подставляя ряды в уравнение и вынося ρ l−1 из под знака сумм, получимXXρ l−1βν (ν + l)(ν + l + 1)ρ ν − 2αρ l−1βν (ν + l + 1)ρ ν+1 +ν=0,1,...ν=0,1,...X+ 2Zρ l−1βν ρ ν+1 − l(l + 1)ρ l−1ν=0,1,...Xβν ρ ν = 0.ν=0,1,...Общий множитель ρ l−1 , конечно, сокращается.В левой части получившегося уравнения стоят четыре ряда.
Заметим, что первый и четвертый ряды начинаются со слагаемого ∼ ρ0 ,тогда как второй и третий – со слагаемого ∼ ρ1 . Выделяя в первом ичетвертом рядах "нулевые"слагаемые, находим:XXl(l + 1)β0 +βν (ν + l)(ν + l + 1)ρ ν − 2αβν (ν + l + 1)ρ ν+1 +ν=1,2,...X+ 2Zν=0,1,...Xβν ρ ν+1 − l(l + 1)β0 − l(l + 1)ν=0,1,...βν ρ ν = 0.ν=1,2,...Сокращая слагаемые l(l + 1)β0 и меняя индексы суммирования в первом и последнем рядах так, чтобы суммирования вновь начинались снулевого индекса, получимXβν+1 (ν + l + 1)(ν + l + 2) −ν=0,1,...!− 2αβν (ν + l + 1) + 2Zβν − l(l + 1)βν+1ρ ν+1 = 0.Следовательно в левой части коэффициент при каждой степени ρ равен нулю. Отсюда находим рекурентные соотношения для коэффицентов βν :βν+1 = βν2α(ν + l + 1) − 2Z,(ν + l + 1)(ν + l + 2) − l(l + 1)ν = 0, 1, 2, .
. .Коэффициент β0 однозначно определяет все остальные члены ряда. Так как асимптотика функции u(ρ) при ρ → ∞ описывается произведением конечной степени ρ и e−αρ , то ряд F (ρ) должен обрываться. Пусть старшая степень ряда есть nr (т.е. βnr 6= 0, тогда какβnr +1 = βnr +2 = . . . = 0).
Тогда условие обрыва принимает вид:α=Z.nr + l + 147СледовательноF (ρ) = ρ l+1nrXβν ρ ν .ν=0Сумма в правой части называется полиномом Лагерра (при подходящем выборе β0 ); nr – это число узлов радиальной функции. Такимобразомε=−α2Z2=−.22(nr + l + 1)2В то же время волновая функция состояния с этой энергией определяется формулойu(r)ψnr lm (r, θ, ϕ) =Ylm (θ, ϕ) = Cnr l ρ lrnrX!βν ρ νe−αρ Ylm (θ, ϕ).ν=0Тройка (nr , l, m) – это квантовые числа, задающие состояние.8.3Спектр водородоподобного атомаВведём главное квантовое число n ≡ nr + l + 1 и передем к другойтройке квантовых чисел (n, l, m). Тогдаψnlm (r, θ, ϕ) = Cnl ρ ln−l−1X ν=0βνβ0!ρν−eZρnYlm (θ, ϕ).Энергии состояний определяются только главным квантовым числом n:Z 2 me e4Z 2 e2En = Ea εn = −=−.2a0 n22~2 n2Уровень с энергией En вырожден по квантовым числам l и m.
Кратность вырождения n-го уровня, как легко сосчитать, равна n2 . Отметим также, что в спектроскопии используются специальные обозначения для орбитального квантового числа l:l=0, 1,s, p,482,d,3,f,......Лекция 99.1Теория представлений.Формализм ДиракаВолновая функция в f -представленииВ соответствии с постулатом I функция ψ(r) полностью описываетквантовое состояние частицы. В частности, это амплитуда вероятностинайти частицу в точке r.Теперь рассмотрим некоторую физическую величину F и соответствующий ей оператор F̂ . Задача на собственные функции этого оператора имеет видF̂ ψf (r) = f ψf (r).Амплитуда вероятности получить величину f при измерении F в состоянии, которое описывается волновой функцией ψ(r), естьZc(f ) = hψf |ψi ≡ ψf∗ (r)ψ(r)d3 r.Напомним, что собственное значение f часто называют квантовымчислом, которое однозначно фиксирует собственную функцию.
Поэтому удобно пользоваться следующим обозначением:c(f ) = hψf |ψi ≡ hf |ψi.Заметим, что разложение ψ(r) по ψf (r) имеет видZXψ(r) =cn ψn (r) + c(f )ψf df, ψn ≡ ψfn ,cn ≡ c(fn ).nЯсно, что набор коэффициентов c(f ) столь же информативен, как исама исходная волновая функция ψ(r).Итак, если c(f ) = hf |ψi есть амплитуда вероятности получить fпри измерении F , то амплитуду вероятности ψ(r) получить r при измерении координаты естественно записать в видеψ(r) ≡ hr|ψi.С другой стороны, если волновая функция ψ(r) имеет смысл амплитуды hr|ψi, то набор амплитуд c(f ), несущих всю полноту информациио квантовом состоянии системы, естественно назвать волновой функцией, альтернативной ψ(r). Соответственно вводят обозначение:c(f ) = hf |ψi ≡ ψ(f ).49Таким образом считают, чтоhr|ψi = ψ(r) – это волновая функция в r-представлении,hf |ψi = ψ(f ) – это волновая функция в f -представлении.Замечание.
Дирак высказал предположение, что любая волноваяфункция – это набор проекций вектора состояния на собственные векторы какого-либо эрмитового оператора. С этим предположением связан особый формализм, который называется формализмом Дирака.9.2Постулаты квантовой механики в формализмеДиракаI постулат. Квантовое состояние системы полностью определяетсявектором состояния |ψi. Векторы |ψi и c|ψi (c 6= 0) определяют однои то же состояние.Каждому вектору состояния |ψi можно сопоставить сопряженныйвектор состояния hψ|. Любой паре векторов |ψi и hϕ| можно поставить в соответствие комплексное число, проекцию |ψi на hϕ|: hϕ|ψi.Проекции hϕ|ψi и hψ|ϕi связаны соотношением:hϕ|ψi ≡ hψ|ϕi∗ .Проекция вектора на собственный сопряженный вектор есть величинанеотрицательная: hψ|ψi ≥ 0.Замечание.
Следуя Дираку, векторы hψ| иногда называют braвекторами, а сопряженные векторы |ψi – ket-векторами. Эти наименования Дирак построил из английского слова "bracket"("скобка")для hϕ|ψi.II постулат. Пространство состояний линейно.Пусть |ψ1 i и |ψ2 i принадлежат пространству состояний, тогда вектор|ψi = c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i, ∀ c1 , c2 ∈ Cтакже принадлежит пространству состояний.III постулат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
