Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1 (1183826), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Имеем:1[â+ , ĥ] = [â+ , â+ â + ] = â+ [â+ , â] = −â+ ,2т.е. â+ ĥ − ĥâ+ = −â+ илиâ+ ĥ = ĥâ+ − â+ .Аналогично [â, ĥ] = â илиâĥ = ĥâ + â.60Действуя на обезразмеренное стационарное уравнение Шредингераслева оператором â+ , получим:â+ ĥ|ni = εn â+ |ni,илиĥâ+ |ni − â+ |ni = εn â+ |ni⇒ĥ(â+ |ni) = (εn + 1)(â+ |ni).Предположим, чтоâ+ |ni = c |n + 1i,εn+1 = εn + 1,при этом|c|2 = hc (n + 1)|c (n + 1)i = hâ+ n|â+ ni =11= hn|ââ+ |ni = hn|ĥ + |ni = εn + .22Аналогичным образом, действуя на то же уравнение слева оператором â, найдемâĥ|ni = εn â|ni,илиĥâ|ni + â|ni = εn â|ni⇒ĥ(â|ni) = (εn − 1)(â|ni).Следовательноâ|ni = c0 |n − 1i,εn−1 = εn − 1,при этом11|c0 |2 = hc0 (n − 1)|c0 (n − 1)i = hân|âni = hn|â+ â|ni = hn|ĥ − |ni = εn − .221.211Предположим, что ε0 = , тогда εn = + n.
Переходя к En , нахо22дим спектр оператора Гамильтона:Но |c0 |2 ≥ 0, поэтому εn ≥1En = ~ω(n + ).2Кроме того, считая c и c0 действительными неотрицательными числами, получим:√â+ |ni = n + 1 |n + 1i,√â|ni = n |n − 1i.61Покажем теперь, как найти волновые функции основного и возбужденных состояний в координатном представлении. Вектор |ψ0 i ≡ |0iосновного состояния, т.е. состояния с минимальной энергией ε0 , удовлетворяет соотношению:â|0i = 0.В ξ-представлении имеемξˆ + ip̂ξ√ψ0 (ξ) = 02илиd) ψ0 (ξ) = 0.dξРешением, нормированным на единицу, является функция(ξ +ψ0 (ξ) =1 −ξ2 /2e.π 1/4Волновые функции возбужденых состояний можно найти, воспользовавшись следующими соотношениями:â+ |0i = 1 |1i,|1i = â+ |0i,√12 |2i, |2i = √ â+ |1i =2√1â+ |2i = 3 |3i, |3i = √ â+ |2i =3â+ |1i =1√ (â+ )2 |0i,21√ (â+ )3 |0i, . .
.3!Легко видеть, что1|ni = √ (â+ )n |0i.n!В координатном представленииn n11d√ψ0 (ξ)ψn (ξ) = √ξ − i −idξ2n!илиn21d1−ξ 2 /2ψn (ξ) = pξ−e−ξ /2 = p,√√ Hn (ξ)enndξ2 n! π2 n! πгдеHn (ξ) = eξ2/2ξ−есть полином Эрмита n-й степени.62ddξne−ξ2/2Лекция 1111.1Квантование свободногоэлектромагнитного поляСвободное электромагнитное полеЭлектромагнитное поле в любой точке r в любой момент t задается напряженностями E(r, t) и H(r, t). Динамика поля определяетсяуравнениями Максвелла.
Первая пара уравнений Максвелла имеет вид div H = 0, rot E = − 1 ∂H .c ∂tСегодня мы обсуждаем свободное электромагнитное поле, т.е. зарядови токов нет. Поэтому вторая пара уравнений Максвелла выглядит так: div E = 0, rot H = 1 ∂E .c ∂tСуществует более экономный способ задания электромагнитногополя – с помощью скалярного ϕ(r, t) и векторного A(r, t) потенциалов:E = −∇ϕ −1 ∂A,c ∂tH = rot A.Напряженности E и H, взятые в такой форме, тождественно удовлетворяют первой паре уравнений Максвелла. Калибровочной инвариантностью называют тот факт, что преобразованиеϕ → ϕ0 = ϕ −1 ∂f (r, t),c∂tA → A0 = A + ∇f (r, t),где f (r, t) – произвольная функция, не меняет напряженностей E и H.Выберем f (r, t) так, чтобы1 ∂ϕ+ div A = 0.c ∂tЭто калибровка Лоренца.
Тогда вторая пара уравнений Максвеллаприводится к форме:(2 ϕ = 0,2 A = 0,63где2=1 ∂2− ∇2 .c2 ∂t2Примем ϕ = 0 (дополнительное калибровочное условие). Тогда свободное электромагнитное поле описывается системой уравнений: ϕ = 0,div A = 0,2 A = 0.Частным решением этой системы является векторный потенциал,взятый в виде плоской волны:A(r, t) = b e eikr−iωt + k.c.Здесь введены следующие обозначения:b – комплексная амплитуда,e – единичный вектор поляризации (e e∗ = 1),k.c. – комплексно сопряженная величина.Частота ω и волновой вектор k связаны условиемω2− k2 = 0c2⇒ω = |k|c,причемek = 0⇒e ⊥ k.Таким образом, ортогональный базис в пространстве векторов поляризации, перпендикулярных k, состоит из двух векторов e1 и e2 :e1 ⊥ k,e2 ⊥ k,e1 e∗2 = 0.Совокупность значений (k, eα ) ≡ λ задает моду электромагнитногополя, а λ называется индексом моды.Пусть поле заключено в ящик с размерами (Lx , Ly , Lz ).
Если ящиквелик, то электромагнитное поле внутри него неотличимо от свободного поля. С другой стороны, граничные условия приводят к дискретизации мод. В самом деле, запишем условие периодичности по направлению Ox:A(x = 0, y, z, t) = A(x = Lx , y, z, t)64⇔1 = eikx Lx ,т.е.
kx Lx = 2πnx . Проделывая то же самое для других направлений,получим:kx =2πnx,Lxky =2πny,Lykz =2πnz,Lznx , ny , nz ∈ Z.Тогда индекс моды λ = (kx , ky , kz , eα ) – это дискретный индекс.Общее решение – суперпозиция частных решений, отвечающихвсем модам:A(r, t) =X Xbλ eα eikr−iωt + k.c. =bλ (t)eα eikr + k.c. ,λλгде bλ (t) = bλ e−iωt . Подставляя A в выражения для E и H, найдем:X1 ∂A X=(ikbλ (t)eα eikr + k.c.) ≡Eλ (r, t),c ∂tλλXXH(r, t) = rot A =(ibλ (t)[k × eα ]eikr + k.c.) ≡Hλ (r, t).E(r, t) = −λλЭнергия поля определяется интегралом по объему ящика:Zεf =(E2 + H2 )dV.8πVУчитывая, чтоeα e∗α0 = δαα0 ,иZ0eikr e−ik r dV = V δk k0 ,Vнаходим:εf =Xεf λ ,λгдеZεf λ =E2λ + H2λ1V k2dV =4k 2 |bλ (t)|2 V =|bλ |2 .8π8π2πV6511.2Переход от классических величин коператорамПримем за обобщенную координату действительную величинуQλ = æ (bλ (t) + b∗λ (t)).Предположим, что обобщенный импульс, отвечающий координате Qλ ,это производная Qλ по времени:Pλ = Q̇λ = −iω æ (bλ (t) − b∗λ (t)).Выполняя вычисления, нетрудно убедиться в том, чтоPλ2 + ω 2 Q2λ = −ω 2 æ2 (bλ − b∗λ )2 + ω 2 æ2 (bλ + b∗λ )2 == 4ω 2 æ2 bλ b∗λ = 4ω 2 æ2 |bλ |2 ∼ εf λ =V k2|bλ |2 .2πЕсли коэффициент æ выбрать так, чтоæ2 =V,4πc2тоPλ2 + ω 2 Q2λ= Hf λ .2Здесь Hf λ – это функция Гамильтона моды λ свободного электромагнитного поля (энергия, выраженная через обобщенные координаты иимпульсы).В самом деле, в классической теории функция Гамильтона H системы с одной степенью свободы, обобщенная координата q этой системыи обобщенный импульс p связаны уравнениями Гамильтона:εf λ =∂H= q̇,∂p∂H= −ṗ.∂qВ случае H = Hf λ , q = Qλ и p = Pλ первое уравнение примет видPλ = Q̇λ .Это верно, поскольку именно так был определен импульс Pλ .
Второеуравнение (с учетом первого) может быть записано так:ω 2 Qλ = −Q̈λ .66Легко проверить, что введенная нами обобщенная координата Qλ удовлетворяет этому уравнению.Далее переходим от классических величин к линейным эрмитовымоператорам:Pλ → P̂λ ,Qλ → Q̂λ ,Hf λ → Ĥf λ =P̂λ2 + ω 2 Q̂2λ.2Воспользовавшись ранее установленным соответствием между скобкой Пуассона и коммутатором, находим:{Pλ , Qλ } = 1⇒[P̂λ , Q̂λ ] = −i~.Вектор состояния поля с определенной энергией в моде λ определяется стационарным уравнением Шредингера:Ĥf λ |ψλ i = Ef λ |ψλ i,илиP̂λ2 + ω 2 Q̂2λ2!|ψλ i = Ef λ |ψλ i.Поскольку [P̂λ , Q̂λ ] = −i~, то мы получаем задачу на нахождение энергетических уровней и векторов состояний линейного осциллятора.Ранее мы установили, что энергетические уровни линейного осциллятора отстоят друг от друга на одну и ту же величину ~ω (спектрэквидистантен), т.е.1Ef λ = ~ω nλ +, nλ = 0, 1, 2, .
. .2Для решения задачи о линейном осцилляторе вводят обезразмеренные операторыrP̂λωˆQ̂λ , p̂ξλ = √ ,ξλ =~~ωи, затем, операторы понижения и повышенияâλ =ξˆλ + ip̂ξλ√,2â+λ =ξˆλ − ip̂ξλ√.2Напомним теперь, что обобщенная координата и обобщенный импульс для моды λ были определены так:(Qλ = æ (bλ + b∗λ ),Pλ = −iω æ (bλ − b∗λ ).67Отсюда для bλ получим:bλ =Qλ + ωi Pλ2æ.Таким образомbλ → b̂λ =Q̂λ + ωi P̂λ2æq=~ωξˆλ +√~ωiωp̂ξλ2ærr1~ 1 ˆ~(ξλ + ip̂ξλ ) =âλ .=ω 2ææ 2ω=Принимая во внимание явное выражение для æ, окончательно находим:r2π~c2bλ → b̂λ =âλ ,ωVr2π~c2 ++∗bλ → b̂λ =âλ .ωVИтак, мы показали, что в случае свободного электромагнитногополя переход от действительных классических величин к линейнымэрмитовым операторам происходит следующим образом:rX 2π~c2∗ −ikrA(r, t) → Â(r) =âλ eα eikr + â+,λ eα eωVλrX 2π~c2∗ −ikrE(r, t) → Ê(r) =ik âλ eα eikr − ik â+,λ eα eωVλrX 2π~c2−ikrH(r, t) → Ĥ(r) =i[k × eα ]âλ eikr − i[k × e∗α ]â+.λeωVλГамильтонианом поля является операторXX1+.Ĥf =Ĥf λ =~ω âλ âλ +2λλПусть |nλ i – собственный вектор гамильтониана Ĥf λ моды λ.
Легковидеть, что собственным вектором |ψf i гамильтониана Ĥf являетсяпроизведениеY|ψf i =|nλ i ≡ |{nλ }i.λ68Этому собственному вектору отвечает собственное значение (энергияполя)X1~ω nλ +Ef =.2λИными словами, состояние свободного электромагнитного поля с определенной энергией полностью определяется числами nλ в каждой моде λ. Эти числа nλ называют числами заполнения. Ясно, что nλ можноинтерпретировать как число фотонов в моде λ.Любопытно, что в состоянии |ψf i с определенной энергией средняявеличина E в любой точке r равна нулюhE(r)i = hψf |Ê(r)|ψf i = 0.В то же времяhE2 (r)i = hψf |Ê2 (r)|ψf i =6 0.Последнее справедливо даже в том случае, когда |ψf i есть вакуумноесостояние (все числа nλ равны нулю).Лекция 1212.1Симметрии и законысохраненияОбщие замечанияВ классической механике законы сохранения связаны с симметриями пространства и времени. Естественно ожидать, что и в квантовоймеханике существует подобная связь.Более того, ранее мы доказали, что энергия в квантовой механикеявляется интегралом движения, если гамильтониан системы не зависит от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
